平均计算器 - 平均值,中位数,模式和范围

什么是平均值?

在数学平均值是最常见的中心趋势度量.它是通过加上所有值并除以计数计算的:

平均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n

例如:求出 8,12,7,15,3 的平均值:

• 总和: 8 + 12 + 7 + 15 + 3 = 45
• 数量:5个
• 平均: 45 / 5 =9

平均值对极端值 (异常值) 很敏感.如果上述集合中的一个值是100而不是15:平均值 = (8 + 12 + 7 + 100 + 3) / 5 = 26.这26不代表任何实际值 - - 中位数在这种情况下会更有信息.

我们的计算器也计算中位数, 模式, 范围, 差异性,以及标准偏差一个完整的统计数据总结.

平均值与中位数与模式:要使用哪一个?

这三种中心趋势的指标,每一个都以不同的方式描述了"典型"值:

典型的例子是美国收入:在2023年,美国家庭收入中位数为~74,000美元,而家庭收入中位数为~105,000美元. 平均值由超级富豪拉升. 中位数更好地代表了一个典型的家庭.

当模式最有用时:鞋子尺寸 (商店需要储存最常见的尺寸),调查答案 ("大多数人选择选项B"),或任何类别数据.

在完全对称的分布 (如钟曲线) 中,平均值=中位数=模式.这些差距越远,你的数据就越倾斜和不对称.

权重平均值:当所有值都不相同时

A 权重平均值根据分配的权重给不同值赋予不同的重要性:

权重平均值 = Σ ((价值×重量) / Σ ((重量)

平均成绩计算示例:

权重平均成绩 = 40.7 / 11 =3.70 年

4个等级的简单 (未加权) 平均值: (3.7 + 3.3 + 4.0 + 4.0) / 4 =3.75 年不同,因为较重学分的物理课程在加权时会拖累它.

其他加权平均应用:投资组合回报 (加权美元金额),学生考试成绩 (考试加权60%,家庭作业40%),体育统计和消费者价格指数计算.

范围,偏差和标准偏差

知道数据的中心是不够的,你还需要了解它的扩散:

• 范围:最大-最小. 简单但受到异常值的影响. 数据集 {2, 5, 5, 6, 100}:范围=98,尽管98%的值在2到6之间.
• 差异:与平均值的平方偏差的平均值.测量数据的分布,但用平方单位 (更难直接解释).
• 标准偏差 (σ 或 SD):在与数据相同的单位中--最有用的扩散尺度.

逐步计算标准偏差 (数据为4,7,13,16):

1. 平均值 = (4 + 7 + 13 + 16) / 4 = 10
2. 与平均值的偏差: -6, -3, +3, +6
3. 偏差的平方: 36,9,9,36
4. 差异 = (36 + 9 + 9 + 36) / 4 = 22.5 (人口) 或 / 3 = 30 (样本)
5. 标准偏差 = √22.5 =4.74 年(人口)

在68-95-99.7规则对于正常分布:68%的数据在1 SD,95%在2 SD,99.7%在3 SD的平均值内.

增长率的几何平均值与算术平均值

为了比较增长率或复合收益率,几何平均值是比算术平均值更合适的:

几何平均值 = (x1 x x2 x ... x xn) ^(1/n)

举例 -- 投资回报:您的投资组合在第一年回报率为+50%,第二年回报率为-50%.

• 算术平均值: (50% + (-50%)) / 2 =0% 的平均回报率
• 实际结果是: $10,000 -> $15,000 -> $7,500 - - 你失去了25%的钱!
• 几何平均值: √1.50 × 0.50) - 1 = √0.75 - 1 =-每年13.4%

几何平均值反映了真正的复合年增长率 (CAGR). 对于投资回报,人口增长率和任何复合情景,始终使用几何平均值. 当回报波动时,算术平均值会夸大表现.

年复合增长率公式:年复合增长率 = (终值/起始值) ^ ((1/年) - 1

例如,10,000美元在5年内增长到17,500美元:年复合年增长率= (17,500/10,000) ^(1/5) - 1 = 1.75^0.2 - 1 =11.84% 的每年一个.

日常生活中的实用平均计算

平均值在日常决策中经常出现:

薪资的例子说明了为什么中位数通常更有用. 当评估市场薪资数据时, 总是问你是看平均值还是中位数 - - 在实践中差异可能是1万美元-3万美元.

协和平均值:比率和比率的正确平均值

在 的平均值是三种毕达哥拉斯平均值 (算术,几何,和 ) 中最不为人知的,但它是正确的选择,每当你平均速率,速度或分母变化的比率时:

平均值 = n / (1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)

典型的例子:平均速度:你以60公里/小时的速度开车去上班,以40公里/小时的速度回家.

• 算术平均值: (60 + 40) / 2 = 50 公里/小时 -- 不对的
• 平均值: 2 / (1/60 + 1/40) = 2 / (0.0167 + 0.025) = 2 / 0.0417 =48公里/小时--正确的!

为什么算术平均值是错误的?时间在较慢的速度. 如果行程是每条120公里:去需要2个小时 (120/60) 和返回需要3个小时 (120/40). 总计: 5小时内240公里 = 48公里/小时.

平均值总是<=算术平均值,并且差距随着值变得更加分散而增加.其他用途包括在金融领域平均价格/收益比率和车队中不同车辆的平均燃油效率.

数据科学和运行分析中的平均值

现代运行的分析平台产生了大量的数据, 了解应用的平均值对于有意义的分析至关重要:

截减平均值 (截减平均值):一种有用的混合体,在计算算术平均值之前删除顶部和底部X%的值.10%的修剪平均值下降最高10%和最低10%,然后平均其余的值.这通常用于评分系统 (奥林匹克花样滑冰下降最高和最低的评审分) 和分析运行速度数据,其中GPS错误可以创建极端异常值.

移动平均值:在跑步训练分析中,每日行驶里程的7天或30天移动平均值平衡了日复一日的变化,并揭示了趋势.您的训练负载可能在单独的日子里在0到20公里之间波动,但7天移动平均值显示了从40到55公里/周的稳定上升趋势 - - 这对于监测健身进展和受伤风险更有信息.

当分析你的跑步数据时,总是问:我试图回答什么问题?正确的平均值完全取决于这个问题. "我每周的典型里程是多少?" (算术平均值). "我实际上跑的距离最长的速度是多少?" (加权平均值). "我每年都在改善吗?" (几何平均值的改善百分比).