Средний калькулятор - средняя, медиана, режим и диапазон

Что такое среднее значение?

Варифметическая средняяявляется наиболее распространенной мерой центральной тенденции. Она вычисляется путем суммирования всех значений и деления на число:

Среднее значение = (x1 + x2 + ... + xn) / n

Пример: Найдите среднее значение 8, 12, 7, 15, 3:

• Сумма: 8 + 12 + 7 + 15 + 3 = 45
• Число: 5
• Среднее: 45 / 5 =9

Среднее значение чувствительно к экстремальным значениям (отклонениям). Если одно значение в наборе выше было 100 вместо 15: среднее значение = (8 + 12 + 7 + 100 + 3) / 5 = 26.

Наш калькулятор также вычисляетмедиана, режим, диапазон, отклонение, истандартное отклонение-- полный статистический обзор вашего набора данных.

Средний против среднего против режима: какой из них использовать?

Эти три показателя центральной тенденции по-разному описывают "типичное" значение:

Классический пример - доход США:В 2023 году средний доход домохозяйства в США составил ~ 74 000 долларов, в то время как средний доход домохозяйства составил ~ 105 000 долларов.

Когда режим наиболее полезен:Размеры обуви (магазин должен иметь наиболее распространенный размер), ответы на опросы ("большинство людей выбрали вариант B") или любые категорические данные.

В совершенно симметричном распределении (как в кривой колокола) среднее значение = медиана = режим. Чем дальше эти расхождения, тем более искаженными и асимметричными являются ваши данные.

Средневзвешенное значение: когда не все значения одинаковы

A средневзвешеннаяпридает различное значение различным значениям на основе присвоенных весов:

Средневзвешенное значение = Σ ((значение х вес) / Σ ((весы)

Пример расчета среднего балла:

Средний взвешенный балл = 40,7 / 11 =3,7 миллиона.

Простая (невесовая) средняя из 4 классов: (3,7 + 3,3 + 4,0 + 4,0) / 4 =3,75 процентов-- отличается, потому что курс физики с большим количеством кредитов тянет его вниз при взвешивании.

Другие средневзвешенные приложения: доходность инвестиционного портфеля (взвешенная в долларовом выражении), баллы студенческих тестов (взвешенные экзамены 60%, домашние задания 40%), спортивная статистика и расчеты индекса потребительских цен.

Диапазон, отклонение и стандартное отклонение

Знание центра ваших данных недостаточно - вы также должны понимать егораспространение:

• Диапазон:Максимальный - минимальный. Простой, но подверженный отклонениям. Набор данных {2, 5, 5, 6, 100}: диапазон = 98, хотя 98% значений находятся в диапазоне от 2 до 6.
• Расхождение:Среднее квадратное отклонение от среднего значения. Измеряет распределение данных, но в квадратных единицах (труднее интерпретировать непосредственно).
• Стандартное отклонение (σ или SD):Квадратный корень отклонения в тех же единицах, что и ваши данные - наиболее полезная мера распространения.

Расчет стандартного отклонения шаг за шагом (данные: 4, 7, 13, 16):

1. Среднее значение = (4 + 7 + 13 + 16) / 4 = 10
2. Отклонения от среднего значения: -6, -3, +3, +6
3. Квадрат отклонений: 36, 9, 9, 36
4. Дифференциация = (36 + 9 + 9 + 36) / 4 = 22,5 (население) или / 3 = 30 (образец)
5. Стандартное отклонение = √22.5 =4.74(население)

ВПравило 68-95-99.7для нормального распределения: 68% данных попадает в пределах 1 SD, 95% в пределах 2 SD, 99,7% в пределах 3 SD от среднего значения.

Геометрическая средняя и арифметическая средняя для темпов роста

Для сравнения темпов роста или сложной доходностигеометрическая средняяявляется более подходящим, чем среднее арифметическое значение:

Геометрическое значение = (x1 x x2 x ... x xn) ^ ((1/n)

Пример -- Доходность инвестиций:Ваш портфель приносит +50% в год 1 и -50% в год 2.

• Среднее арифметическое значение: (50% + (-50%)) / 2 =Средняя доходность 0%
• Фактический результат: $10,000 -> $15,000 -> $7,500 - вы потеряли 25% своих денег!
• Геометрическая средняя: √(1.50 x 0.50) - 1 = √0.75 - 1 =-13,4% в год

Геометрическая средняя отражает истинный совокупный годовой темп роста (CAGR). Всегда используйте геометрическую среднюю для доходности от инвестиций, темпов роста населения и любого сценария совокупного роста. Арифметическая средняя будет преувеличивать производительность, когда доходы волатильны.

Формула CAGR:CAGR = (конечная стоимость / начальная стоимость) ^ ((1/год) - 1

Пример: $10,000 увеличивается до $17,500 за 5 лет: CAGR = (17,500/10,000) ^ ((1/5) - 1 = 1.75^0.2 - 1 =11,84%в год.

Практические средние расчеты в повседневной жизни

Средние показатели постоянно появляются в ежедневных решениях:

Пример с зарплатой показывает, почему медиана часто более полезна. При оценке данных о рыночной зарплате всегда спрашивайте, смотрите ли вы на среднюю или медиану - разница может составлять 10 000 - 30 000 долларов на практике.

Гармоническая средняя: правильная средняя для ставок и коэффициентов

Всредняя гармонияявляется наименее известным из трех средний Пифагора (арифметический, геометрический, гармонический), но это правильный выбор, когда вы усредняете скорости, скорости или соотношения, где знаменатель варьируется:

Гармоническая средняя = n / (1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)

Классический пример - средняя скорость:Вы едете на работу со скоростью 60 км/ч и возвращаетесь со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость поездки туда и обратно?

• Среднее арифметическое значение: (60 + 40) / 2 = 50 км/ч -- Неправильно.
• Гармоническая средняя: 2 / (1/60 + 1/40) = 2 / (0.0167 + 0.025) = 2 / 0.0417 =48 км/ч- Правильно!

Почему среднее арифметическое неправильно?ВремяЕсли поездка составляет 120 км в оба конца: ехать занимает 2 часа (120/60) и возвращаться занимает 3 часа (120/40).

Гармоническая средняя всегда <= арифметическая средняя, и разрыв увеличивается по мере того, как значения становятся более разрозненными.

Средние показатели в науке о данных и аналитике

Современные работающие аналитические платформы генерируют огромные объемы данных, и понимание того, какую среднюю величину применять, имеет важное значение для значимого анализа:

Средняя величина по сокращению (по сокращению):Полезный гибрид, который удаляет верхние и нижние X% значений перед вычислением средней арифметической величины. Средняя величина на 10% снижает наивысшие 10% и самые низкие 10%, затем усредняет остальные. Это обычно используется в системах оценки (олимпийское фигурное катание снижает наивысшие и самые низкие оценки судей) и при анализе данных о скорости бега, где ошибки GPS могут создавать экстремальные значения отклонений.

Движущаяся средняя:В анализе тренировок по бегу, 7-дневная или 30-дневная скользящая средняя ежедневная пробежка сглаживает ежедневные колебания и показывает тенденции. Ваша тренировочная нагрузка может колебаться от 0 до 20 км в отдельные дни, но 7-дневная скользящая средняя показывает устойчивую тенденцию к росту от 40 до 55 км/неделя - гораздо более информативная для мониторинга прогрессирования физической подготовки и риска травм.

Анализируя свои данные о беге, всегда спрашивайте: на какой вопрос я пытаюсь ответить? Правильная средняя зависит полностью от вопроса. "Какой был мой типичный еженедельный пробег?" (арифметическое среднее значение). "С какой скоростью я на самом деле пробежал наибольшее расстояние?" (весовое среднее значение). "Улучшаюсь ли я год за годом?" (геометрическое среднее значение процентов улучшения).