Gemiddelde calculator - gemiddelde, mediaan, modus en bereik
Bereken onmiddellijk het gemiddelde, de mediaan, de modus en het bereik van een lijst met getallen. Voer de met komma's gescheiden waarden in voor een volledige statistische samenvatting. Gratis wiskundige tool.
Wat is een gemiddelde?
Derekenkundig gemiddeldeis de meest voorkomende maatstaf van de centrale tendens.
Gemiddelde = (x1 + x2 + ... + xn) / n
Voorbeeld: vind het gemiddelde van 8, 12, 7, 15, 3:
- Som: 8 + 12 + 7 + 15 + 3 = 45
- Aantal: 5
- Gemiddelde: 45 / 5 =9
Het gemiddelde is gevoelig voor extreme waarden (afwijkende waarden). Als een waarde in de bovenstaande verzameling 100 was in plaats van 15: gemiddelde = (8 + 12 + 7 + 100 + 3) / 5 = 26. Deze 26 vertegenwoordigt geen van de werkelijke waarden goed - de mediaan zou in dit geval informatiever zijn.
Onze rekenmachine berekent ookmediaan, modus, bereik, variantie, enstandaarddeviatie-- een volledige statistische samenvatting van uw dataset.
Gemiddelde versus mediaan versus modus: welke moet ik gebruiken?
Deze drie maatstaven van de centrale tendens beschrijven elk de "typische" waarde verschillend:
| Maatregel | Definitie | Wanneer het best te gebruiken | Geïnfecteerd door buitensporige waarden |
|---|---|---|---|
| Gemiddeld | Som ÷ getal | Gegevens zijn symmetrisch, geen extreme uitschieters | Ja, heel erg. |
| Mediane waarde | Middenwaarde bij sortering | Gegevens hebben uitschieters of zijn vertekend (inkomen, prijzen) | Nee, robuust. |
| Modus | Meest voorkomende waarde | Categorische gegevens, meest voorkomende uitkomst | No |
Klassiek voorbeeld -- Amerikaans inkomen:In 2023 bedroeg het gemiddelde inkomen van een huishouden in de VS ongeveer 74.000 dollar, terwijl het gemiddelde inkomen van een huishouden ongeveer 105.000 dollar was.
Wanneer de modus het nuttigst is:Schoenmaten (de winkel moet de meest voorkomende maat in voorraad hebben), antwoorden op enquêtes ("de meeste mensen kozen voor optie B") of andere categorische gegevens.
In een perfect symmetrische verdeling (zoals een klokkromme) is gemiddelde = mediaan = modus. Hoe verder deze verschillen, hoe meer skeef en asymmetrisch uw gegevens zijn.
Het gewogen gemiddelde: wanneer niet alle waarden gelijk zijn
A gewogen gemiddeldegeeft verschillende waarden een verschillend belang op basis van de toegewezen gewichten:
Gewichtde gemiddelde = Σ ((waarde x gewicht) / Σ ((gewichten))
Voorbeeld van GPA-berekening:
| Koers | Graadpunten | Kredieturen (gewicht) | Gewichtte score |
|---|---|---|---|
| Natuurkunde | 3.7 (A-) | 4 | 14,8 jaar |
| Engels | 3.3 (B+) | 3 | 9,9 |
| Geschiedenis | 4.0 (A) | 3 | 12,0 |
| PE | 4.0 (A) | 1 | 4,0 |
| Totaal | 11 | 40,7 |
Gewicht GPA = 40,7 / 11 =3,70 miljoen
Eenvoudig (ongewogen) gemiddelde van de 4 cijfers: (3,7 + 3,3 + 4,0 + 4,0) / 4 =3,75 miljoen- verschillend omdat de zwaarder-credit Natuurkunde cursus trekt het naar beneden wanneer gewogen.
Andere gewogen gemiddelde toepassingen: rendement van beleggingsportefeuilles (gewogen naar dollarbedrag), testscores van studenten (examen gewogen 60%, huiswerk 40%), sportstatistieken en berekening van de consumentenprijsindex.
Range, variantie en standaardafwijking
Het kennen van het centrum van uw gegevens is niet genoeg - je moet ook begrijpen zijnverspreiding:
- Afstand:Maximaal - minimaal. Eenvoudig maar beïnvloed door buitensporige waarden. Gegevensverzameling {2, 5, 5, 6, 100}: bereik = 98, hoewel 98% van de waarden tussen 2 en 6 liggen.
- Afwijking:Gemiddelde van kwadraat afwijkingen van het gemiddelde. Maat hoe verspreid gegevens zijn, maar in kwadraat eenheden (moeilijker direct te interpreteren).
- Standaarddeviatie (σ of SD):De vierkantswortel van de variantie in dezelfde eenheden als je gegevens.
Stap voor stap berekening van de standaardafwijking (gegevens: 4, 7, 13, 16):
- Gemiddeld = (4 + 7 + 13 + 16) / 4 = 10
- Afwijkingen van het gemiddelde: -6, -3, +3, +6
- Kwadraat van de afwijkingen: 36, 9, 9, 36
- Variantie = (36 + 9 + 9 + 36) / 4 = 22,5 (populatie) of / 3 = 30 (monster)
- Standaarddeviatie = √22.5 =4,74(bevolking)
De68-95-99,7 regelvoor normale distributies: 68% van de gegevens valt binnen 1 SD, 95% binnen 2 SD, 99,7% binnen 3 SD van het gemiddelde.
Geometrisch gemiddelde versus rekenkundig gemiddelde voor groeipercentages
Voor het vergelijken van groeipercentages of samengestelde rendementen wordt degeometrisch gemiddeldeis meer geschikt dan het rekenkundig gemiddelde:
Geometrisch gemiddelde = (x1 x x2 x ... x xn) ^ ((1/n)
Voorbeeld -- Opbrengst van investeringen:Uw portefeuille levert +50% in jaar 1 en -50% in jaar 2.
- Aritmetisch gemiddelde: (50% + (-50%)) / 2 =Gemiddeld rendement van 0%
- Het werkelijke resultaat: $10.000 -> $15.000 -> $7.500 -- je verloor 25% van je geld!
- Geometrisch gemiddelde: √(1,50 x 0,50) - 1 = √0,75 - 1 =-13,4% per jaar
Het geometrische gemiddelde weerspiegelt het werkelijke samengestelde jaarlijkse groeipercentage (CAGR). Gebruik altijd het geometrische gemiddelde voor beleggingsrendementen, bevolkingsgroei en elk samengesteld scenario. Het rekenkundig gemiddelde zal de prestaties overschatten wanneer de rendementen volatiel zijn.
CAGR-formule:CAGR = (eindwaarde/beginwaarde) ^{/jaar) - 1
Voorbeeld: $10.000 groeit tot $17.500 over 5 jaar: CAGR = (17.500/10.000) ^ ((1/5) - 1 = 1.75^0.2 - 1 =11,84%per jaar.
Praktische gemiddelde berekeningen in het dagelijks leven
Gemiddelden verschijnen voortdurend in dagelijkse beslissingen:
| Scenario | Aantal | Gemiddeld | Inzicht |
|---|---|---|---|
| Wekelijkse kilometers | 8, 12, 0, 10, 15, 11, 0 | 8 mijl/dag AVG (56 in totaal) | 0s (rustdagen) het gemiddelde aanzienlijk lager |
| Maandelijkse uitgaven januari - juni | $ 2.100 / $ 1.900 / $ 2.400 / $ 2.200 / $ 1.850 / $ 2.150 | 2.100 dollar per maand | Bijgevoegde begroting voor overeenkomstige maanden |
| Examenscores (behoefte aan 70% slagen) | 65, 72, 58, 80 | 68,75% - tekort van 1,25% | Nog één examen nodig om het gemiddelde omhoog te halen. |
| 5 salaris aanbiedingen ($K) | 52, 55, 58, 62, 120 | Gemiddeld: $69.4K -- Median: $58K | De buitensporige waarde ($120K) maakt het gemiddelde misleidend |
Het salarisvoorbeeld laat zien waarom de mediaan vaak nuttiger is. Bij het evalueren van salarisgegevens op de markt, vraag je altijd of je kijkt naar het gemiddelde of de mediaan - het verschil kan in de praktijk $10.000 - $30.000 zijn.
Harmonisch gemiddelde: het juiste gemiddelde voor tarieven en verhoudingen
Deharmonische gemiddeldeis de minst bekende van de drie Pythagorische gemiddelden (arithmetisch, geometrisch, harmonisch), maar het is de juiste keuze wanneer u gemiddelden maakt van snelheden, snelheden of verhoudingen waarbij de noemer varieert:
Harmonische gemiddelde = n / (1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)
Klassiek voorbeeld -- gemiddelde snelheid:U rijdt met 60 km/u naar het werk en met 40 km/u terug.
- Aritmetisch gemiddelde: (60 + 40) / 2 = 50 km/h -- Verkeerd .
- Harmonisch gemiddelde: 2 / (1/60 + 1/40) = 2 / (0.0167 + 0.025) = 2 / 0.0417 =48 km/h- Juist.
Waarom is het rekenkundig gemiddelde verkeerd?tijdAls de reis 120 km in beide richtingen is, duurt het 2 uur (120/60) en 3 uur (120/40) om terug te keren.
Het harmonische gemiddelde is altijd <= het rekenkundig gemiddelde, en de kloof neemt toe naarmate de waarden meer uit elkaar liggen.
Gemiddelden in Data Science en Running Analytics
Moderne analytische platforms genereren enorme hoeveelheden data en het begrijpen van welk gemiddelde moet worden toegepast is essentieel voor een zinvolle analyse:
| Uitvoeren van metric | Best gemiddeld type | Waarom ? |
|---|---|---|
| Wekelijkse kilometers over een seizoen | Aritmetisch gemiddelde | Eenvoudige totale context; alle weken gelijk gewogen |
| Gemiddelde snelheid over verschillende afstanden | Gewichted gemiddelde (gewicht naar afstand) | Een 20 km hardlopen moet meer tellen dan een 3 km joggen . |
| Gemiddelde snelheid voor uit-en-terug-banen | Harmonische gemiddelde | De tijd die bij elke snelheid wordt besteed, verschilt |
| Jaarlijks verbeteringspercentage | Geometrisch gemiddelde | Samengestelde percentages in de tijd |
| Typische hartslag tijdens een run | Mediane of gesneden gemiddelde | Outlier spikes van stop/start verstoren het rekenkundig gemiddelde |
Verkleiningsgemiddelde (verkleiningsgemiddelde):Een nuttige hybride die de bovenste en onderste X% van de waarden verwijdert voordat het rekenkundig gemiddelde wordt berekend.
Bewegende gemiddelde:Bij het uitvoeren van een trainingsanalyse maakt een bewegend gemiddelde van 7 of 30 dagen van de dagelijkse kilometers de variatie van dag tot dag glad en onthult trends. Uw trainingsbelasting kan op afzonderlijke dagen fluctueren tussen 0 en 20 km, maar het bewegend gemiddelde van 7 dagen toont een gestage opwaartse trend van 40 tot 55 km per week - veel informatiever voor het monitoren van de progressie van de conditie en het risico op blessures.
Bij het analyseren van je hardloopgegevens moet je je altijd afvragen: welke vraag probeer ik te beantwoorden? Het juiste gemiddelde hangt volledig af van de vraag. "Wat was mijn typische wekelijkse kilometerstand?" (arithmetisch gemiddelde). "Met welk tempo heb ik eigenlijk de meeste afstand gelopen?" (gewogen gemiddelde). "Verbeter ik mij jaar na jaar?" (geometrisch gemiddelde van de verbeteringspercentages).
Vaak gestelde vragen
Wat is het verschil tussen gemiddelde en gemiddelde?
In het alledaagse gebruik verwijzen 'gemiddelde' en 'gemiddelde' naar hetzelfde: het rekenkundig gemiddelde, berekend als som ÷ getal.
Wat als alle getallen hetzelfde aantal keren verschijnen -- wat is de modus?
In de praktijk zeggen statistici vaak dat er 'geen modus' bestaat. Als twee waarden de hoogste frequentie delen, is de dataset bimodal.
Hoe bereken ik een gewogen gemiddelde?
Vermenigvuldig elke waarde met het gewicht ervan, som deze producten, en deel dan door de som van alle gewichten. Voorbeeld: examen (80 punten, 60%) en huiswerk (90 punten, 40%): gewogen gemiddelde = (80x0.6 + 90x0.4) / (0.6+0.4) = (48+36) / 1 = 84.
Wanneer moet ik median gebruiken in plaats van gemiddelde?
Gebruik de mediaan als uw gegevens uitschieters bevatten of sterk vertekend zijn. Klassieke voorbeelden: huishoudelijk inkomen (een paar miljardairs trekken het gemiddelde omhoog), huizenprijzen (luxe huizen vertekenen het gemiddelde), responstijden (een paar trage reacties blazen het gemiddelde op). De mediaan vertegenwoordigt de 'typische' waarneming in deze gevallen eerlijker.
Wat is standaardafwijking en waarom is het belangrijk?
De standaardafwijking meet de verspreiding van uw gegevens rond het gemiddelde. Lage SD betekent dat gegevenspunten dicht bij het gemiddelde zijn geclusterd; hoge SD betekent dat ze verspreid zijn. Bijvoorbeeld, een klasse waar iedereen 70 - 75% scoort, heeft een lagere SD dan een waar scores variëren van 40 - 100%.
Wat is het geometrische gemiddelde en wanneer moet ik het gebruiken?
Het geometrische gemiddelde is gelijk aan de n-de wortel van het product van n waarden: (x1 x x2 x ... x xn) ^ 1 / n. Gebruik het voor veranderingspercentages, beleggingsrendementen en groeipercentages waarbij compounding van toepassing is. Een portefeuille met een rendement van + 50% en -50% heeft een rekenkundig gemiddelde van 0% maar een geometrisch gemiddelde van -13,4% - wat het werkelijke verlies weerspiegelt.
Hoe vind ik de mediaan van een dataset?
Als het getal oneven is, is de mediane de middelste waarde. Als het even is, is de mediane het gemiddelde van de twee middelste waarden. Voorbeeld: {3, 5, 7, 9, 11} -> median = 7. Voorbeeld: {3, 5, 7, 9} -> median = (5+7) / 2 = 6.
Wat is het bereik van een dataset?
Voor {4, 8, 15, 16, 23, 42}: Range = 42 - 4 = 38. Range meet de totale spread, maar is zeer gevoelig voor uitschieters. Voor een meer robuuste spreadmeting, gebruik interquartile range (IQR = Q3 - Q1) of standaardafwijking.