آلة حاسبة المتوسط - المتوسط ، المتوسط ، الوضع والنطاق

ما هو المتوسط؟

الـالمتوسط الحسابيهو المقياس الأكثر شيوعًا للاتجاه المركزي. يتم احتسابه عن طريق جمع جميع القيم وتقسيمها على العدد:

المتوسط = (x1 + x2 + ... + xn) / n

مثال: اعثر على المتوسط من 8، 12، 7، 15، 3:

• المجموع: 8 + 12 + 7 + 15 + 3 = 45
• العد: 5
• المتوسط: 45 / 5 =9

المتوسط حساس للقيم المتطرفة. إذا كانت قيمة واحدة في المجموعة أعلاه 100 بدلاً من 15: المتوسط = (8 + 12 + 7 + 100 + 3) / 5 = 26. هذا 26 لا يمثل أيًا من القيم الفعلية بشكل جيد - سيكون المتوسط أكثر إفادة في هذه الحالة.

لدينا آلة حاسبة تحسب أيضاالمتوسط, الوضع, النطاق, التباين، والانحراف المعياري-- ملخص إحصائي كامل لمجموعة بياناتك.

المتوسط مقابل المتوسط مقابل الوضع: أيهما نستخدم؟

كل من هذه القياسات الثلاثة للميل المركزي تصف القيمة "النموذجية" بشكل مختلف:

المثال الكلاسيكي -- الدخل الأمريكي:في عام 2023 ، بلغ متوسط دخل الأسرة الأمريكية ~ 74,000 دولار ، في حين بلغ متوسط دخل الأسرة ~ 105,000 دولار. يتم سحب المتوسط إلى الأعلى من قبل الأغنياء. يمثل المتوسط بشكل أفضل الأسرة النموذجية.

عندما يكون الوضع أكثر فائدة:أحجام الأحذية (يحتاج المتجر إلى تخزين الحجم الأكثر شيوعًا) ، أو استجابات المسح ("معظم الناس اختاروا الخيار B") ، أو أي بيانات تصنيفية.

في توزيع متناظر تمامًا (مثل منحنى الجرس) ، المتوسط = الوسيط = الوضع. كلما ابتعدت هذه، كلما زادت شذوذ بياناتك وعدم التناظر.

المتوسط المرجح: عندما لا تكون جميع القيم متساوية

A المتوسط المرجحيعطي أهمية مختلفة للقيم المختلفة على أساس الأوزان المخصصة:

المتوسط المرجح = Σ ((القيمة × الوزن) / Σ ((الوزن))

نموذج حساب المتوسط العالي:

المتوسط المرجح = 40.7 / 11 =3.70

المتوسط البسيط (غير المرجح) للدرجات الأربع: (3.7 + 3.3 + 4.0 + 4.0) / 4 =3.75مختلفة لأن دورة الفيزياء ذات الدرجات الثقيلة تسحبها للأسفل عندما تُثقل.

تطبيقات المتوسط المرجح الأخرى: عوائد المحفظة الاستثمارية (المرجحة بالدولار) ، درجات اختبار الطلاب (المرجحة في الامتحان 60٪ ، واجبات منزلية 40٪) ، إحصاءات الرياضة ، وحسابات مؤشر أسعار المستهلك.

النطاق والتباين والانحراف المعياري

معرفة مركز البيانات الخاصة بك ليست كافية -- تحتاج أيضا إلى فهمالانتشار:

• المدى:الحد الأقصى - الحد الأدنى. بسيطة ولكن تتأثر بالخوارق. مجموعة البيانات {2, 5, 5, 6, 100}: النطاق = 98 ، على الرغم من أن 98٪ من القيم تتراوح بين 2 و 6.
• الاختلاف:متوسط الانحرافات المربعة عن المتوسط. يقيس مدى انتشار البيانات ، ولكن في وحدات مربعة (أكثر صعوبة في التفسير المباشر).
• الانحراف المعياري (σ أو SD):الجذر التربيعي للتباين، بنفس الوحدات التي تستخدمها البيانات

حساب الانحراف المعياري خطوة بخطوة (البيانات: 4، 7، 13، 16):

1. المتوسط = (4 + 7 + 13 + 16) / 4 = 10
2. الانحرافات عن المتوسط: -6، -3، +3، +6
3. مربع الانحرافات: 36، 9، 9، 36
4. التباين = (36 + 9 + 9 + 36) / 4 = 22.5 (الجمهور) أو / 3 = 30 (العينة)
5. الانحراف المعياري = √22.5 =4.74(السكان)

الـقاعدة 68-95-99.7بالنسبة للتوزيعات الطبيعية: 68% من البيانات تقع ضمن 1 SD، 95% ضمن 2 SD، 99.7% ضمن 3 SD من المتوسط.

المتوسط الهندسي مقابل المتوسط الحسابي لمعدلات النمو

لمقارنة معدلات النمو أو العائدات المركبة،المتوسط الهندسيهو أكثر ملاءمة من المتوسط الحسابي:

المتوسط الهندسي = (x1 x x2 x ... x xn) ^ ((1/n)

مثال -- عوائد الاستثمار:عوائد محفظتك +50% في السنة الأولى و -50% في السنة الثانية

• المتوسط الحسابي: (50% + (-50%)) / 2 =0٪ متوسط العائد
• النتيجة الفعلية: 10،000 دولار -> 15،000 دولار -> 7،500 دولار - فقدت 25٪ من أموالك!
• المتوسط الهندسي: √(1.50 × 0.50) - 1 = √0.75 - 1 =-13.4% سنوياً

يعكس المتوسط الهندسي معدل النمو السنوي المركب الحقيقي (CAGR). استخدم دائمًا المتوسط الهندسي لعوائد الاستثمار ومعدلات نمو السكان وأي سيناريو مركب. سوف يبالغ المتوسط الحسابي في الأداء عندما تكون العوائد متقلبة.

معادلة CAGR:معدل النمو السنوي المركب = (القيمة النهائية / القيمة الأولية) ^ ((1/سنة) - 1

مثال: 10000 دولار ينمو إلى 17500 دولار على مدى 5 سنوات: CAGR = (17,500/10,000) ^ ((1/5) - 1 = 1.75 ^ 0.2 - 1 =11.84%في السنة.

حسابات متوسطية عملية في الحياة اليومية

المعدلات تظهر باستمرار في القرارات اليومية:

مثال الرواتب يوضح لماذا الوسيط غالباً ما يكون أكثر فائدة. عند تقييم بيانات الرواتب السوقية، اسأل دائماً ما إذا كنت تنظر إلى المتوسط أو الوسيط -- الفرق يمكن أن يكون 10,000 دولار - 30,000 دولار في الممارسة العملية.

المتوسط الهارموني: المتوسط الصحيح للمعدلات والنسب

الـالمتوسط الهارمونيهو أقل المعروف من المتوسطات الفيثاغورية الثلاثة (الحسابية والهندسية والهارمونية) ، ولكنه الخيار الصحيح كلما كنت متوسط المعدلات أو السرعات أو النسب حيث يختلف المقام:

المتوسط الهارموني = n / (1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)

مثال كلاسيكي -- متوسط السرعة:أنت تقود للعمل بسرعة 60 كم/ساعة وتعود بسرعة 40 كم/ساعة ما هي متوسط سرعة رحلتك ذهاباً وإياباً؟

• المتوسط الحسابي: (60 + 40) / 2 = 50 كم / ساعة -- خطأ
• المتوسط الهارموني: 2 / (1/60 + 1/40) = 2 / (0.0167 + 0.025) = 2 / 0.0417 =48 كم/ساعة-صحيح

لماذا المتوسط الحسابي خاطئ؟ لأنك تنفق أكثرالوقتإذا كانت الرحلة 120 كم في كل اتجاه: الذهاب يستغرق ساعتين (120/60) والعودة يستغرق 3 ساعات (120/40). إجمالي: 240 كم في 5 ساعات = 48 كم / ساعة.

المتوسط الهارموني دائمًا ما يكون <= المتوسط الحسابي، وتزداد الفجوة كلما أصبحت القيم أكثر انتشارًا. تشمل الاستخدامات الأخرى متوسط نسبة السعر إلى الأرباح في التمويل ومتوسط كفاءة الوقود عبر المركبات المختلفة في أسطول.

المتوسطات في علوم البيانات وتشغيل التحليلات

إن منصات تحليلات التشغيل الحديثة تولد كميات هائلة من البيانات، وفهم المتوسط الذي يجب تطبيقه ضروري للتحليل ذي المعنى:

المتوسط المقطوع (المتوسط المقطوع):الهجين المفيد الذي يزيل أعلى وأسفل X٪ من القيم قبل حساب المتوسط الحسابي. يقلل المتوسط بنسبة 10٪ من أعلى 10٪ وأدنى 10٪ ، ثم يعدل الباقي. يستخدم هذا عادة في أنظمة التسجيل (التزلج الفني الأولمبي يقلل من أعلى وأدنى درجات الحكام) وفي تحليل بيانات وتيرة الجري حيث يمكن لأخطاء GPS أن تخلق قيمًا متطرفة للغاية.

المتوسط المتحرك:في تحليل التدريب الجاري، فإن المتوسط المتحرك لمدة 7 أيام أو 30 يومًا من المسافة الممتدة يوميًا يسطح التباين اليومي ويظهر الاتجاهات. قد يتقلب عبء التدريب الخاص بك بين 0 و 20 كم في أيام فردية، ولكن المتوسط المتحرك لمدة 7 أيام يظهر اتجاهًا تصاعديًا ثابتًا من 40 إلى 55 كم / أسبوع - أكثر إفادة بكثير لمراقبة تقدم اللياقة البدنية وخطر الإصابة.

عندما تقوم بتحليل بيانات الجري الخاصة بك، اسأل دائماً: ما هو السؤال الذي أحاول الإجابة عليه؟ يعتمد المتوسط الصحيح كلياً على السؤال. "ما هو متوسط المسافة الأسبوعية النموذجية؟" (المتوسط الحسابي). "بأي سرعة ركضت في الواقع أكبر مسافة؟" (المتوسط المرجح). "هل أتحسن من سنة إلى أخرى؟" (المتوسط الهندسي لمعدلات التحسن).