ماشین حساب میانگین - میانگین، میانگین، حالت و محدوده

میانگین چیست؟

The میانگین ریاضیرایج ترین اندازه گیری گرایش مرکزی است. با جمع آوری تمام مقادیر و تقسیم بر تعداد محاسبه می شود:

میانگین = (x1 + x2 + ... + xn) / n

مثال: میانگین 8، 12، 7، 15 و 3 را پیدا کنید:

• جمع: 8 + 12 + 7 + 15 + 3 = 45
• شمارش: 5
• میانگین: 45 / 5 =9

میانگین به مقادیر افراطی حساس است. اگر یکی از مقادیر در مجموعه بالا به جای 15 100 باشد: میانگین = (8 + 12 + 7 + 100 + 3) / 5 = 26 این 26 هیچ یک از مقادیر واقعی را به خوبی نشان نمی دهد - در این مورد میانه اطلاعات بیشتری خواهد داشت.

ماشین حساب ما هم حساب می کنهمیانگین, حالت, محدوده, انحراف، وانحراف استاندارد-- یک خلاصه آماری کامل از مجموعه داده های شما.

میانگین و میانگین و حالت: کدام یک را استفاده کنیم؟

هر یک از این سه اندازه گیری گرایش مرکزی، ارزش "معمولی" را متفاوت توصیف می کند:

مثال کلاسیک -- درآمد ایالات متحده:در سال 2023 ، درآمد متوسط خانوار ایالات متحده حدود 74000 دلار بود ، در حالی که درآمد متوسط خانوار حدود 105000 دلار بود. این میانگین توسط افراد فوق العاده ثروتمند به سمت بالا کشیده می شود. میانگین بهتر یک خانوار معمولی را نشان می دهد.

زماني که حالت بيشتر مفيد است:اندازه کفش (فروشگاه باید بیشترین اندازه را ذخیره کند) ، پاسخ های نظرسنجی ("اکثر مردم گزینه B را انتخاب کردند") ، یا هر داده دسته بندی شده ای.

در یک توزیع کاملاً متقارن (مانند منحنی زنگ) ، میانگین = میانگین = حالت. هرچه این ها بیشتر از هم دور شوند، داده های شما بیشتر منحرف و نامتقارن هستند.

میانگین وزن شده: زمانی که همه مقادیر برابر نیستند

A میانگین وزنیاهمیت متفاوتی به مقادیر مختلف بر اساس وزنه های تعیین شده می دهد:

میانگین وزنی = Σ ((قیمت x وزن) / Σ ((وزن)

مثال محاسبه GPA:

GPA وزن شده = 40.7 / 11 =۳٫۷۰

متوسط ساده (بدون وزن) 4 درجه: (3.7 + 3.3 + 4.0 + 4.0) / 4 =۳٫۷۵-- متفاوت است چون درسی با اعتبار سنگین تر در رشته فیزیک، وقتی وزن داده می شود، آن را پایین می کشد.

سایر کاربردهای میانگین وزن شده: بازده سرمایه گذاری (با ارزش دلاری وزن شده) ، نمرات آزمون دانش آموزان (با وزن امتحان 60٪، تکالیف خانه 40٪) ، آمار ورزشی و محاسبه شاخص قیمت مصرف کننده.

محدوده، انحراف، و انحراف استاندارد

دانستن مرکز داده های شما کافی نیست -- شما همچنین نیاز به درک آنپخش شدن:

• محدوده:حداکثر-حداقل. ساده اما تحت تأثیر اعداد خارج از حد. مجموعه داده ها {2, 5, 5, 6, 100}: محدوده = 98، اگرچه 98٪ از مقادیر بین 2 و 6 است.
• انحراف:میانگین انحرافات مربع از میانگین. اندازه گیری می کند که چگونه داده ها گسترش یافته اند، اما در واحدهای مربع (تفسیر مستقیم آن سخت تر است).
• انحراف استاندارد (σ یا SD):در همان واحد هایی که داده های شما هستند-- مفیدترین اندازه گیری انتشار.

محاسبه انحراف استاندارد گام به گام (داده ها: 4، 7، 13، 16):

1. میانگین = (4 + 7 + 13 + 16) / 4 = 10
2. انحراف از میانگین: -6، -3، +3، +6
3. انحرافات مربع: 36، 9، 9، 36
4. تنوع = (36 + 9 + 9 + 36) / 4 = 22.5 (جمعیت) یا / 3 = 30 (نمونه)
5. انحراف استاندارد = √22.5 =۴٫۷۴(جمعیت)

The قانون 68-95-99.7برای توزیع های نرمال: 68٪ از داده ها در 1 SD، 95٪ در 2 SD، 99.7٪ در 3 SD از میانگین قرار می گیرند.

میانگین هندسی در مقابل میانگین ریاضی برای نرخ رشد

برای مقایسه نرخ رشد یا بازده های ترکیبی،میانگین هندسیمناسب تر از میانگین ریاضی است:

میانگین هندسی = (x1 x x2 x ... x xn) ^ ((1/n)

مثال -- بازده سرمایه گذاری:سهام شما در سال اول +50 درصد و در سال دوم -50 درصد بازده دارد.

• میانگین ریاضی: (50٪ + (-50٪)) / 2 =سود متوسط 0%
• نتیجه واقعی: ۱۰٫۰۰۰ دلار -> ۱۵٫۰۰۰ دلار -> ۷٫۵۰۰ دلار -- شما ۲۵ درصد از پول خود را از دست داده اید!
• میانگین هندسی: √(1.50 x 0.50) - 1 = √0.75 - 1 =-13.4% در سال

میانگین هندسی نشان دهنده نرخ رشد سالانه ترکیبی واقعی (CAGR) است. همیشه از میانگین هندسی برای بازده سرمایه گذاری ، نرخ رشد جمعیت و هر سناریوی ترکیبی استفاده کنید. میانگین ریاضی در هنگام نوسان بازده ، عملکرد را بیش از حد ارزیابی می کند.

فرمول CAGR:CAGR = (ارزش نهایی / ارزش اولیه) ^ ((1/سال) - 1

مثال: 10،000 دلار در طول 5 سال به 17،500 دلار افزایش می یابد: CAGR = (17,500/10,000) ^ ((1/5) - 1 = 1.75 ^ 0.2 - 1 =11.84 درصددر هر سال

محاسبات متوسط عملی در زندگی روزمره

میانگین ها به طور مداوم در تصمیمات روزانه ظاهر می شوند:

مثال حقوق و دستمزد نشان می دهد که چرا میانگین اغلب مفیدتر است. هنگام ارزیابی داده های حقوق و دستمزد بازار، همیشه بپرسید که آیا شما به میانگین یا میانگین نگاه می کنید - تفاوت می تواند 10،000 - 30،000 دلار در عمل باشد.

میانگین هارمونیک: میانگین صحیح برای نرخ و نسبت

The میانگین هارمونیکحداقل شناخته شده از سه میانگین پیتاگورسی (ریاضی، هندسی، هارمونیک) است، اما انتخاب صحیح هر زمان که شما میانگین نرخ، سرعت، یا نسبت که در آن ممیز متفاوت است:

میانگین هارمونیک = n / (1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)

مثال کلاسیک -- سرعت متوسط:شما با سرعت ۶۰ کیلومتر در ساعت به محل کار می روید و با سرعت ۴۰ کیلومتر در ساعت به محل کار برمی گردید. سرعت متوسط شما برای سفر برگشت چیست؟

• میانگین ریاضی: (60 + 40) / 2 = 50 کیلومتر در ساعت -- اشتباه
• متوسط هارمونیک: 2 / (1/60 + 1/40) = 2 / (0.0167 + 0.025) = 2 / 0.0417 =48 کیلومتر در ساعت-درسته !

چرا میانگین عددی اشتباه است؟ چون شما بیشتر هزینه می کنیدزماناگر سفر 120 کیلومتر در هر جهت باشد: رفتن 2 ساعت (120/60) و بازگشت 3 ساعت (120/40) طول می کشد. در مجموع: 240 کیلومتر در 5 ساعت = 48 کیلومتر در ساعت.

میانگین هارمونیک همیشه <= میانگین ریاضی است و با گسترش بیشتر مقادیر، این فاصله افزایش می یابد. استفاده های دیگر شامل میانگین کردن نسبت قیمت به درآمد در امور مالی و میانگین کردن کارایی سوخت در وسایل نقلیه مختلف در ناوگان است.

میانگین ها در علوم داده و اجرای تجزیه و تحلیل

سیستم عامل های تحلیلی مدرن حجم عظیمی از داده ها را تولید می کنند و درک اینکه کدام میانگین برای استفاده ضروری است برای تجزیه و تحلیل معنی دار:

میانگین کاهش یافته (میانگین کاهش یافته):یک هیبرید مفید که قبل از محاسبه میانگین ریاضی، X٪ بالا و پایین مقادیر را حذف می کند. میانگین 10٪ کاهش یافته، 10٪ بالاترین و 10٪ پایین ترین را کاهش می دهد، سپس بقیه را به طور متوسط می گیرد. این به طور معمول در سیستم های امتیاز دهی استفاده می شود (کشت بازی های المپیک، بالاترین و پایین ترین امتیاز داوران را کاهش می دهد) و در تجزیه و تحلیل داده های سرعت دویدن که در آن خطاهای GPS می تواند مقادیر عجیب و غریب را ایجاد کند.

میانگین متحرک:در تجزیه و تحلیل تمرینات دویدن، یک میانگین متحرک 7 روزه یا 30 روزه از مسافت دویدن روزانه تغییرات روز به روز را صاف می کند و روندها را نشان می دهد. بار تمرین شما ممکن است در روزهای جداگانه بین 0 تا 20 کیلومتر نوسان داشته باشد، اما میانگین متحرک 7 روزه یک روند صعودی ثابت از 40 تا 55 کیلومتر در هفته را نشان می دهد - اطلاعات بیشتری برای نظارت بر پیشرفت تناسب اندام و خطر آسیب دیدگی.

هنگامی که داده های دویدن خود را تجزیه و تحلیل می کنید، همیشه بپرسید: چه سوالی را می خواهم پاسخ دهم؟ میانگین صحیح به طور کامل به این سوال بستگی دارد. "ماهانه معمولی من چقدر بود؟" (میانه ریاضی) "در واقع با چه سرعتی بیشترین فاصله را دویدم؟" (میانه وزن) "آیا سال به سال پیشرفت می کنم؟" (میانه هندسی درصد پیشرفت).