ماشین حساب مثلث سنجی - Sin، Cos، Tan و توابع معکوس

نحوه محاسبه توابع مثلث سنجی

مثلث سنجی بر روی شش تابع اساسی ساخته شده است که زاویه ها را به نسبت های اطراف در یک مثلث مستطیل مرتبط می کند. برای یک زاویه θ در یک مثلث مستطیل با طرف مقابل O ، طرف مجاور A و هیپوتنوز H ، سه تابع اصلی عبارتند از:

• سین (سین θ) = O / H-- نسبت طرف مقابل به hypotenuse
• کوزین (cos θ) = A / H-- نسبت سمت مجاور به هیپوتنوز
• Tangent (tan θ) = O / A-- نسبت طرف مقابل به طرف مجاور

هر تابع اولیه یک متقابل دارد: cosecant (csc θ = H/O) ، secant (sec θ = H/A) ، و cotangent (cot θ = A/O).SOH-CAH-TOAبه شما کمک می کند به یاد داشته باشید: sinus = Opposite/Hypotenuse، Cosine = Adjacent/Hypotenuse، Tangent = Opposite/Adjacent.

فراتر از مثلث های راست، توابع مثلث سنجی به تمام اعداد واقعی از طریقدایره واحدتعریف. یک نقطه در دایره واحد در زاویه θ از محور x مثبت دارای مختصات (cos θ ، sin θ) است. این تعمیم باعث می شود که توابع مثلثی دوره ای باشند: sinus و cosine هر 2π رادیان (360 درجه) تکرار می شوند ، در حالی که tangent هر π رادیان (180 درجه) را تکرار می کند.

ماشین حساب های مدرن عملکردهای مثلثی را با استفاده از تقریبات چند ضلعی مشتق شده از سری های تیلور ارزیابی می کنند. به عنوان مثال: sin ((x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... (جایی که x در رادیان است). پردازنده های رایانه ای از سخت افزار اختصاصی (مانند مجموعه دستورالعمل FPU x87) برای محاسبه این گسترش ها به دقت کامل نقطه شناور در نانوسکوند استفاده می کنند. هنگامی که روی این ماشین حساب "sin" را فشار می دهید ، برنامه جاوا اسکریپتMath.sin()تابع این روتین های شتاب داده شده توسط سخت افزار را فرا می خواند.

مرجع شش تابع مثلث سنجی

در اینجا یک مرجع کامل از تمام شش توابع مثلث، فرمول ها، دامنه ها، محدوده ها و روابط متقابل آنها وجود دارد:

توابع مثلث سنجی معکوس (arcsin، arccos، arctan) روند را معکوس می کنند. به عنوان مثال، arcsin ((0.5) = 30 درجه زیرا sin ((30 درجه) = 0.5 است. توابع معکوس در نقشه برداری، ناوبری و فیزیک ضروری است.

جدول مرجع مقادیر مثلث سنجی

این مقادیر زاویه ای رایج اغلب در ریاضیات، فیزیک و مهندسی ظاهر می شوند. حفظ آنها زمان قابل توجهی را در امتحانات و محاسبات عملی صرفه جویی می کند:

يه الگوي سريع براي به ياد آوردن:برای سینوس در 0 درجه، 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه، مقادیر از الگوی √0/2، √1/2، √2/2، √3/2، √4/2 پیروی می کنند که به 0.1/2، √2/2، √3/2، 1 ساده می شود. کوسینوس از همان الگوی به ترتیب معکوس پیروی می کند.

درجه در مقابل رادیان: تبدیل بین واحدهای زاویه

زاویه ها را می توان در درجه یا رادیان اندازه گیری کرد. درجه ها یک چرخش کامل را به 360 قسمت مساوی تقسیم می کنند - یک کنوانسیون که به نجوم بابل باستان باز می گردد (سیستم اعداد پایه 60 آنها 360 را یک انتخاب طبیعی کرد). رادیان ها زاویه را به عنوان نسبت طول قوس به شعاع اندازه گیری می کنند: یک دایره کامل برابر با 2π رادیان (تقریبا 6.2832 rad) است.

فرمولهای تبدیل:

• درجه به رادیان:شعاع = درجه x π / 180
• رادیان به درجه:درجه = شعاعی x 180 / π

تبدیل سریع:1 رادیان ~ 57.2958 درجه. معادلات رایج: 90 درجه = π/2 rad، 180 درجه = π rad، 360 درجه = 2π rad. یک میانبر مفید: برای تبدیل درجه به رادیان، ضرب با 0.01745؛ برای تبدیل رادیان به درجه، ضرب با 57.296.

رادیان واحد طبیعی در ریاضیات و فیزیک است. روابط مشتق ظریف -- d/dx sin ((x) = cos ((x) و d/dx cos ((x) = -sin ((x) -- فقط زمانی معتبر است که x در رادیان باشد. در برنامه نویسی،Math.sin(), Math.cos()، وMath.tan()در جاوا اسکریپت (و بسیاری از زبان های دیگر) انتظار رادیان است. این ماشین حساب تبدیل را به طور خودکار بر اساس واحد انتخابی شما انجام می دهد. برای تبدیل زاویه بیشتر ، ما را امتحان کنیدماشین حساب دایره ی واحد.

موارد استفاده مشترک برای مثلث سنجی

توابع مثلث سنجی تقریباً در همه زمینه های علم، مهندسی و فناوری ظاهر می شوند. در اینجا رایج ترین کاربردهای دنیای واقعی آورده شده است:

• ناوبری و نقشه برداری:سیستم های GPS از مثلث سنجی برای محاسبه فاصله بین مختصات روی سطح منحنی زمین استفاده می کنند. زمین شناسان از مثلث سنجی - اندازه گیری زاویه به نقاط شناخته شده - برای تعیین فاصله و ارتفاع بدون اندازه گیری مستقیم استفاده می کنند. یک زمین شناس که ارتفاع یک ساختمان را از 50 متر دور با زاویه ارتفاع 32 درجه اندازه گیری می کند ، محاسبه می کند: ارتفاع = 50 x تان ((32 درجه) = 50 x 0.6249 = 31.2 متر.
• ساختمان و معماری:شیب سقف، زاویه های پله، شیب رمپ، و بارگذاری های ساختاری همگی به محاسبات تثلیثی نیاز دارند. سقف با شیب 6/12 6 اینچ در هر 12 اینچ بالا می رود - زاویه آن arctan ((6/12) = 26.57 درجه است.ماشین حساب مثلثمی تواند این مشکلات مثلث را به طور مستقیم حل کند.
• فیزیک و مهندسی:حرکت امواج، نوسانات، مدارهای جریان متناوب (AC) و حرکت پندول همه توسط توابع سینوسیال توصیف می شوند. ولتاژ AC به صورت V ((t) = V0 sin ((2πft) تغییر می کند ، جایی که f فرکانس در هرتز است. پردازش سیگنال ، مهندسی صوتی و انتقال رادیو همه به تجزیه و تحلیل فوریه مبتنی بر trig متکی هستند.
• گرافیک کامپیوتری و بازی:موتورهای رندر سه بعدی از ماتریس های چرخشی ساخته شده از سینوس و کوسینوس برای چرخش اشیاء، محاسبه زاویه های روشنایی و نمایش صحنه های سه بعدی بر روی صفحه نمایش دو بعدی استفاده می کنند. هر فریم یک بازی ویدیویی سه بعدی شامل هزاران محاسبه تثلیث است.
• علم نجوم:اندازه گیری فاصله به ستارگان با استفاده از پارالاکس (پارالاکس مثلثی) و محاسبه مکانیک مداری هر دو به مثلث شناسی بستگی دارد. پارسک - یک واحد اساسی از فاصله نجومی - با استفاده از پارالاکس مثلثی تعریف می شود.

مثال های گام به گام مثلث سنجی

مثال 1: پیدا کردن ارتفاع یک ساختمان

شما 40 متر از یک ساختمان ایستاده اید و یک زاویه ارتفاع 55 درجه تا سقف را اندازه گیری می کنید. ارتفاع ساختمان چقدر است؟

1. شناسایی: شما می دانید طرف مجاور (40 متر) و زاویه (55 درجه) ، و می خواهید طرف مقابل (ارتفاع)
2. استفاده از تانجنت: تان ((55 درجه) = مقابل / مجاور = ارتفاع / 40
3. محاسبه کنید: ارتفاع = 40 × تان ((55 درجه) = 40 × 1.4281 =57.12 متر

مثال 2: پیدا کردن زاویه از طول طرف

یک نردبان به دیوار تکیه می کند. نردبان 6 متر طول دارد و پایه اش 2 متر از دیوار فاصله دارد. با زمین چه زاویه ای دارد؟

1. شناسایی: شما می دانید hypotenuse (6 متر) و طرف مجاور (2 متر) ، و می خواهید زاویه
2. از کوزین استفاده کنید: cos ((θ) = مجاور / هیپوتنوز = 2 / 6 = 0.3333
3. معکوس را اعمال کنید: θ = arccos ((0.3333) =70.53 درجه
4. بررسی: ارتفاع دیوار = 6 x sin ((70.53 درجه) = 6 x 0.9428 = 5.66 متر. بررسی: 22 + 5.662 = 4 + 32.04 = 36.04 ~ 62

مثال سوم: حل یک مثلث کامل راست

یک مثلث مستطیل پاهای 5 سانتی متر و 12 سانتی متر دارد. تمام زاویه ها و hypotenuse را پیدا کنید.

1. فرضیه: c = √(52 + 122) = √(25 + 144) = √169 =13 سانتي متر(این سه گانه کلاسیک 5-12-13 فیثاغوراس است -- به ما نگاه کنیدماشین حساب نظریه فیثاغورس)
2. زاویه A (در مقابل 5 سانتی متر): sin ((A) = 5/13 = 0.3846 ، بنابراین A = arcsin ((0.3846) =22.62 درجه
3. زاویه B (در مقابل 12 سانتی متر): B = 90 درجه - 22.62 درجه =67.38 درجه
4. بررسی: sin ((67.38 درجه) = 0.9231 ~ 12/13 = 0.9231

هویت و فرمول های اصلی محرک

هویت های مثلثی معادلاتی هستند که برای تمام مقادیر زاویه معتبر درست هستند. آنها برای ساده سازی عبارات، حل معادلات و اثبات نتایج ریاضی ضروری هستند.

هویت های فیثاغوری(از sin2θ + cos2θ = 1 مشتق شده است):

• sin2θ + cos2θ = 1-- هویت اساسی
• 1 + tan2θ = sec2θ-- تقسیم بر cos2θ
• 1 + cot2θ = csc2θ-- تقسیم بر sin2θ

فرمولهای دو زاویه:

• sin ((2θ) = 2 sin (((θ) cos (((θ)
• cos ((2θ) = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1 = 1 - 2sin2θ
• tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan2θ)

فرمول جمع و تفاوت:

• sin ((A +/- B) = sin ((A) cos ((B) +/- cos ((A) sin ((B)
• cos ((A +/- B) = cos ((A) cos ((B) sin ((A) sin ((B)
• tan ((A +/- B) = (tan A +/- tan B) / (1 tan A · tan B)

فرمول های نیمه زاویه:

• sin ((θ/2) = +/-√((1 - cos θ) / 2)
• cos ((θ/2) = +/-√ (((1 + cos θ) / 2)
• tan ((θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = (1 - cos θ) / sin θ

قانون سینوس و قانون کوزینوس(برای هر مثلث، نه فقط مثلث های مستطیل):

• قانون گناهان:a/sin ((A) = b/sin ((B) = c/sin ((C) -- جهت ها را به زاویه های مخالف مرتبط می کند
• قانون کوزينوس:c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(C) -- قضیه پیتاگوراس را تعمیم می دهد

این قوانین به شما اجازه می دهد هر مثلثی را با اطلاعات کافی (ASA، SAS، SSS یا AAS) حل کنید.ماشین حساب مثلثبرای حل مثلث با استفاده از این قوانین به طور خودکار.

نکات و اشتباهات رایج

هنگام کار با توابع مثلث سنجی از این اشتباهات متداول اجتناب کنید:

• حالت زاویه اشتباه:اشتباه شماره یک. محاسبه sin ((90) در حالت رادیان 0.8940 (sin از 90 رادیان) را می دهد ، نه 1. همیشه بررسی کنید که آیا ماشین حساب یا زبان برنامه نویسی شما انتظار درجه یا رادیان را دارد. در جاوا اسکریپت ، پایتون ، C و جاوا ، تمام توابع مثلثی از رادیان استفاده می کنند.
• اشتباه گرفتن توابع معکوس با متقابل ها:sin−1(x) به معنی arcsin(x) - زاویه ای است که sinus آن x است. این به معنی 1/sin(x نیست، که csc(x است. این نشانه متاسفانه مبهم است؛ زمینه مهم است.
• فراموش کردن محدودیت های دامنه:arcsin و arccos فقط ورودی های بین -1 و 1 را قبول می کنند. اگر محاسبه شما sin ((θ) = 1.5 را تولید کند، شما یک خطا در جایی دارید - هیچ زاویه واقعی دارای sinus بزرگتر از 1 نیست.
• راه حل هاي چندگانه:sin (((30 درجه) = sin (((150 درجه) = 0.5. هنگام استفاده از arcsin برای پیدا کردن یک زاویه، به یاد داشته باشید که ممکن است یک راه حل معتبر دوم وجود داشته باشد. Arcsin همیشه مقادیر را در [-90 درجه، 90 درجه] باز می گرداند، اما زاویه واقعی ممکن است در چهارم دوم باشد.
• دور زدن خیلی زود:در مسائل چند مرحله ای ، دقت کامل را از طریق محاسبات میانگین حفظ کنید و فقط پاسخ نهایی را گرد کنید. گردآوری sin ((θ) به دو عدد اعشاری قبل از استفاده از آن در محاسبات بیشتر می تواند اشتباهات را به طور قابل توجهی افزایش دهد.
• مخلوط کردن SOH-CAH-TOA:مثلث را بکشید و طرف های آن را نسبت به زاویه خود علامت بزنید. طرف های "مقابل" و "جوار" بسته به زاویه ای که با آن کار می کنید تغییر می کنند.
• فراموش کردن علامت +/-:علائم تابع مثلث به ربع بستگی دارد. در ربع II (90 درجه - 180 درجه) ، sinus مثبت است اما cosine و tangent منفی هستند. از یادداشتی "همه دانش آموزان حساب را انجام می دهند" استفاده کنید - همه مثبت در Q1 ، sinus در Q2 ، tangent در Q3 ، cosine در Q4 .

مثلث سنجی در مقابل هندسه: چه فرقی دارد؟

مثلث سنجی و هندسه نزدیک به هم هستند اما اهداف متفاوتی دارند. درک زمان استفاده از هر یک از آنها به شما کمک می کند تا مشکلات را به طور موثرتری حل کنید.

در عمل، مثلث سنجی دسترسی هندسه را گسترش می دهد. جایی که هندسه می تواند مساحت یک مثلث را با توجه به پایه و ارتفاع به شما بگوید، مثلث سنجی می تواند این ارتفاع را از طریق اندازه گیری زاویه پیدا کند -- که آن را برای نقشه برداری، ناوبری و هر سناریویی که اندازه گیری مستقیم غیر عملی است، ضروری می کند.ماشین حساب شیباز مفاهیم مثلثات برای محاسبه شیب ها و زاویه ها از داده های مختصات استفاده می کند.