Τριγωνομετρικός Υπολογιστής - Λειτουργίες Sin, Cos, Tan & Inverse

Πώς Υπολογίζονται οι Τριγωνομετρικές Λειτουργίες

Η τριγωνομετρία βασίζεται σε έξι θεμελιώδεις λειτουργίες που σχετίζουν τις γωνίες με τις αναλογίες των πλευρών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

• Σιν (συν θ) = O / H-- ο λόγος της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα
• Κοσίνος (cos θ) = Α / H-- ο λόγος της παρακείμενης πλευράς προς την υποτείνουσα
• Ταντζέντα (tan θ) = O / A-- η αναλογία της αντίθετης πλευράς προς την παρακείμενη πλευρά

Κάθε πρωταρχική συνάρτηση έχει ένα αμοιβαίο: συνεκτικό (csc θ = H / O), secant (sec θ = H / A) και cotangent (cot θ = A / O).SOH-CAH-TOAΒοηθάει να θυμόμαστε: Σινός = Αντίθετος/Υπότενος, Κόσσος = Παρακείμενος/Υπότενος, Ταντζέντα = Αντίθετος/Παρακείμενος.

Πέρα από τα ορθογώνια τρίγωνα, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις επεκτείνονται σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς μέσω τουΚύκλος μονάδαςΟρισμός. Ένα σημείο στον κύκλο μονάδας σε γωνία θ από τον θετικό άξονα x έχει συντεταγμένες (cos θ, sin θ). Αυτή η γενίκευση κάνει τις τριγωνικές συναρτήσεις περιοδικές: το sinus και το cosine επαναλαμβάνονται κάθε 2π ακτίνες (360 μοίρες), ενώ η εφαπτόμενη επαναλαμβάνεται κάθε π ακτίνες (180 μοίρες).

Οι σύγχρονες αριθμομηχανές αξιολογούν τις τριγωνικές συναρτήσεις χρησιμοποιώντας πολυωνυμικές προσεγγίσεις που προέρχονται από τις σειρές Τέιλορ. Για παράδειγμα: sin ((x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... (όπου το x είναι σε ραδιάνους). Οι επεξεργαστές υπολογιστών χρησιμοποιούν ειδικό υλικό (όπως το σύνολο εντολών x87 FPU) για να υπολογίσουν αυτές τις επεκτάσεις με πλήρη ακρίβεια πλωτής κλίμακας σε νανοδευτερόλεπτα.Math.sin()λειτουργία καλεί αυτές τις ρουτίνες επιτάχυνσης υλικού.

Οι Έξι Τριγωνομετρικές Λειτουργίες

Εδώ είναι μια πλήρης αναφορά και των έξι τριγωνικών συναρτήσεων, των τύπων τους, των τομέων, των περιοχών και των αμοιβαίων σχέσεων:

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (arcsin, arccos, arctan) αντιστρέφουν τη διαδικασία - δίνοντας μια αναλογία, επιστρέφουν τη γωνία.

Πίνακας αναφοράς τριγωνομετρικών τιμών

Αυτές οι κοινές τιμές γωνίας εμφανίζονται συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Η απομνημόνευσή τους εξοικονομεί σημαντικό χρόνο στις εξετάσεις και στους πρακτικούς υπολογισμούς:

Γρήγορο πρότυπο να θυμάσαι:Για το sinus σε 0 μοίρες, 30 μοίρες, 45 μοίρες, 60 μοίρες, 90 μοίρες, οι τιμές ακολουθούν το μοτίβο √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 -- που απλοποιείται σε 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Το cosine ακολουθεί το ίδιο μοτίβο με αντίστροφη σειρά.

Βαθμοί έναντι Ραδιάνων: Μετατροπή μεταξύ Μονάδων γωνίας

Οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν σε βαθμούς ή ακτίνες. Οι βαθμοί χωρίζουν μια πλήρη περιστροφή σε 360 ίσα μέρη - μια σύμβαση που χρονολογείται από την αρχαία Βαβυλωνιακή αστρονομία (το σύστημα αριθμών βάσης 60 τους έκανε το 360 μια φυσική επιλογή).

Μορφές μετατροπής:

• βαθμοί σε ακτίνες:ακτίνες = βαθμοί x π / 180
• Ραδιάνοι σε βαθμούς:βαθμοί = ακτίνες x 180 / π

Γρήγορες μετατροπές:Μια χρήσιμη συντόμευση: για να μετατρέψετε βαθμούς σε ακτίνες, πολλαπλασιάστε με 0,01745; για να μετατρέψετε ακτίνες σε βαθμούς, πολλαπλασιάστε με 57,296.

Οι κομψές σχέσεις παραγώγων - d/dx sin (x) = cos (x) και d/dx cos (x) = -sin (x) - ισχύουν μόνο όταν το x είναι σε ακτίνες.Math.sin(), Math.cos(), καιMath.tan()Αυτή η αριθμομηχανή χειρίζεται την μετατροπή αυτόματα με βάση την επιλεγμένη μονάδα.Υπολογιστής Μονάδας Κύκλου.

Συνηθισμένες περιπτώσεις χρήσης για την τριγωνομετρία

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εμφανίζονται σχεδόν σε κάθε τομέα της επιστήμης, της μηχανικής και της τεχνολογίας.

• Ναυσιπλοΐα και γεωμετρική έρευνα:Τα συστήματα GPS χρησιμοποιούν την τριγωνομετρία για τον υπολογισμό των αποστάσεων μεταξύ των συντεταγμένων στην καμπύλη επιφάνεια της Γης. Οι επιθεωρητές χρησιμοποιούν την τριγωνομετρία - τη μέτρηση γωνιών σε γνωστά σημεία - για τον προσδιορισμό αποστάσεων και υψομέτρων χωρίς άμεση μέτρηση.
• Κατασκευή και αρχιτεκτονική:Η κλίση της οροφής, οι γωνίες της σκάλας, οι κλίσεις της ράμπας και τα δομικά φορτία απαιτούν όλους τριγωνομετρικούς υπολογισμούς.Υπολογιστής τριγώνωνμπορεί να λύσει αυτά τα προβλήματα τρίγωνο απευθείας.
• Φυσική και μηχανική:Η κίνηση των κυμάτων, οι ταλαντώσεις, τα κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος (AC) και η κίνηση του εκκρεμούς περιγράφονται από τις σινουσοειδείς συναρτήσεις. Η τάση εναλλασσόμενου ρεύματος ποικίλλει ως V (t) = V0 sin (π), όπου f είναι η συχνότητα σε hertz. Η επεξεργασία σήματος, η ηχητική μηχανική και η ραδιοφωνική μετάδοση βασίζονται στην ανάλυση Fourier.
• Ηλεκτρονικά γραφικά και παιχνίδια:Οι μηχανές τρισδιάστατης απεικόνισης χρησιμοποιούν μήτρες περιστροφής κατασκευασμένες από sinus και cosine για να περιστρέψουν αντικείμενα, να υπολογίσουν γωνίες φωτισμού και να προβάλουν τρισδιάστατες σκηνές σε 2D οθόνες.
• Αστρονομία:Η μέτρηση των αποστάσεων από τα αστέρια χρησιμοποιώντας παράλλαξη (τριγωνομετρική παράλλαξη) και ο υπολογισμός της τροχιακής μηχανικής εξαρτώνται και οι δύο από την τριγωνομετρία.

Παραδείγματα Τριγωνομετρίας Βήμα Βήμα

Παράδειγμα 1: Βρίσκοντας το ύψος ενός κτιρίου

Στεκόμαστε 40 μέτρα από ένα κτίριο και μετράμε μια γωνία ανύψωσης 55 μοιρών προς την οροφή.

1. Προσδιορίστε: γνωρίζετε την παρακείμενη πλευρά (40 m) και τη γωνία (55 μοίρες), και θέλετε την αντίθετη πλευρά (ύψος)
2. Χρησιμοποιήστε την εφαπτόμενη: tan ((55 μοίρες) = απέναντι / παρακείμενη = ύψος / 40
3. Υπολογίστε: ύψος = 40 x μαύρο χρώμα ((55 μοίρες) = 40 x 1.4281 =57,12 μέτρα

Παράδειγμα 2: Αναζήτηση γωνίας από τα μήκη των πλευρών

Μια σκάλα στηρίζεται σε έναν τοίχο. Η σκάλα έχει μήκος 6 μέτρων και η βάση της είναι 2 μέτρα από τον τοίχο. Ποια γωνία κάνει με το έδαφος;

1. Προσδιορίστε: γνωρίζετε την υποτείνουσα (6 m) και την παρακείμενη πλευρά (2 m), και θέλετε τη γωνία
2. Χρησιμοποιήστε το κοσίνιο: cos ((θ) = παρακείμενη / υποτείνουσα = 2 / 6 = 0,3333
3. Εφαρμόστε το αντίστροφο: θ = arccos ((0,3333) =70.53 μοίρες
4. Ελέγξτε: Το ύψος του τοίχου = 6 x sin ((70,53 μοίρες) = 6 x 0,9428 = 5,66 m. Ελέγξτε: 22 + 5,662 = 4 + 32,04 = 36,04 ~ 62

Παράδειγμα 3: Λύση ενός πλήρους ορθογώνιου τριγώνου

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει πόδια 5 εκατοστών και 12 εκατοστών.

1. Υποτείνουσα: c = √(52 + 122) = √(25 + 144) = √169 =13 εκατοστά(αυτό είναι το κλασικό 5-12-13 Πυθαγόρας τριπλό - δείτε μαςΥπολογιστής του Πυθαγόρα)
2. Γωνία Α (αντίθετη με την πλευρά των 5 cm): sin ((A) = 5/13 = 0.3846, έτσι A = arcsin ((0.3846) =22,62 μοίρες
3. Γωνία B (αντίθετη με την πλευρά των 12 cm): B = 90 μοίρες - 22,62 μοίρες =67,38 μοίρες
4. Επαλήθευση: αμαρτία (67,38 μοίρες) = 0,9231 ~ 12/13 = 0,9231

Θεμελιώδεις ταυτότητες και τύποι ερεθίσματος

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι εξισώσεις που είναι αληθινές για όλες τις έγκυρες τιμές γωνίας. Είναι απαραίτητες για την απλοποίηση εκφράσεων, την επίλυση εξισώσεων και την απόδειξη μαθηματικών αποτελεσμάτων.

Πυθαγόρειες ταυτότητες(προέρχεται από sin2θ + cos2θ = 1):

• sin2θ + cos2θ = 1-- η θεμελιώδης ταυτότητα
• 1 + tan2θ = sec2θ-- διαιρείται με το cos2θ
• 1 + cot2θ = csc2θ-- διαιρούνται με sin2θ

Φόρμουλες διπλής γωνίας:

• sin ((2θ) = 2 sin ((θ) cos ((θ)
• cos ((2θ) = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1 = 1 - 2sin2θ
• Δοκιμαστικός έλεγχος

Σύνθετοι και διαφορικοί τύποι:

• αμαρτία (α) +/- Β) = αμαρτία (α) +/- αμαρτία (β)
• cos ((A +/- B) = cos ((A) cos ((B) sin ((A) sin ((B)
• Δοκιμαστικό έγγραφο

Φόρμουλες μισής γωνίας:

• αμαρτία ((θ/2) = +/-√ (((1 - cos θ) / 2)
• cos ((θ/2) = +/-√((1 + cos θ) / 2)
• tan ((θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = (1 - cos θ) / sin θ

Νόμος των Σινών και Νόμος των Κοσινών(για κάθε τρίγωνο, όχι μόνο για ορθογώνια τρίγωνα):

• Νόμος των Αμαρτιών:a/sin ((A) = b/sin ((B) = c/sin ((C) -- συνδέει τις πλευρές με αντίθετες γωνίες
• Νόμος του Cosines:c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(C) -- γενικεύει το θεώρημα του Πυθαγόρα

Αυτοί οι νόμοι σας επιτρέπουν να λύσετε οποιοδήποτε τρίγωνο με επαρκείς πληροφορίες (ASA, SAS, SSS ή AAS).Υπολογιστής τριγώνωνγια να λύσουμε τρίγωνα χρησιμοποιώντας αυτούς τους νόμους αυτόματα.

Συμβουλές και Συχνά Λάθη

Αποφύγετε αυτά τα συχνά λάθη όταν εργάζεστε με τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

• Λάθος γωνία:Το νούμερο ένα λάθος. Ο υπολογισμός του sin ((90) σε ριδιακή λειτουργία δίνει 0,8940 (sin 90 ριδιανών), όχι 1. Πάντα ελέγξτε αν ο υπολογιστής ή η γλώσσα προγραμματισμού σας αναμένει βαθμούς ή ριδιανές.
• Μπερδεύοντας τις αντίστροφες συναρτήσεις με τις αμοιβαίες:Το σιν-1 (x) σημαίνει arcsin (x) - η γωνία της οποίας το σιν είναι x. Δεν σημαίνει 1/sin (x), που είναι csc (x).
• Ξεχνώντας τους περιορισμούς του τομέα:Το arcsin και το arccos δέχονται μόνο εισροές μεταξύ -1 και 1. Αν ο υπολογισμός σας παράγει sin (θ) = 1.5, έχετε ένα λάθος κάπου - καμία πραγματική γωνία δεν έχει ένα sinus μεγαλύτερο από 1.
• Πολλαπλές λύσεις:Όταν χρησιμοποιείτε το arcsin για να βρείτε μια γωνία, θυμηθείτε ότι μπορεί να υπάρχει μια δεύτερη έγκυρη λύση. Το arcsin επιστρέφει πάντα τιμές σε [-90 μοίρες, 90 μοίρες], αλλά η πραγματική γωνία μπορεί να είναι στο δεύτερο τεταρτημόριο.
• Γυρίζοντας πολύ νωρίς:Σε προβλήματα πολλαπλών βημάτων, διατηρήστε την πλήρη ακρίβεια μέσω ενδιάμεσων υπολογισμών και στρογγυλοποιήστε μόνο την τελική απάντηση.
• Αναμείξη SOH-CAH-TOA:Σχεδιάστε το τρίγωνο και σημειώστε τις πλευρές σε σχέση με τη γωνία σας.
• Ξεχνώντας το σύμβολο +/-:Τα σημεία της τριγωνικής συνάρτησης εξαρτώνται από το τεταρτημόριο. Στο τεταρτημόριο ΙΙ (90 μοίρες - 180 μοίρες), το sinus είναι θετικό αλλά το cosine και το tangent είναι αρνητικά. Χρησιμοποιήστε το μνημονικό "Όλοι οι μαθητές παίρνουν υπολογισμό" - Όλα θετικά στο Q1, το sine στο Q2, το tangent στο Q3, το cosine στο Q4.

Τριγωνομετρία και Γεωμετρία: Ποια είναι η διαφορά;

Η τριγωνομετρία και η γεωμετρία σχετίζονται στενά, αλλά εξυπηρετούν διαφορετικούς σκοπούς.

Στην πράξη, η τριγωνομετρία επεκτείνει την εμβέλεια της γεωμετρίας. Όπου η γεωμετρία μπορεί να σας πει την έκταση ενός τριγώνου δεδομένης βάσης και ύψους, η τριγωνομετρία μπορεί να βρει το ύψος από μια μέτρηση γωνίας - καθιστώντας την απαραίτητη για την έρευνα, την πλοήγηση, και οποιοδήποτε σενάριο όπου η άμεση μέτρηση είναι ανέφικτη.Υπολογιστής κλίσηςχρησιμοποιεί έννοιες τριγωνικών για τον υπολογισμό κλίσεων και γωνιών από δεδομένα συντεταγμένων.