Υπολογιστής τετραγωνικής ρίζας

Τι είναι η τετραγωνική ρίζα;

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού x είναι η τιμή y, έτσι ώστε y2 = x. Γράφεται ως √x ή x^(1/2), η τετραγωνική ρίζα είναι η αντίστροφη λειτουργία του τετραγωνισμού.

√25 = 5γιατί 52 = 25.
√144 = 12επειδή 122 = 144.
√2 ~ 1.41421-- παράλογο, δεκαδικό ποτέ δεν τελειώνει ή επαναλαμβάνεται.

Βασικές αλγεβρικές ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών:

• √(a x b) = √a x √b (ιδιότητα του προϊόντος -- χρησιμοποιείται για την απλοποίηση των ριζών)
• √(a/b) = √a ÷ √b (ιδιότητα του συντελεστή)
• √(a2) = α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α
• (√α) 2 = α για α >= 0 (το τετράγωνο και η τετραγωνική ρίζα είναι αντίστροφες πράξεις)
• √a + √b ≠ √(a + b) (κοινό λάθος - δεν μπορεί να προσθέσει κάτω από τη ρίζα)

Κάθε θετικός αριθμός έχει δύο τετραγωνικές ρίζες: +√x και -√x. Η κύρια τετραγωνική ρίζα √x επιστρέφει μόνο την θετική ρίζα.

Πίνακας αναφοράς τέλειων τετραγώνων

Η απομνημόνευση τέλειων τετραγώνων από το 1 έως το 25 είναι εξαιρετικά χρήσιμη για τα νοητικά μαθηματικά, την εκτίμηση των τετραγωνικών ριζών και την απλούστευση των ριζών στην άλγεβρα:

Η γνώση αυτών των τέλειων τετραγώνων σας λέει αμέσως ότι √50 είναι μεταξύ √49 = 7 και √64 = 8, καθιστώντας το 7,07 μια λογική πρώτη εικασία. √200 = √(100 x 2) = 10√2 ~ 14,14. Η γνώση των τέλειων τετραγώνων βοηθά επίσης στην απλοποίηση εκφράσεων όπως √72 = √(36 x 2) = 6√2.

Πώς να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες χωρίς αριθμομηχανή

ΤοΒαβυλωνιακή μέθοδος(ονομάζεται επίσης μέθοδος του Νεύτωνα για τις τετραγωνικές ρίζες) είναι ένας αρχαίος επαναληπτικός αλγόριθμος για την προσέγγιση √N που συγκλίνει εξαιρετικά γρήγορα:

Αλγόριθμος:Ξεκινήστε με την αρχική εικασία x0 και επαναλάβετε: xn+1 = (xn + N/xn) ÷ 2.

Παράδειγμα: √50

• Αρχική εικασία: x0 = 7 (αφού √49 = 7, κοντά στο √50)
• x1 = (7 + 50/7) ÷ 2 = (7 + 7.1429) ÷ 2 = 7.0714
• x2 = (7.0714 + 50/7.0714) ÷ 2 = (7.0714 + 7.0711) ÷ 2 = 7.07107
• Το x3 συγκλίνει στο √50 ~7.07107-- ήδη ακριβής σε 5 δεκαδικά ψηφία

Η Βαβυλωνιακή μέθοδος διπλασιάζει τον αριθμό των σωστών ψηφίων με κάθε επανάληψη - μια ιδιότητα που ονομάζεται τετραγωνική σύγκλιση, καθιστώντας την εξαιρετικά αποτελεσματική. Ήταν γνωστή στους Βαβυλωνιακούς μαθηματικούς από το 1800 π.Χ. και εμφανίζεται σε πήλινες πινακίδες ως αλγόριθμος προσέγγισης για √2.

Μέθοδος ταχείας γραμμικής παρεμβολής:Για √50, σημειώστε ότι 72 = 49 και 82 = 64. √50 ~ 7 + (50 - 49) / 64 - 49) = 7 + 1/15 ~ 7.07. Αυτό δίνει μια αξιοπρεπή 2-3 ψηφιακή προσέγγιση σε ένα βήμα. Καλύτερη μέθοδος: 7 + (50 - 49) / 2 x 7) = 7 + 1/14 ~ 7.071 (χρησιμοποιώντας τη διαφορική προσέγγιση √(N + δ) ~ √N + δ / 2√N)).

Απλοποίηση των ριζοσπαστικών: Αναζήτηση των ακριβών μορφών

Όταν ένας αριθμός δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο, η τετραγωνική ρίζα του μπορεί συχνά να απλοποιηθεί με παραγοντοποίηση τέλειων τετραγώνων.

Διαδικασία:Διαιρέστε το ριζικό για να βρείτε τους τετραγωνικούς συντελεστές, και στη συνέχεια πάρτε την τετραγωνική ρίζα αυτών των συντελεστών έξω από το ριζικό.

Η απλοποιημένη μορφή (π.χ. 6√2) προτιμάται στην άλγεβρα επειδή είναι ακριβής και διατηρεί τις εκφράσεις απλές. Οι δεκαδικές προσεγγίσεις εισάγουν σφάλμα στρογγυλοποίησης και καθιστούν πιο δύσκολη τη συμβολική χειραγώγηση. Όταν προσθέτετε ρίζες: μπορείτε μόνο να συνδυάσετε "όπως ρίζες" (το ίδιο ριζικό): 3√2 + 5√2 = 8√2, αλλά 3√2 + 5√3 δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω.

Οι τετραγωνικές ρίζες στη γεωμετρία και το θεώρημα του Πυθαγόρα

Οι τετραγωνικές ρίζες εμφανίζονται φυσικά κάθε φορά που εφαρμόζεται το θεώρημα του Πυθαγόρα: a2 + b2 = c2.

Συνήθεις Πυθαγόρειοι τρίπλοι(απολύσεις ακέραιων αριθμών, δεν απαιτείται τετραγωνική ρίζα):

Πραγματικές εφαρμογές του θεωρήματος του Πυθαγόρα:

• Πλοήγηση:Ένας δρομέας που πηγαίνει 3 χιλιόμετρα ανατολικά και 4 χιλιόμετρα βόρεια είναι √(9 + 16) = 5 χιλιόμετρα σε ευθεία γραμμή από την αρχή
• Μέγεθος οθόνης:Μια τηλεόραση με αναλογία διαστάσεων 16:9 και διαγώνιο 55 ιντσών έχει πλάτος = 55 x 16/√(162+92) = 55 x 16/18.36 ~ 47.9 ίντσες, ύψος ~ 26.9 ίντσες
• Φόρμουλα απόστασης:Απόσταση GPS μεταξύ συντεταγμένων (x1,y1) και (x2,y2) = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2)
• Ηλεκτρολόγος μηχανικός:Εμπεδάνεια Z = √(R2 + X2) όπου R είναι αντίσταση και X είναι αντιδραστικότητα

Κουβικές ρίζες και ρίζες ανώτερης τάξης

Η τετραγωνική ρίζα είναι μια ειδική περίπτωση της n-της ρίζας.τετραγωνική ρίζα( x) δίνει μια τιμή y τέτοια ώστε y3 = x. Οι υψηλότερες ρίζες σημειώνονται ως n√x ή x^(1/n).

Βασικές ρίζες κύβους:

• 1 = 1; 8 = 2; 27 = 3; 64 = 4; 125 = 5; 216 = 6; 1000 = 10
• 2 ~ 1.2599; 3 ~ 1.4422; 5 ~ 1.7100

Σε αντίθεση με τις τετραγωνικές ρίζες, οι κυβικές ρίζες αρνητικών αριθμών είναι πραγματικές: (-8) = -2 επειδή (-2) 3 = -8.

Τέταρτες ρίζες(4√x = (x^(1/2)) ^(1/2)): 4√16 = 2; 4√81 = 3; 4√256 = 4. Οι τέταρτες ρίζες μπορούν να υπολογιστούν ως η τετραγωνική ρίζα της τετραγωνικής ρίζας.

Εφαρμογές:

• Χρηματοοικονομικά:Σύνθετος ετήσιος ρυθμός αύξησης (CAGR) για 4 χρόνια: CAGR = (Τελικό/Αρχικό) ^ ^ ^ 1/4) - 1. Εάν η επένδυση αυξάνεται από $ 100 σε $ 200 σε 4 χρόνια: CAGR = (200/100) ^ ^ 0.25) - 1 = 2 ^ 0.25 - 1 = 1.1892 - 1 = 18.92% ετησίως
• Φυσική:Η ταχύτητα διαφυγής από έναν πλανήτη v = √(2GM/r) χρησιμοποιεί μια τετραγωνική ρίζα. Η ακτίνα Schwarzschild r = 2GM/c2 δεν χρησιμοποιεί ρίζα αλλά η τροχιακή περίοδος T r^(3/2) χρησιμοποιεί κλάσμα δυνάμεων
• Γεωμετρία:Ο όγκος μιας σφαίρας: r = (3V/4π) απαιτεί μια κυβική ρίζα για να βρει την ακτίνα από τον όγκο

Αλλόλογοι Αριθμοί και ριζικοί αριθμοί

Οι περισσότερες τετραγωνικές ρίζες είναι παράλογοι αριθμοί -- οι δεκαδικές τους επεκτάσεις ούτε τελειώνουν ούτε επαναλαμβάνονται, και δεν μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμών.

Η ανορθολογικότητα του √2 αποδείχθηκε από τους αρχαίους Έλληνες (που αποδίδεται στη σχολή του Πυθαγόρα) χρησιμοποιώντας απόδειξη από αντίφαση: υποθέστε √2 = p/q σε χαμηλότερους όρους, τότε p2 = 2q2, που σημαίνει p2 είναι ακόμη, έτσι p είναι ακόμη (p = 2k), δίνοντας (2k) 2 = 2q2 -> q2 = 2k2 -> q είναι επίσης ακόμη, που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι p/q είναι σε χαμηλότερους όρους.

Οι δεκαδικές επεκτάσεις των βασικών παράλογων ριζών:

• √2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694...
• √3 = 1.73205080756887729352744634150587236694280525381038...
• √5 = 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152...
• √7 = 2.64575131106459059050161575667572514151032065870077...

Μια τετραγωνική ρίζα είναι ορθολογική αν και μόνο αν η ρίζα είναι ένα τέλειο τετράγωνο. √4 = 2 (ορθολογικό), √9 = 3 (ορθολογικό), αλλά √(4.41) = 2.1 (ορθολογικό! επειδή 4.41 = (2.1) 2 = 21/10 στο τετράγωνο = 441/100).

Οι τετραγωνικές ρίζες στις στατιστικές και την επιστήμη

Οι τετραγωνικές ρίζες εμφανίζονται σε όλη τη στατιστική και την επιστήμη, συχνά σε τύπους που περιλαμβάνουν τη μέτρηση της εξάπλωσης, της απόστασης ή της αβεβαιότητας.

Τυπική απόκλιση:Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της μέσης τετραγωνικής απόκλισης από το μέσο όρο. Λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα φέρνει το μέτρο πίσω στις ίδιες μονάδες με τα αρχικά δεδομένα - αν τα ύψη είναι σε cm, η απόκλιση είναι σε cm2 και η τυπική απόκλιση είναι σε cm. Η μεταβλητότητα του ρυθμού ενός δρομέα μπορεί να έχει μια απόκλιση 9 (sec/km) 2, δίνοντας μια τυπική απόκλιση √9 = 3 sec/km.

Μέση ρίζα του τετραγώνου (RMS):Η τάση εναλλασσόμενου ρεύματος εκφράζεται ως RMS: μια πρίζα "120V AC" έχει μέγιστη τάση 120 x √2 ~ 170 V, αλλά η τιμή RMS (120V) αντιπροσωπεύει την ισοδύναμη τάση συνεχούς ρεύματος για την παροχή ισχύος.

Διαστολή αβεβαιότητας:Όταν συνδυάζονται ανεξάρτητες αβεβαιότητες μέτρησης, η συνδυασμένη αβεβαιότητα = √(σ12 + σ22). Εάν ένα GPS μετρά την απόσταση με αβεβαιότητα +/-5 m και ένα χρονόμετρο μετρά τον χρόνο με αβεβαιότητα +/-0,5 s, η συνδυασμένη αβεβαιότητα ταχύτητας εξαρτάται από την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγωνικών κλασματικών αβεβαιότητας.

Κβαντική μηχανική:Η αρχή αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ περιλαμβάνει τετραγωνικές ρίζες: Δx x Δp >= ħ/2. Οι κυματοδυναμίες των κβαντικών σωματιδίων περιλαμβάνουν πολύπλοκες τετραγωνικές ρίζες και εκθετικές. Η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο σε μια θέση είναι Δψτυπικό2 (το τετράγωνο του μεγέθους της κυματοδυναμίας), και η αβεβαιότητα στη θέση περιλαμβάνει √ (x2 - x 2) - την τυπική απόκλιση της κατανομής πιθανότητας θέσης.