Υπολογιστής διασταυρούμενου προϊόντος - 3D διανύσματα
Χρησιμοποιήστε αυτό το δωρεάν ηλεκτρονικό υπολογιστή μαθηματικών για άμεσα, ακριβή αποτελέσματα.
Διασταυρούμενο προϊόν: Ορισμός και τύπος
Τοδιασταυρούμενο προϊόν(ονομάζεται επίσης πολλαπλασιασμός διανυσμάτων) δύο τρισδιάστατων διανυσμάτων Α και Β παράγει έναν τρίτο διανυσμό που είναι κάθετος και στους δύο διανυσμούς εισόδου. Ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατο χώρο (και σε επταδιάστατο χώρο για μια γενίκευση υψηλότερων διαστάσεων), σε αντίθεση με το πολλαπλασιασμό διανυσμάτων που λειτουργεί σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.
Δεδομένου ότι A = (Ax, Αy, Αz) και B = (Bx, Βy, Βz), το διασταυρωμένο προϊόν είναι:
Α x Β = (ΑyBz- ΑzBy, ΑzBx- ΑxBz, ΑxBy- ΑyBx)
Το μέγεθος του διασταυρούμενου γινόμενου: θ είναι η γωνία μεταξύ Α και Β. Αυτό ισούται με την επιφάνεια του παραλληλόγραμμου που σχηματίζεται από τους δύο διανύστες - μια όμορφη γεωμετρική ερμηνεία. Αν οι διανύστες είναι παράλληλοι (θ = 0 μοίρες ή 180 μοίρες), το διασταυρούμενο γινόμενο είναι ο διανύτης μηδέν.
Η κατεύθυνση του A x B καθορίζεται από τοκανόνας του δεξιού χεριού: δείξτε τα δάχτυλα του δεξιού σας χεριού προς την κατεύθυνση του Α, κυλήστε τα προς την κατεύθυνση του Β, και ο αντίχειρας σας δείχνει προς την κατεύθυνση του Α x Β. Αυτό σημαίνει ότι το πολλαπλασιαστικό είναι αντι-μεταβλητικό: Α x Β = - B x Α. Η σειρά έχει σημασία - η αντιστροφή των πράξεων αντιστρέφει την κατεύθυνση.
Το πολλαπλασιαστικό μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν προσδιοριστικό συμβολισμό: A x B = det (([[î, ĵ, k̂], [Ax, Αy, Αz], [Βx, Βy, Βz]]), όπου î, ĵ, k̂ είναι οι μονάδες διανύστες στις κατευθύνσεις x, y, z. Η επέκταση αυτού του καθοριστικού δίνει τον παραπάνω τύπο συστατικού.
Διασταυρούμενο προϊόν έναντι προϊόντος με σημεία: Βασικές διαφορές
Τόσο το πολλαπλασιαστικό όσο και το πολλαπλασιαστικό είναι θεμελιώδεις λειτουργίες σε διανύσματα, αλλά διαφέρουν βαθιά στη φύση και την εφαρμογή τους.
| Ιδιοκτησία | Προϊόν σημείων (Α · Β) | Πολλαπλασιαστικό (A x B) |
|---|---|---|
| Τύπος αποτελέσματος | Σκάλα (αριθμός) | Διανύστης (ένας 3D διανύστης) |
| Σύνταξη | AxBx+ ΑyBy+ ΑzBz | (AyBz−AzBy, ΑzBx−AxBz, ΑxBy−AyBx) |
| Γεωμετρική έννοια | - Προβολή / ευθυγράμμιση | Η περιοχή του παραλληλόγραμμου |
| Μηδέν όταν | Α Β (ορθογώνια) | Α Β (παράλληλα) |
| Μέγιστο όταν | A B (παράλληλα), max = A B B | Α Β (ορθογώνια), μέγιστο = |
| Μεταλλακτικό; | Ναι: A · B = B · A | Όχι (αντικαταστατικό): A x B = - ((B x A)) |
| Διαστάσεις | Οποιεσδήποτε n διαστάσεις | Μόνο 3D (ή 7D) |
| Βασική εφαρμογή | Γωνίες, προεξοχές, εργασίες | Κανονικές τιμές, ροπή, γωνιακή ορμή |
Ένας γρήγορος τρόπος για να θυμηθείτε ποιο είναι ποιο:ΣημείοΤο προϊόν μετρά πόσο δύο διανύστες δείχνουν στοίδια κατεύθυνση(βλέπε "συμφωνία").Σταυρόςτο προϊόν μετρά πόσο δείχνουν σεδιαφορετικές κατευθύνσειςκαι δίνει τον κάθετο άξονα της "στροφής" τους.
Παραδείγματα διασταυρούμενων προϊόντων βήμα προς βήμα
Η επεξεργασία παραδειγμάτων με διαφορετικές διαμορφώσεις διανυσμάτων δημιουργεί διαίσθηση για το πολλαπλασιαστικό.
| Διανύστης Α | Διανύστης Β | Α × Β | "Α" και "Β". | Σημειώσεις |
|---|---|---|---|---|
| (1, 0, 0) | (0, 1, 0) | (0, 0, 1) | 1 | î x ĵ = k̂ (κανόνας του δεξιού χεριού) |
| (0, 1, 0) | (0, 0, 1) | (1, 0, 0) | 1 | τσ χ χ χ α = ι |
| (0, 0, 1) | (1, 0, 0) | (0, 1, 0) | 1 | k̂ x î = ĵ |
| (1, 0, 0) | (1, 0, 0) | (0, 0, 0) | 0 | Παράλληλοι διανύστες -> μηδενικό διασταυρωμένο γινόμενο |
| (2, 3, 4) | (5, 6, 7) | (-3, 6, -3) | 7,35 εκατ. | Πρότυπο 3D παράδειγμα |
| (1, 2, 3) | (4, 5, 6) | (-3, 6, -3) | 7,35 εκατ. | Ίδιο αποτέλεσμα με την παραπάνω γραμμή |
| (3, 0, 0) | (0, 4, 0) | (0, 0, 12) | 12 | Η επιφάνεια του ορθογώνιου 3x4 = 12 |
| (1, 1, 0) | (0, 1, 1) | (1, -1, 1) | 1 732 | Περιοχή = √2 x √2 x sin 60 βαθμών = √3 ~ 1.732 |
Βήμα προς βήμα για A = (2, 3, 4), B = (5, 6, 7):
- συνιστώσα x: ΑyBz- ΑzBy= (3) - (4) = 21 - 24 = -3
- συνιστώσα y: AzBx- ΑxBz= (4) - (2) - (7) = 20 - 14 = 6
- συνιστώσα z: AxBy- ΑyBx= (2) - (3) = 12 - 15 = -3
- Αποτέλεσμα: A x B = (-3, 6, -3)
Εφαρμογές στη φυσική: ροπή, γωνιακή ορμή και μαγνητική δύναμη
Η ικανότητά του να παράγει έναν κάθετο διανύστη από δύο διανύστες σε επίπεδο το καθιστά το φυσικό εργαλείο για την περιγραφή περιστροφικών φαινομένων.
Στροφή (τ = r x F):Η ροπή είναι το πολλαπλασιαστικό του διανύσματος της θέσης r (από το στροφή στο σημείο εφαρμογής της δύναμης) και του διανύσματος της δύναμης F. Αν εφαρμόσετε μια δύναμη 20 N κάθετα σε ένα κλειδί 0,3 m, τ = 0,3 x 20 x sin (90 μοίρες) = 6 N·m. Το πολλαπλασιαστικό δίνει τόσο το μέγεθος όσο και τον άξονα περιστροφής. Αυτό είναι ακριβώς αυτό που κάνει ένα κλειδί: r είναι το μήκος του κλειδιού, F είναι η δύναμη του χεριού σας και r x F καθορίζει αν ο μπουλόνι γυρίζει με την κατεύθυνση των δεικτών του ρολογιού ή αντίθετα προς την κατεύθυνση των δεικτών του ρολογιού.
Γωνιακή ορμή (L = r x p):Η γωνιακή ορμή είναι το διασταυρωμένο προϊόν της θέσης και της γραμμικής ορμής (p = mv). Για έναν πλανήτη που περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο, L = r x mv = σταθερή (διατήρηση της γωνιακής ορμής, από τον δεύτερο νόμο του Κέπλερ). Η κατεύθυνση του διασταυρωμένου προϊόντος δίνει το κανονικό διάνυσμα του τροχιακού επιπέδου.
Μαγνητική δύναμη (F = q v x B):Η δύναμη σε ένα φορτισμένο σωματίδιο που κινείται μέσα από ένα μαγνητικό πεδίο είναι F = qv x B, όπου q είναι το φορτίο, v είναι η ταχύτητα και B είναι ο διανύστης μαγνητικού πεδίου.
Ηλεκτρικό πεδίο κινούμενου φορτίου:Ο νόμος Biot-Savart για το μαγνητικό πεδίο ενός ρεύματος: dB = (μ0I/4π) x (dl x r̂/r2).
Ηλεκτρονικά γραφικά και εφαρμογές 3D
Σχεδόν κάθε αγωγός απεικόνισης 3D το χρησιμοποιεί εκτενώς για φωτισμό, ανίχνευση σύγκρουσης και επεξεργασία γεωμετρίας.
Κανονικές επιφάνειες:Λαμβάνοντας υπόψη μια τριγωνική επιφάνεια με κορυφές P1, P2, P3: υπολογίστε τους διανύστες άκρων e1 = P2 - P1 και e2 = P3 - P1. Ο κανονικός διανύστης n = e1 x e2 είναι κάθετος στην επιφάνεια. Κανονικοποιήστε n (διαίρεση με n) για να πάρετε την μονάδα κανονικό. Αυτό το κανονικό χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς φωτισμού (Phong shading): το τετράγωνο του κανονικού και της κατεύθυνσης του φωτός καθορίζει την φωτεινότητα της επιφάνειας (διάχυτη αντανάκλαση).
Μητρώα κάμερας και θέασης:Στα 3D γραφικά (OpenGL, DirectX, Unity), η μήτρα θέασης της κάμερας κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας διασταυρωμένα προϊόντα.
Ανίχνευση σύγκρουσης:Στην φυσική των παιχνιδιών, το Θεώρημα Διαχωριστικού Άξονα (SAT) χρησιμοποιεί σταυροπροϊόντα των κατευθύνσεων των άκρων για να βρει πιθανούς διαχωριστικούς άξονες μεταξύ τρισδιάστατων κυρτών σχημάτων.
Περιοχές παραλληλογραμμάτων και τριγώνων:Αυτό είναι ταχύτερο και πιο σταθερό από τον τύπο του Heron για τρίγωνα που ορίζονται από διανύστες από την προέλευση.
Έλεγχος της κοπλανικότητας:Τρία σημεία P, Q, R και ένα τέταρτο σημείο S είναι συμπεριοδικά αν (Q-P) x (R-P) · (S-P) = 0 (το κλιμακικό τριπλό γινόμενο είναι μηδέν).
Ιδιότητες και Αλγεβρικοί Κανόνες του Πολλαπλασιαστικού
Η κατανόηση των αλγεβρικών ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού σας επιτρέπει να απλοποιήσετε πολύπλοκες εκφράσεις διανυσμάτων αποτελεσματικά.
| Ιδιοκτησία | Σύνταξη | Σημείωση |
|---|---|---|
| Αντι-μετατροπικότητα | Α × Β = -Β × Α) | Θέματα σειράς - αναστρέφοντας αναστρέφει κατεύθυνση |
| Διανομικότητα | A x (B + C) = A x B + A x C | Διασταυρούμενο προϊόν κατανέμεται πάνω από την πρόσθεση |
| Σκαλικός πολλαπλασιασμός | (cA) x B = c(A x B) | Σκάλαριες παράγοντες έξω |
| Αυτοδιασταυρούμενο προϊόν | Α x Α = 0 | Ένας διανύστης διασταυρωμένος με τον εαυτό του είναι μηδέν. |
| Μηδενικός φορέας | Α x 0 = 0 | Το πολλαπλασιαστικό με το μηδέν είναι μηδέν. |
| ΔΕΝ είναι συσχετιστικό | (A x B) x C ≠ A x (B x C) | Σε αντίθεση με την πρόσθεση/πολλαπλασιασμό |
| Τριπλό προϊόν | A · (B x C) = B · (C x A) = C · (A x B) | Σκαλικό τριπλό γινόμενο = όγκος του παραλληλεπιπιπέδου |
| Τριπλό γινόμενο του διανύστη | A x (B x C) = B (A·C) - C (A·B) | Κανόνας BAC-CAB |
Το κλιμακικό τριπλό γινόμενο A · (B x C) ισούται με τον υπογεγραμμένο όγκο του παραλληλεπιπεδίου (3D παραλληλόγραμμο) που σχηματίζεται από τους τρεις διανύστες. Αν είναι ίσο με το μηδέν, οι τρεις διανύστες είναι coplanar. Αν είναι θετικό, σχηματίζουν ένα δεξιόχειρο σύστημα, αν είναι αρνητικό, ένα αριστερόχειρο σύστημα. Αυτό υπολογίζεται ως ο προσδιοριστικός του πίνακα 3x3 με γραμμές Α, Β, C.
Η ταυτότητα Jacobi για τα διασταυρωμένα προϊόντα: A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = 0. Αυτό κάνει το 3D διανυσματικό χώρο με το διασταυρωμένο προϊόν μια άλγεβρα Lie - μια δομή σημαντική στην κβαντική μηχανική και τη θεωρία ομάδων.
Συχνές ερωτήσεις
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του πολλαπλασιαστικού και του πολλαπλασιαστικού;
Προϊόν σημείων (A · B = A)xBx+ ΑyBy+ ΑzBz) παράγει ένα κλιμακωτό (αριθμό), μετρά την ευθυγράμμιση, ισούται με A {\displaystyle \mathbf {B}}} θ {\displaystyle \mathbf {A}}} . Το διασταυρωτικό γινόμενο (A x B) παράγει ένα διάνυσμα κάθετο και στα δύο, μετρά την "στροφή" μεταξύ των διανυσμάτων, ισούται με A {\displaystyle \mathbf {B}}} θ {\displaystyle \mathbf {B}}} θ {\displaystyle \mathbf {B}}} θ {\displaystyle \mathbf {B}}} θ {\displaystyle \mathbf {B}}}) σε μέγεθος. Το αριστερό γινόμενο = μηδέν για κάθετους διανυσμούς, το διασταυρωτικό γινόμενο = μηδέν για παράλληλους διανυσμούς.
Είναι το πολλαπλασιαστικό μεταβλητό;
Όχι - είναι αντι-μετατροπτική: A x B = -(B x A. Η κατεύθυνση αναστρέφεται όταν ανταλλάσσετε τους πράκτορες (αναστροφή του κανόνα του δεξιού χεριού). Το μέγεθος παραμένει το ίδιο: A x B , B x A. Αυτή η αντι-μετατροπτικότητα αντανακλά την εγγενή κατευθυντικότητα της περιστροφής.
Τι σημαίνει μηδενικό διασταυρούμενο;
A x B = 0 (μηδενικός διανύστης) σημαίνει ότι οι δύο διανύστες είναι παράλληλοι (ή ένας είναι μηδενικός). Το sinus των 0 μοιρών και των 180 μοιρών είναι μηδενικό, καθιστώντας το διασταυρωμένο προϊόν μηδενικό για παράλληλους ή αντιπαράλληλους διανύστες. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δοκιμή για παράλληλο: εάν A x B = 0, οι διανύστες είναι παράλληλοι (ή τουλάχιστον ένας είναι μηδενικός).
Πώς μπορώ να βρω ένα διάνυσμα κάθετο σε δύο δεδομένα διάνυσμα;
Υπολογίστε το πολλαπλασιαστικό! Αν χρειάζεστε έναν διανύστη κάθετο και στα δύο A και B, υπολογίστε n = A x B. Κανονικοποιήστε διαιρώντας με το μέγεθος για μια μονάδα κανονικό: n̂ = (A x B) / A x B. Αυτό χρησιμοποιείται συνεχώς σε 3D γραφικά, φυσική και μηχανική για να βρείτε κανονικές επιφάνειες και άξονες περιστροφής.
Τι είναι ο κανόνας του δεξιού χεριού και πώς μπορώ να τον εφαρμόσω;
Σημειώστε τα δάχτυλα του δεξιού σας χεριού προς την κατεύθυνση του πρώτου διανύστη (Α). Κύρνα τα δάχτυλά σας προς τον δεύτερο διανύστη (Β). Ο εκτεταμένος αντίχειράς σας δείχνει προς την κατεύθυνση του Α x Β. Εναλλακτικά: αν το Α δείχνει Ανατολή και το Β δείχνει Βορρά, το Α x Β δείχνει Πάνω. Αυτός ο κανόνας είναι συνεπής σε όλες τις συμβάσεις της φυσικής και της μηχανικής για τα διασταυρωμένα προϊόντα.
Μπορώ να υπολογίσω το πολλαπλασιαστικό των διδιάστατων φορέων;
Το πρότυπο πολλαπλασιαστικό ορίζεται μόνο για 3D διανύσματα. Για 2D διανύσματα A = (a1, a2) και B = (b1, b2), επεκτείνονται σε 3D με z = 0: A = (a1, a2, 0) και B = (b1, b2, 0). Στη συνέχεια, A x B = (0, 0, a1b2 - a2b1). Το z-σύνθετο (a1b2 - a2b1) είναι το "2D πολλαπλασιαστικό" σκαλικό, ίσο με την υπογεγραμμένη περιοχή του παράλληλου και χρησιμοποιείται στην υπολογιστική γεωμετρία (π.χ., για να καθοριστεί αν ένα σημείο είναι στα αριστερά ή στα δεξιά μιας γραμμής).
Ποιο είναι το τριπλό γινόμενο;
Το κλιμακικό τριπλό γινόμενο είναι A · (B x C) = det (([A, B, C]) - ο προσδιοριστικός του πίνακα 3x3 με τις σειρές A, B, C. Είναι ίσος με τον υπογεγραμμένο όγκο του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζεται από τους τρεις διανύτες. Αν είναι μηδέν, οι τρεις διανύτες είναι συμπλανοί. Χρησιμοποιείται στον υπολογισμό του όγκου των τετραεδρών (V = ∆A · (B x C) / 6) και στην δοκιμή τρισδιάστατης γεωμετρίας.
Πώς χρησιμοποιείται το πολλαπλασιαστικό της διασταύρωσης για τον υπολογισμό της ροπής;
Για ένα γαλλικό κλειδί: αν r = 0,3 m κατά μήκος του άξονα x (χειρός του κλειδιού) και F = 20 N στην κατεύθυνση y, τ = (0,3, 0, 0) x (0, 20, 0) = (0·0 - 0·20, 0·0 - 0,3·0, 0,3·20 - 0·0) = (0, 6) N·m. Η ροπή των 6 N·m είναι στην κατεύθυνση z (άξονας περιστροφής).
Ποιο είναι το μέγεθος του πολλαπλασιασμού;
Αυτό είναι ίσο με την επιφάνεια του παραλληλόγραμμου που σχηματίζεται από το Α και το Β. Για μοναδιαία διανύσματα σε 90 μοίρες: A x B = 1 x 1 x 1 = 1. Σε 30 μοίρες: A x B = sin (30 μοίρες) = 0.5. Σε 0 μοίρες ή 180 μοίρες (παράλληλα): A x B = 0.
Ποιος είναι ο κανόνας BAC-CAB;
Η ταυτότητα του τριπλού προϊόντος ενός διανύστη: A x (B x C) = B ((A·C) - C ((A·B). Μνημονική: "BAC μείον CAB". Αυτό επεκτείνει ένα τριπλό προϊόν ενός διανύστη σε έναν συνδυασμό των αρχικών διανυκτόρων που σταθμίζονται από τα προϊόντα των κουκκίδων. Χρησιμοποιείται στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία και στις αποδείξεις του υπολογισμού διανυκτόρων για να απλοποιήσει πολύπλοκες εκφράσεις όπως η επέκταση του x ( x F) = (( ·F) - 2F.