Kereszttermék számológép - 3D vektorok
Számolja ki két 3D-s vektor kereszttermékét lépésről lépésre. Használja ezt az ingyenes online matematikai kalkulátort az azonnali, pontos eredményekhez.
Kereszttermék: meghatározás és képlet
Akereszttermék(más néven vektortermék) két 3D A és B vektorból egy harmadik vektorot eredményez, amely merőleges mindkét bemeneti vektorra. Csak 3 dimenziós térben (és 7 dimenziós térben egy magasabb dimenziós általánosításhoz) van meghatározva, ellentétben a ponttermékkel, amely bármilyen számú dimenzióban működik.
Adott A = (Ax, Ay, Az) és B = (Bx, By, Bz), a kereszttermék:
A x B = (AyBz- AzBy, AzBx- AxBz, AxBy- AyBx)
A kereszttermék nagysága: A x B darabja = A darabja B darabja θ, ahol θ az A és B közötti szög. Ez megegyezik a két vektor által alkotott párhuzamosszög területével - egy gyönyörű geometriai értelmezés. Ha a vektorok párhuzamosak (θ = 0 fok vagy 180 fok), akkor a kereszttermék a nulla vektor.
Az A x B irányát ajobboldali szabály: a jobb kéz ujjait A irányába mutatja, a bal ujjait B irányába, és a hüvelykujja az A x B irányába mutatja. Ez azt jelenti, hogy a kereszttermék anti-kommutatív: A x B = - B x A. A sorrend számít - az operandok megfordítása megfordítja az irányt.
A kereszttermék meghatározó jelöléssel számítható: A x B = det (([[î, ĵ, k̂], [Ax, Ay, Az], [Bx, By, Bz]]), ahol î, ĵ, k̂ az egységvektorok az x, y, z irányban.
Kereszttermék és ponttermék: Fő különbségek
Mind a kereszttermék, mind a ponttermék alapvető műveletek a vektorokon, de természetükben és alkalmazásukban mélyen különböznek egymástól.
| Társadalom | A ponttermék (A · B) | Kereszttermék (A x B) |
|---|---|---|
| Az eredmény típusa | Skalar (szám) | Vektor (egy 3D vektor) |
| A képlet | AxBx+ AyBy+ AzBz | (AyBz−AzBy, AzBx−AxBz, AxBy−AyBx) |
| Geometriai jelentés | A "A" az "B" az "C" az "C" az "C" az "D" az "E" az "F" az "F" az "F" az "A" az "F" az "A" az "F" | "A", "B" és "θ" -- a párhuzamos vonal területe |
| Nulla, amikor | A B (perpendikuláris) | A B (párhuzamos) |
| Legfeljebb, ha | A B (párhuzamos), max = 〇A | A B (perpendikuláris), max = ∞ |
| Kommutatív? | Igen: A · B = B · A | Nem (anti-kommutatív): A x B = - ((B x A) |
| Méretek | Bármely n dimenzió | Csak 3D (vagy 7D) |
| Alapvető alkalmazás | Szögek, kiemelések, munkálatok | Normális értékek, nyomaték, szögös momentum |
Egy gyors módja annak, hogy emlékezzen, melyik melyik: apontA termék azt méri, hogy a két vektor mennyit mutat augyanaz az irány(gondoljon "megállapodásra").kereszta termék mérése, hogy mennyire mutatnakkülönböző irányokés megadja a pörgetésük merőleges tengelyét.
Lépésről-lépésre mutatott kereszttermék-példák
A különböző vektorkonfigurációjú példák segítségével az intuíció a kereszttermékre épül.
| A vektor | B vektor | A x B | "A x B"? | Megjegyzések |
|---|---|---|---|---|
| (1, 0, 0) | (0, 1, 0) | (0, 0, 1) | 1 | î x ĵ = k̂ (jobboldali szabály) |
| (0, 1, 0) | (0, 0, 1) | (1, 0, 0) | 1 | ĵ x k̂ = î |
| (0, 0, 1) | (1, 0, 0) | (0, 1, 0) | 1 | k̂ x î = ĵ |
| (1, 0, 0) | (1, 0, 0) | (0, 0, 0) | 0 | Párhuzamos vektorok -> nulla kereszttermék |
| (2, 3, 4) | (5, 6, 7) | (-3, 6, -3) | 7.35 | Standard 3D-s példa |
| (1, 2, 3) | (4, 5, 6) | (-3, 6, -3) | 7.35 | Ugyanaz az eredmény, mint a fenti sorban |
| (3, 0, 0) | (0, 4, 0) | (0, 0, 12) | 12 | A 3x4-es téglalap területe 12 |
| (1, 1, 0) | (0, 1, 1) | (1, -1, 1) | 1 732 | Területe = √2 x √2 x sin 60 fok = √3 ~ 1.732 |
Lépésről lépésre A = (2, 3, 4), B = (5, 6, 7):
- x-komponens: AyBz- AzBy= (3) - (4) = 21 - 24 = -3
- y-komponens: AzBx- AxBz= (4) ((5) - (2) ((7) = 20 - 14 = 6
- z-komponens: AxBy- AyBx= 12 - 15 = -3
- Az eredmény: A x B = (-3, 6, -3)
Fizikai alkalmazások: nyomaték, szögös momentum és mágneses erő
A kereszttermék nélkülözhetetlen a fizikában. A képessége, hogy két síkon belüli vektorból merőleges vektort állítson elő, természetes eszközzé teszi a rotációs jelenségek leírásához.
Torque (τ = r x F):A nyomaték az r pozícióvektor (a tengelytől az erő alkalmazási pontjáig) és az F erővektor kereszttermékének felel meg. Ha egy 0,3 méteres csavarkulcsra 20 N erőt alkalmaznak merőlegesen, akkor τ = 0,3 x 20 x sin ((90 fok) = 6 N · m. A kereszttermék megadja mind a nagyságot, mind a forgási tengelyet. Ez pontosan az, amit egy csavarkulcs tesz: r a csavarkulcs hossza, F a kézerő, és r x F határozza meg, hogy a csavar az óra járásával vagy az óra járásával ellentétben fordul-e.
Szögös momentum (L = r x p):A szögös momentum a helyzet és a lineáris momentum kereszttermékének felel meg (p = mv). Egy bolygó számára, amely a Napot keringeti, L = r x mv = állandó (a szögös momentum megőrzése, Kepler második törvényéből). A kereszttermék irányja az orbitális sík normál vektorát adja.
Mágneses erő (F = q v x B):A mágneses mezőben mozgó töltött részecskére gyakorolt erő F = qv x B, ahol q a töltés, v a sebesség, és B a mágneses mező vektorja. A kereszttermék azt jelenti, hogy az erő mindig merőleges mind a v-re, mind a B-re - ez egy egyenletes mágneses mezőben körkörös mozgást okoz, ami a ciklotronok és a tömegspektrométerek alapja.
Mozgó töltés elektromos mezeje:A Biot-Savart-törvény egy áram mágneses mezejére: dB = (μ0I/4π) x (dl x r̂/r2).
Számítógépes grafika és 3D alkalmazások
A kereszttermék a 3D grafikus programozás munkahelyét jelenti. Majdnem minden 3D rendering pipeline széles körben használja a világításhoz, az ütközésérzékeléshez és a geometria feldolgozásához.
A felszíni normák:A normálvektor n = e1 x e2 függőleges az arcra. Normalizáljuk n-et (osztjuk n-tel) hogy megszerezzük a normál egységet. Ez a normál a világítási számításokban (Phong árnyékolás): a normál és a fényirány pontterméke határozza meg a felületi fényességet (diffúz visszatükröződés).
A kamera és a nézőmátrixok:A 3D grafikában (OpenGL, DirectX, Unity) a kamera nézetmátrixát kereszttermékekkel építik. A kamera pozícióját, a néző célpontot és a felfelé mutató vektort figyelembe véve a jobb vektor = felfelé x előre (vagy előre x felfelé a konvenciótól függően).
Összeütközés-érzékelés:A játékfizikában a szétválasztó tengelyelmélet (SAT) a 3D-s konvex alakzatok közötti potenciális szétválasztó tengelyek megtalálására használja a széledirányok kereszttermékét. Két doboz esetében a jelölt tengelyek magukban foglalják az összes széledirányú keresztterméket - legfeljebb 9 ilyen tengely két doboz esetében, mindegyiknek 3 széle van.
A párhuzamosszög és a háromszög területe:A x B az A és B által átnyúló párhuzamosszög területe. Ennek a fele a háromszög területe: Háromszög területe = 1⁄2 x A x B. Ez gyorsabb és számszerűleg stabilabb, mint Heron képlete a háromszögek számára, amelyeket a vektorok határoznak meg az eredettől.
A koplanaritás ellenőrzése:Három P, Q, R pont és egy negyedik S pont koplán, ha (Q-P) x (R-P) · (S-P) = 0 (a skalár hármas termék nulla).
A kereszttermék tulajdonságai és algebrai szabályai
A kereszttermék algebrai tulajdonságainak megértése lehetővé teszi, hogy hatékonyan leegyszerűsítsük a komplex vektor kifejezéseket.
| Társadalom | A képlet | Megjegyzés |
|---|---|---|
| Anti-kommutativitás | A x B = -(B x A) | Rendelkezési kérdések - fordított fordítás irány |
| Eloszlási képesség | A x (B + C) = A x B + A x C | A kereszttermék eloszlása az összeadáson |
| Skalar szorzás | (cA) x B = c(A x B) | Scalars tényező ki |
| Önálló kereszttermék | A x A = 0 | Az önmagával keresztezett vektor nulla. |
| Nullavektor | A x 0 = 0 | A nullás vektorral való kereszttermék nulla |
| NEM asszociatív | (A x B) x C ≠ A x (B x C) | Ellentétben az összeadással/szorozással |
| Háromszoros termék | A · (B x C) = B · (C x A) = C · (A x B) | A skaláris hármas szorzat = a paralelepiped térfogata |
| A vektor hármas szorzata | A x (B x C) = B (A·C) - C (A·B) | BAC-CAB szabály |
Az A · (B x C) skalár hármas szorzat egyenlő a három vektor által alkotott párhuzamoscsíkos (3D) párhuzamosszög aláírott térfogatával. Ha egyenlő a nullával, a három vektor koplanáris. Ha pozitív, jobboldali rendszert alkotnak; ha negatív, baloldali rendszert. Ez a 3x3 mátrix determinánsa az A, B, C sorokkal.
A Jacobi-egyenlőség a kereszttermékekre: A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = 0. Ez teszi a 3D-s vektorterületet a kereszttermékkel Lie-algebrával - egy fontos struktúra a kvantummechanikában és a csoportelméletben.
Gyakran feltett kérdések
Mi a különbség a kereszttermék és a ponttermék között?
Pontos termék (A · B = A)xBx+ AyBy+ AzBzA kereszttermék (A x B) mindkettőhöz merőleges vektort eredményez, a vektorok közötti "forgást" mér, és nagyságrendjével egyenlő. A ponttermék = nulla a merőleges vektorok esetében; a kereszttermék = nulla a párhuzamos vektorok esetében.
A kereszttermék kommutatív?
Nem, ez anti-kommutatív: A x B = - ((B x A). Az irány megfordul, amikor cseréljük az operandokat (jobboldali szabály megfordítása). A nagysága ugyanaz marad: A x B = B x A . Ez az anti-kommutativitás tükrözi a forgás belső irányosságát.
Mit jelent a nulla kereszttermék?
A x B = 0 (zéró vektor) azt jelenti, hogy a két vektor párhuzamos (vagy az egyik nulla). A 0 fok és a 180 fok szinusa nulla, így a kereszttermék nulla a párhuzamos vagy anti-párhuzamos vektorok esetében. Ez használható a párhuzamosság tesztjéül: ha A x B = 0, a vektorok párhuzamosak (vagy legalább az egyik nulla).
Hogyan találok egy két vektorra merőleges vektort?
Számolja ki a keresztterméket! Ha egy A és B függőleges vektorra van szüksége, akkor számolja ki n = A x B. Normalizálja az egység normál nagyságával való osztással: n̂ = (A x B) / A x B. Ezt folyamatosan használják a 3D grafikában, a fizikában és a mérnökségben a felületi normálok és a forgási tengelyek megtalálására.
Mi a jobbkezes szabály, és hogyan alkalmazzam?
Mutasd a jobb kezed ujjait az első vektor (A) irányába. Hajtsd az ujjaidat a második vektor (B) irányába. A kinyújtott hüvelykujjod az A x B irányába mutat. Alternatív módon: ha az A keletre mutat, a B pedig északra, az A x B felfelé mutat. Ez a szabály a kereszttermékekre vonatkozó összes fizikai és mérnöki konvencióval összhangban van.
Képes vagyok kiszámítani a kétdimenziós vektorok kereszttermékét?
A standard kereszttermék csak 3D vektorok esetében van meghatározva. A = (a1, a2) és B = (b1, b2) 2D vektorok esetében kiterjesszük őket 3D-re z = 0: A = (a1, a2, 0) és B = (b1, b2, 0). Ezután A x B = (0, 0, a1b2 - a2b1). A z-komponens (a1b2 - a2b1) a "2D kereszttermék" skalár, amely egyenlő a párhuzamos ábra jelezett területével, és amelyet a számítástechnikai geometriában használnak (pl. annak meghatározására, hogy egy pont egy vonal bal vagy jobb oldalán van-e).
Mi a skalár hármas szorzat?
A skalár hármas termék A · (B x C) = det (([A, B, C]) - a 3x3-as mátrix determinánsa az A, B, C sorokkal. Az egyenlő a három vektor által alkotott párhuzamoscsík aláírt térfogatával. Ha nulla, a három vektor koplanáris. A tetraéder térfogatának kiszámításában (V = █A · (B x C) / 6) és a 3D geometria tesztelésében használják.
Hogyan számítják ki a nyomatékot a kereszttermékkel?
A nyomaték τ = r x F, ahol r a pozícióvektor a tengelytől a erő alkalmazásának pontjáig, és F a erővektor. Egy angol kulcs esetében: ha r = 0,3 m az x-tengely mentén (nyomatékfogó) és F = 20 N az y-irányban, τ = (0,3, 0, 0) x (0, 20, 0) = (0·0 - 0·20, 0·0 - 0,3·0, 0.3·20 - 0·0) = (0, 6) N·m. A 6 N·m nyomaték a z-irányban van (forgatási tengely).
Mi a kereszttermék nagysága?
A x B {\displaystyle \mathbf {A} x B {\displaystyle \mathbf {B} x sin } = A {\displaystyle \mathbf {A} x B {\displaystyle \mathbf {B} x sin } {\displaystyle \mathbf {B} x sin } = A {\displaystyle \mathbf {A} x B} {\displaystyle \mathbf {B} x sin } = A {\displaystyle \mathbf {A} x B} {\displaystyle \mathbf {B} x sin } = A {\displaystyle \mathbf {A} x B} {\displaystyle \mathbf {B} {B} x sin } = A {\displaystyle \mathbf {B} } } {\displaystyle \mathbf {A} xB} } {\displaystyle \mathbf {B} =A} {\displaystyle \mathbf {B} =A} {\displaystyle \mathbf {B} } , ahol θ a vektorok közötti szög. Ez egyenlő az A és B által alkotott párhuzamosszög területével. Az A x B {\displaystyle \mathbf {A} = 1}
Mi az a BAC-CAB szabály?
A vektor hármas szorzat azonosulása: A x (B x C) = B ((A · C) - C ((A · B). Mnemonikus: "BAC mínusz CAB. " Ez kiterjeszti a vektor hármas szorzatát az eredeti vektorok kombinációjába a ponttermékekkel súlyozva. Az elektromágneses elméletben és a vektorszámítás bizonyításaiban használják, hogy egyszerűsítsék a komplex kifejezéseket, mint például az x ( x F) = (( · F) - 2 F.