Ristituotteen laskin - 3D-vektorit
Laskekaa kahden 3D-vektorin ristituote askel askeleelta ratkaisulla.
Ristituote: määritelmä ja kaava
Seuraavaristeytetty tuoteKaksi 3D-vektoria A ja B tuottavat kolmannen vektorin, joka on kohtisuorassa molempiin syöttövektoreihin. Se määritellään vain kolmiulotteisessa avaruudessa (ja seitsemän ulottuvuuden avaruudessa korkeamman ulottuvuuden yleistämiseen), toisin kuin piste-tuote, joka toimii missä tahansa ulottuvuuksissa.
Annettu A = (Ax, Ay, Az) ja B = (Bx, By, Bz) risteyskertaus on:
A x B = (A)yBz- Se on A.zBy, AzBx- Se on A.xBz, AxBy- Se on A.yBx)
Jos vektorit ovat rinnakkaisia (θ = 0 astetta tai 180 astetta), ristituote on nollavektori.
A x B: n suunta määräytyyoikeanpuoleinen sääntö: osoita oikean käden sormet A:n suuntaan, kääri ne B:n suuntaan, ja peukalo osoittaa A x B:n suuntaan. Tämä tarkoittaa, että ristituote on anti-kommutatiivinen: A x B = - B x A. Järjestys on tärkeä - operandien kääntäminen kääntää suunnan.
Ristituote voidaan laskea määrittäjän merkinnällä: A x B = det (([[î, ĵ, k̂], [Ax, Ay, Az], [Bx, By, Bz]]), jossa î, ĵ, k̂ ovat yksikkövektorit x, y, z suunnissa.
Ristituote ja pisteetuote: tärkeimmät erot
Sekä ristituote että pistetuote ovat perusoperaatioita vektoreissa, mutta ne eroavat toisistaan luonteeltaan ja sovellukseltaan. Molempien operaatioiden ymmärtäminen on välttämätöntä fysiikassa, tekniikassa ja tietokonegrafiikassa.
| Kiinteistö | Pistotuote (A · B) | Ristituote (A x B) |
|---|---|---|
| Tulostyyppi | Skalaari (numero) | 3D-vektori |
| Suunnitelma | AxBx+ AyBy+ AzBz | (AyBz−AzBy, AzBx−AxBz, AxBy−AyBx) |
| Geometrinen merkitys | "A" on "B" on "C" ja "C" on "C" ja "C" on "C". | "A", "B", "C", "D" ja "T" -- rinnakkaispiirin alue |
| Nolla, kun | A B (perpendikulaarinen) | A B (parallelinen) |
| Enimmäismäärä | A B (parallelinen), max = │A │B │B | A B (perpendikulaarinen), max = A B |
| Vaihtoehtoinen? | Kyllä: A · B = B · A | Ei (anti-kommutatiivinen): A x B = - ((B x A)) |
| Mitat | Mikä tahansa n ulottuvuus | Ainoastaan 3D (tai 7D) |
| Tärkein sovellus | Kulmat, ulottuvuudet, työ | Normaalit, vääntömomentti, momenttimomentti |
Nopea tapa muistaa, mikä on mikä:pisteTuote mittaa, kuinka paljon kaksi vektoria viittaasama suunta(käsittääkseni "sopimus").ristiTuote mittaa, kuinka paljon he osoittavateri suuntiinja antaa niiden "pyöräytyksen" kohtisuorassa olevan akselin.
Vaiheittaiset risteytystuotteen esimerkit
Työskentelemällä esimerkkien läpi eri vektorikonfiguraatioilla rakennetaan intuitiota ristituotteelle.
| Vektori A | Vektori B | A x B | A:n ja B:n välillä. | Muistiinpanot |
|---|---|---|---|---|
| (1, 0, 0) | (0, 1, 0) | (0, 0, 1) | 1 | î x ĵ = k̂ (oikeanpuoleinen sääntö) |
| (0, 1, 0) | (0, 0, 1) | (1, 0, 0) | 1 | x k̂ = î |
| (0, 0, 1) | (1, 0, 0) | (0, 1, 0) | 1 | k̂ x î = ĵ |
| (1, 0, 0) | (1, 0, 0) | 0, 0, 0) | 0 | Paralleeliset vektorit -> nollan ristiinkerros |
| (2, 3, 4) | (5, 6, 7) | (-3, 6, -3) | 7,35 prosenttia | Tavanomainen 3D-esimerkki |
| (1, 2, 3) | (4, 5, 6) | (-3, 6, -3) | 7,35 prosenttia | Sama tulos kuin yllä olevassa rivissä |
| (3, 0, 0) | (0, 4, 0) | (0, 0, 12) | 12 | 3x4 suorakaiteen pinta-ala = 12 |
| (1, 1, 0) | (0, 1, 1) | (1, -1, 1) | 1 732 | Pinta-ala = √2 x √2 x sin 60 astetta = √3 ~ 1,732 |
A = (2, 3, 4), B = (5, 6, 7):
- x-komponentti: AyBz- Se on A.zBy= 3 7 - 4 6 = 21 - 24 = 3
- y-komponentti: AzBx- Se on A.xBz= 4 5 - 2 7 = 20 - 14 = 6
- z-komponentti: AxBy- Se on A.yBx= 2 6 - 3 5 = 12 - 15 = 3
- Tulos: A x B = (-3, 6, -3)
Fysiikan sovellukset: vääntömomentti, kulmavauhti ja magneettinen voima
Sen kyky tuottaa kohtisuorassa oleva vektori kahdesta tasossa olevasta vektorista tekee siitä luonnollisen työkalun pyörivien ilmiöiden kuvaamiseen.
Vääntömomentti (τ = r x F):Vääntömomentti on asentovektorin r (kiertopisteestä voimapainopisteeseen) ja voimavektorin F risteytys. Jos käytät 20 N: n voimaa kohtisuorassa 0,3 m: n vääntöavaimeen, τ = 0,3 x 20 x sin ((90 astetta) = 6 N · m. Risteytys antaa sekä suuruuden että pyörimisakselin. Tämä on juuri se, mitä vääntöavain tekee: r on vääntöavaimen pituus, F on käden voima, ja r x F määrittää, kääntyykö pultti kellosuunnassa vai vasta kellosuunnassa.
Kylmävauhti (L = r x p):Kulmavauhti on aseman ja lineaarisen vauhdin (p = mv) ristituote. Planeetta kiertää Aurinkoa, L = r x mv = vakio (kulmavauhdin säilyttäminen, Keplerin toisesta laista). Ristituotteen suunta antaa kiertoradan normaalivektorin.
Magneettinen voima (F = q v x B):Magneettisen kentän läpi liikkuvan ladatun hiukkasen voima on F = qv x B, jossa q on varaus, v on nopeus ja B on magneettisen kentän vektori.
Liikkuvan varauksen sähkökenttä:Biot-Savartin laki virran magneettikentälle: dB = (μ0I/4π) x (dl x r̂/r2).
Tietokonegrafiikka ja 3D-sovellukset
Ristituote on 3D-grafiikan ohjelmoinnin työryhmä. Lähes jokainen 3D-rendering-putki käyttää sitä laajasti valaistukseen, törmäyksen havaitsemiseen ja geometrian käsittelyyn.
Pinnan normaalit:Normaalivektorin n = e1 x e2 on kohtisuorassa pinnan kanssa. Normaali n (jaetaan n:llä) saadaan yksikkö normaali. Tätä normaalia käytetään valaistuksen laskennassa (Phong-varjostus): normaalin ja valon suunnan pisteerotus määrittää pinnan kirkkauden (diffusoitu heijastus).
Kamera- ja katsomamatriisit:3D-grafiikassa (OpenGL, DirectX, Unity) kameran näkymämatriisi rakennetaan käyttämällä ristituotteita. Kun otetaan huomioon kameran sijainti, katsottava kohde ja ylöspäin suuntautuva vektori, oikea vektori = ylöspäin x eteenpäin (tai eteenpäin x ylöspäin riippuen yleissopimuksesta).
Törmäyksen havaitseminen:Pelifysiikassa Separating Axis Theorem (SAT) käyttää reunaohjeiden ristituotteita löytääkseen mahdolliset erottavat akselit 3D-kuvioiden välillä.
Vakiosat ja kolmion pinta-alat:Tämä on nopeampaa ja numeerisesti vakaampaa kuin Heronin kaava kolmioille, jotka määritellään vektorilla alkuperästä.
Co-planariteetin tarkistus:Kolme pistettä P, Q, R ja neljäs pistettä S ovat kopalaisia, jos (Q-P) x (R-P) · (S-P) = 0 (skalaarinen kolminkertainen tulos on nolla). Tätä testiä käytetään 3D-geometrian algoritmeissa ja verkkojen validoinnissa.
Ristituotteen ominaisuudet ja algebralliset säännöt
Ristituotteen algebraisten ominaisuuksien ymmärtäminen auttaa yksinkertaistamaan monimutkaisia vektori-ilmaisuja tehokkaasti.
| Kiinteistö | Suunnitelma | Huomautus |
|---|---|---|
| Kommutatiivisuuden vastainen | A x B = - (B x A) | Järjestys on tärkeää - kääntäminen kääntyy suuntaan |
| Jakautumiskyky | A x (B + C) = A x B + A x C | Ristituotteen jakautuminen yhteenlaskuun |
| Skalaarinen kertominen | (cA) x B = c (A x B) | Skalaattorit pois |
| Sähköinen risteytys | A x A = 0 | Vektorin risteytys itsensä kanssa on nolla. |
| Nollavektori | A x 0 = 0 | Ristituote nollavektoriin on nolla. |
| EI assosiatiivinen | (A x B) x C ≠ A x (B x C) | Toisin kuin lisäys/kertointi |
| Kolmiosainen tuote | A · (B x C) = B · (C x A) = C · (A x B) | Skaalaarinen kolminkertainen kerroin = rinnakkaispiippien tilavuus |
| Vektorin kolminkertainen kerroin | A x (B x C) = B (A·C) - C (A·B) | BAC-CAB-sääntö |
Skaalaarinen kolminkertainen tulos A · (B x C) on yhtä suuri kuin kolmeen vektoriin muodostetun parallelepipiidin (3D-parallelogrammin) allekirjoitettu tilavuus. Jos se on yhtä suuri kuin nolla, kolme vektoria ovat coplanareja. Jos se on positiivinen, ne muodostavat oikeanpuoleisen järjestelmän; jos se on negatiivinen, vasemmanpuoleinen järjestelmä. Tämä lasketaan 3x3-matriisin määrittäjänä rivillä A, B, C.
Jacobi-identiteetti ristituotteille: A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = 0. Tämä tekee 3D-vektoritilasta ristituotteella Lie-algebralla - rakenteella, joka on tärkeä kvanttimekaniikassa ja ryhmäteoriassa.
Usein kysyttyjä kysymyksiä
Mitä eroa on ristituotteen ja pistetuotteen välillä?
Pistotuote (A · B = A)xBx+ AyBy+ AzBz) tuottaa skaalari (numero), mittaa linjaus, on yhtä suuri kuin A {\displaystyle \mathbf {B} } cos{\displaystyle \mathbf {B} } cos{{\displaystyle \mathbf {B} } cos{{\displaystyle \mathbf {B} } cos{{\displaystyle \mathbf {B} } cos{{{\displaystyle \mathbf {B} } cos{{{\displaystyle \mathbf {B} } cos{{{\displaystyle \mathbf {B} } cos{{{\displaystyle \mathbf {B} } cos{{{\mathbf {B} } cos{{\mathbf {B} } cos{{\mathbf {B} } cos{\mathbf {B} } cos{\mathbf {B} } cos{\mathbf {B} } cos{\mathbf {B} } cos{\mathbf {B} } cos{\mathbf {B} } cos{\mathbf {B} } cos{\mathbf {B} } cos{\mathbf {D} } cos{\mathb} } cos{{{\mathb} } cos{{{{{\mathb} } cos} } cos{{{{{{{\mathb} } } } } cos{\mathb} } cos{\mathb})).
Onko ristiinkerros kommutatiivinen?
Ei -- se on anti-kommutaatiivinen: A x B = - ((B x A). Suunta kääntyy, kun vaihdat operandit (oikeanpuoleinen sääntö kääntyy). Suuruus pysyy samana: A x B , B x A . Tämä anti-kommutaatiivisuus heijastaa kiertymisen luontaista suuntaa.
Mitä nollan ristiinkerros tarkoittaa?
A x B = 0 (nolla vektori) tarkoittaa, että kaksi vektoria ovat rinnakkaisia (tai yksi on nolla). Sinus 0 astetta ja 180 astetta on nolla, mikä tekee ristituotteesta nollan rinnakkaisille tai anti-parallelle vektoreille. Tämä voidaan käyttää testinä rinnakkaisuudelle: jos A x B = 0, vektorit ovat rinnakkaisia (tai ainakin yksi on nolla).
Miten löydän vektorin, joka on kohtisuorassa kahteen vektoriin?
Jos tarvitset vektorin, joka on kohtisuorassa sekä A:lle että B:lle, lasketaan n = A x B. Normalisoidaan jakamalla magnitudin yksikkönormaalilla: n̂ = (A x B) / A x B. Tätä käytetään jatkuvasti 3D-grafiikassa, fysiikassa ja tekniikassa etsimään pinnan normaaleja ja pyörimisaksia.
Mikä on oikean käden sääntö ja miten voin soveltaa sitä?
Osoita oikean käden sormet ensimmäiseen vektoriin (A). Kääri sormesi toiseen vektoriin (B). Laajennettu peukalo osoittaa suuntaan A x B. Vaihtoehtoisesti: jos A osoittaa itään ja B osoittaa pohjoiseen, A x B osoittaa ylöspäin. Tämä sääntö on johdonmukainen kaikissa fysiikan ja tekniikan yleissopimuksissa ristituotteille.
Voinko laskea 2D-vektorin ristiinkerran?
Tavallinen ristituote on määritelty vain 3D-vektorille. 2D-vektorit A = (a1, a2) ja B = (b1, b2) laajennetaan 3D: hen z = 0: A = (a1, a2, 0) ja B = (b1, b2, 0). Sitten A x B = (0, 0, a1b2 - a2b1). z-komponentti (a1b2 - a2b1) on "2D ristituote" skaalari, joka on yhtä suuri kuin rinnakkaispiirin allekirjoitettu alue ja jota käytetään laskennallisessa geometriassa (esimerkiksi määrittämään, onko piste linjan vasemmalla tai oikealla).
Mikä on skaalaarinen kolminkertainen kerroin?
Skaalaarinen kolminkertainen kerroin on A · (B x C) = det (([A, B, C]) - 3x3-matriisin määrittäjä, jossa on rivit A, B, C. Se on yhtä suuri kuin kolmeen vektoriin muodostuvan rinnakkaispiipidin allekirjoitettu tilavuus. Jos se on nolla, kolme vektoria ovat koplanaarisia. Sitä käytetään tetraederin tilavuuden laskemisessa (V = █A · (B x C) / 6) ja 3D-geometrian testaamisessa.
Miten risteyskertoimen tulosta käytetään vääntömomentin laskemiseen?
Vääntömomentti τ = r x F, jossa r on asentovektorin pivotista voiman kohdistamispisteeseen ja F on voimanvektorin. Jos r = 0,3 m pitkin x-akselia (avaimen kahva) ja F = 20 N y-suunnassa, τ = (0,3, 0, 0) x (0, 20, 0) = (0·0 - 0·20, 0·0 - 0,3·0, 0.3·20 - 0·0) = (0, 6) 0, N·m. 6 N·m vääntömomentti on z-suunnassa (kiertoakseli).
Mikä on ristituotteen suuruus?
Tämä vastaa A:n ja B:n muodostaman paralleelisohjelman pinta-alaa. Yksikkövektorit 90 astetta: A x B = 1 x 1 x 1 = 1. 30 astetta: A x B = sin ((30 astetta) = 0,5. 0 astetta: A x B = 0.
Mikä on BAC-CAB-sääntö?
A x (B x C) = B ((A·C) - C ((A·B). Mnemoniikka: "BAC miinus CAB". Tämä laajentaa vektorin kolminkertaisen tuotteen alkuperäisten vektoreiden yhdistelmäksi, joka on painotettu piste-tuotteilla. Sitä käytetään sähkömagneettisessa teoriassa ja vektorilaskelman todisteissa yksinkertaistamaan monimutkaisia ilmaisuja, kuten x ( x F) = (( ·F) - 2F.