Normaalipoikkeaman laskin

Mikä on standardipoikkeama ja miksi sillä on merkitystä?

Tyypilliset poikkeamatkuinka laajalle tiedot ovat levinneet keskiarvon ympärillä (keskiarvo)Pienellä poikkeamalla arvot kerääntyvät tiukasti keskiarvon ympärille; suurella poikkeamalla arvot ovat laajalti hajanaisia.

Kaksi tietokokonaisuutta voi olla samassa keskiarvossa, mutta täysin eri jakaumissa -- standardipoikkeama kuvaa tätä eroa:

• Tietokanta A: {9, 10, 10, 11, 10} -- Keskimääräinen = 10, SD ~ 0,63 (tiukka ryhmä)
• Tietokanta B: {2, 5, 10, 15, 18} -- Keskimääräinen = 10, SD ~ 5,83 (laajalti levinnyt)

Molemmilla on keskiarvo 10, mutta tietokanta B on lähes 10 kertaa muuttuvampi.

Normaalipoikkeama merkitäänσ (sigma)väestölle jasSe on varianssin neliöjuuri, ilmaistuna samoissa yksiköissä kuin alkuperäiset tiedot - mikä tekee siitä enemmän tulkittavaa kuin varianssi yksin.

Sovellukset ulottuvat lähes kaikkiin aloihin: laadunvalvonta (tuotetaanko osia johdonmukaisesti siedettävyyden rajoissa?), rahoitus (sijoitusriski = tuoton epävakaus), lääketiede (onko potilaan lukeminen 2 SD: n sisällä normaalista?), koulutus (miten testitulokset jaetaan?), ja urheiluanalytiikka (kuinka johdonmukainen on urheilijan suorituskyky?).

Väestö ja otoksen vakiohajonta

Tärkein valinta vakiohajonnan laskennassa on, työskenteletköväestö(kaikki mahdolliset tietopisteet)näyteTämä määrittää minkä kaavan on käytettävä ja vaikuttaa tulokseen.

Väestön vakiohajonta (σ):Käytä sitä, kun sinulla on tietoa koko ryhmästä, jota tutkit.

jossa: μ = väestön keskiarvo, N = arvojen lukumäärä, Σ = kaikkien arvojen summa.

Näytteen vakiohajoitus (t):Käytä, kun tietosi on otos, joka on otettu suuremmasta populaatiosta.

jossa: x̄ = näytteen keskiarvo, n = näytteen arvojen määrä, (n-1) =Besselin korjaus.

Besselin korjaus jaetaan (n-1) n:n sijaan, koska näytteet ovat taipuvaisia aliarvioimaan todellisen väestön vaihtelun - erityisesti pienten näytteiden osalta.puolueeton arvioijaväestön vaihtelua.

Kumpaa käyttää?

• Väestö SD:Sinulla on tietoa kaikista tietyn luokan oppilaista, kaikista yhden tietyn tentin tuloksista, kaikista yhden yrityksen työntekijöistä.
• Näyte SD:Tutkit 500 amerikkalaista heidän tuloistaan (joka tarkoittaa kaikkia amerikkalaisia); mittasit 30 laitteistoa tuotannosta (joka tarkoittaa kaikkia laitteistoja); mittasit mitä tahansa tieteellistä tutkimusta näytteen kanssa.

Vaiheittainen vakiohajonnan laskeminen

Käydään läpi täydellinen esimerkki reaalilukuilla:

Tietokanta:6 oppilaan testitulokset: {72, 85, 91, 68, 79, 88}

Vaihe 1 -- Löydä keskiarvo:(72 + 85 + 91 + 68 + 79 + 88) / 6 = 483 / 6 =80,5 prosenttia

Vaihe 2 - Etsi jokainen poikkeama keskiarvosta ja neliö se:

Vaihe 3 -- Lasketaan vaihtelu:Näytteen vaihtelu (n-1) = 417,50 / 5 = 83,50

Vaihe 4 -- Ota neliöjuuri vakiohajonnasta:s = √83,50 ~9 . 14

Tulkinta:Suurin osa pisteistä on noin 9,14 pistettä 80,5-keskimääräisestä arviosta. Noin 68% pisteistä olisi odotettavissa 71,4- 89,6 pisteen välillä (keskimääräinen +/- 1 SD), jos kyseessä olisi normaalisti jakautunut populaatio.

Empiirinen sääntö ja normaalijakauma

Tietojen osalta, jotka seuraavatnormaalijakauma (kellotaju), Empiirinen sääntö (68-95-99,7-sääntö) kertoo tarkalleen, kuinka monta arvoa on kussakin standardipoikkeama-alueella:

Klassinen sovellus on älykkyysarvot: keskiarvo = 100, SD = 15. Älykkyysarvo 130 on 2 SD keskiarvon yläpuolella -- vain noin 2,3% ihmisistä saa niin korkean tuloksen. Älykkyysarvo 145 on 3 SD keskiarvon yläpuolella -- noin 0,13% ihmisistä (noin 1 750:stä).

LaadunvalvonnassaKuusi SigmaaStandardissa vaaditaan, että prosesseissa on vähemmän kuin 3,4 virheitä miljoonasta mahdollisuudesta - mikä vastaa vaihtelun pitämistä +/-6 standardikaivujen sisällä tavoitteesta, jättäen vain 0,00034% vikavauhtia. Tämä on Six Sigman laatuohjelmien tilastollinen perusta.

Kaikki tiedot eivät ole normaalisti jakautuneet. Tulojen jakautuminen on oikeanpuoleista (muutamat hyvin korkeat ansaitsevat ihmiset venyttävät oikeanpuoleista häntää). Tällaisissa tapauksissa mediaani- ja interkvartiilialueet voivat olla informatiivisempia kuin keskiarvo ja vakiohajonta.

Muut tilastolliset mitat: keskiarvo, mediaani, vaihtelu ja muut

Standardipoikkeama on merkityksellisin muiden kuvailevien tilastojen rinnalla.

• Keskimääräinen (arytmeettinen keskiarvo):Yhden äärimmäisen arvon kohdalla keskiarvo muuttuu merkittävästi.
• Keskiarvo:Keskimääräinen arvo, kun tiedot on lajiteltu.
• Toiminto:Useimmin esiintyvä arvo: hyödyllinen kategorisiin tietoihin; tietokannassa voi olla useita tilat tai ei yhtään.
• Etäisyys:Maksimi-minimi. Yksinkertainen, mutta herkkä poikkeavuuksille; ei kuvaa jakautumismuotoa.
• Variaatio (σ2 tai s2):Se on hyödyllinen matemaattisesti, mutta vaikeampi tulkita, koska se on neliöyksiköissä.
• Muutoskerroin (CV):(Standard deviation / keskiarvo) x 100%. Sallii vertailla vaihtelua eri tietokantojen välillä eri keskiarvojen kanssa. CV 10% tarkoittaa, että SD on 10% keskiarvosta - hyödyllistä rahoituksessa ja biologiassa.
• keskiarvon vakiovirhe (SEM):SD ÷ √n. Mittaa otoksen keskiarvon tarkkuutta väestön keskiarvon arviona. Kun otoksen koko kasvaa, SEM kutistuu - suuremmat otokset antavat tarkemmat arviot.

Normaalipoikkeama talouden, tieteen ja urheilun alalla

Standardipoikkeamisella on erityisiä käytännön tulkintoja eri aloilla:

Rahoitus -- Sijoitusriskin mittaaminen:Rahoituksessa tuottojen vakiohajonta = volatiliteetti = riski. Osakkeella, joka tuottaa 10% vuosittain SD: llä 15%, on 68% todennäköisyys tuottaa -5%: n ja +25%: n välillä tiettynä vuonna. S&P 500: llä on historiallisesti vuotuinen SD noin 15 - 20%.

Tiede -- Laadunvalvonta ja mittaus:Laboratoriolaitteet ilmoittavat mittaukset keskiarvona +/- SD. Lämpömittarin lukema 37,2 +/- 0,3 °C tarkoittaa, että mittaus on 0,3 °C: n sisällä todellisesta arvosta 68%: n luotettavuudella. Kliinisissä tutkimuksissa tilastollinen merkityksellisyys määritellään tyypillisesti siten, että hoidon vaikutus on enemmän kuin 2 SD: tä verrattuna kontrolliryhmän keskiarvoon (p < 0,05).

Urheilun analyysi:Pelaajan johdonmukaisuus määritetään SD: llä. Koripalloilija, jonka keskiarvo on 25 pistettä per peli SD: llä 3, on luotettavampi kuin 25 pisteen keskiarvo SD: llä 10. Sääennusteet käyttävät ensambelimalleja, joissa lämpötilaennusteiden SD osoittaa luottamusta - kapea SD tarkoittaa, että ennustajat ovat samaa mieltä; laaja SD tarkoittaa suurta epävarmuutta.

Koulutus:Z-pisteet ilmaisevat, kuinka monta standardipoikkeamaa oppilaan tulos on luokan keskiarvosta: Z = (piste - keskiarvo) / SD. Z-piste +2 tarkoittaa 2 SD: n saavuttamista keskiarvon yläpuolella - parempi kuin noin 97,7% opiskelijoista. Standardoidut testit, kuten SAT, on suunniteltu siten, että tulokset seuraavat karkeasti normaalia jakautumista, mikä mahdollistaa nämä prosenttiilivertailut.