Standart sapma hesaplayıcısı

Standart Sapma Nedir ve Neden Önemlidir?

Standart sapma ölçümleriVerilerinizin ortalama (ortalama) etrafında ne kadar yayıldığıKüçük bir standart sapma, değerlerin ortalamanın etrafında sıkı bir şekilde kümelendiği anlamına gelir; büyük bir standart sapma, değerlerin geniş bir şekilde dağılmış olduğu anlamına gelir.

İki veri kümesi aynı ortalamaya sahip olabilir ama tamamen farklı dağılımlara sahip olabilir -- standart sapma bu farkı yakalar:

• Veri kümesi A: {9, 10, 10, 11, 10} -- Ortalama = 10, SD ~ 0.63 (sıkı kümeler)
• Veri kümesi B: {2, 5, 10, 15, 18} -- Ortalama = 10, SD ~ 5.83 (geniş yayılmış)

Her ikisinin de ortalaması 10'dur, ancak B Veritabanı neredeyse 10 kat daha değişkendir. Standart sapma bunu görünür kılar.

Standart sapma denirσ (sigma)bir nüfus için vesOrijinal verilerle aynı birimlerde ifade edilen varyansın kareköküdür.

Uygulamalar hemen hemen her alanı kapsar: kalite kontrolü (parçalar tutarlı bir şekilde tolerans içinde üretiliyor mu?), finans (yatırım riski = getiri değişkenliği), tıp (bir hastanın okuması normalin 2 SD içinde mi?), eğitim (test puanları nasıl dağıtılır?), ve spor analitiği (bir sporcunun performansı ne kadar tutarlıdır?).

Popülasyon ve örneklem standart sapması

Standart sapmayı hesaplarken yapılacak en önemli seçim,nüfusu(tüm olası veri noktaları) veyaörnekBu, hangi formülün kullanılacağını belirler ve sonucu etkiler.

Popülasyon standart sapması (σ):Çalıştığınız tüm grup için verileriniz olduğunda kullanın. Formül: σ = √[Σ(xi - μ) 2 / N]

Burada: μ = nüfus ortalaması, N = değerlerin sayısı, Σ = tüm değerlerin toplamı.

Örnek standart sapması (lar):Verileriniz daha büyük bir popülasyondan alınan bir örnek olduğunda kullanın. Formül: s = √[Σ(xi - x̄) 2 / (n-1) ]

Burada: x̄ = örnek ortalaması, n = örnekteki değerlerin sayısı, (n-1) =Bessel düzeltmesi.

Bessel düzeltmesi, n yerine (n-1) ile bölünür çünkü örnekler, özellikle küçük örnekler için gerçek popülasyon varyansını küçümseme eğilimindedir.tarafsız tahminciPopülasyon değişkenliği.

Hangisini kullanayım?

• Nüfus SD:Belirli bir sınıftaki tüm öğrencilerin verileri, belirli bir sınavdaki tüm test puanları, tek bir şirketteki tüm çalışanların verileri var.
• Örnek SD:500 Amerikalıyı gelirleri hakkında araştırdınız (tüm Amerikalılar için çıkarım yaparak); bir üretim sürecinden 30 alet ölçtünüz (tüm aletler için çıkarım yaparak); bir örnekle ilgili herhangi bir bilimsel çalışma.

Adım Adım Standart Sapmanın Hesabı

Gerçek sayılarla tamamlanmış bir örnekle başlayalım:

Veri kümesi:6 öğrencinin test puanları: {72, 85, 91, 68, 79, 88}

Adım 1 -- Ortalamayı bul:(72 + 85 + 91 + 68 + 79 + 88) / 6 = 483 / 6 =80.5

Adım 2 - Ortalamadan her sapmayı bulun ve karesini alın:

Adım 3 - Farklılığı hesaplayın:Örnek varyansı (n-1) = 417.50 / 5 = 83.50

Adım 4 - Standart sapma için karekök alın:s = √83.50 ~9.14

Yorum:Çoğu puan, 80.5 ortalamasının yaklaşık 9.14 puanı arasındadır. Normal dağılmış bir popülasyon olsaydı, puanların yaklaşık% 68'inin 71.4 ile 89.6 (ortalama +/- 1 SD) arasında olması beklenir.

Empirik Kural ve Normal Dağıtım

Bir sonraki veri içinNormal dağılım (Zil eğrisi), Empirik Kural (68-95-99.7 kuralı) size her standart sapma aralığında tam olarak kaç değer olduğunu söyler:

Klasik uygulama IQ puanlarıdır: ortalama = 100, SD = 15. 130 IQ ortalamanın 2 SD'si üstündedir - sadece insanların yaklaşık %2,3'ü bu kadar yüksek puan almıştır. 145 IQ ortalamanın 3 SD'si üstündedir - insanların yaklaşık %0,13'ü (yaklaşık 750'den 1 tanesi).

Kalite kontrolünde,Altı SigmaStandart, süreçlerin milyon fırsat başına 3,4 defektten daha az olmasını gerektirir. Bu, varyasyonu hedefden + / -6 standart sapma içinde tutmak, sadece % 0,00034 defect oranı bırakmak anlamına gelir. Bu, Six Sigma üretim kalite programlarının istatistiksel temelidir.

Tüm veriler normal olarak dağılmamıştır. Gelir dağılımları sağa eğiktir (bazı çok yüksek kazançlılar sağ kuyruğu gerer). Bu gibi durumlarda, medyan ve çeyreklik aralığı ortalama ve standart sapmadan daha bilgilendirici olabilir.

Diğer İstatistiksel Ölçüler: Ortalama, Ortalama, Farklılık ve Daha Fazlası

Standart sapma, diğer tanımlayıcı istatistiklerle birlikte en anlamlısıdır.

• Ortalama (aritmetik ortalama):Tüm değerlerin toplamı bölü sayım. Dış değerlere duyarlı -- bir aşırı değer ortalamayı önemli ölçüde değiştirebilir.
• Ortalama:Veriler sıralandığında orta değer. Dış değerler için ortalamadan daha sağlamdır. {1, 2, 3, 4, 100} için: ortalama = 22, medyan = 3.
• Şekil:En sık görülen değer. Kategorik veriler için kullanışlıdır; bir veri kümesi birden fazla moda sahip olabilir veya hiç olmayabilir.
• Menzil:Maksimum - minimum. Basit ama dış değerlere duyarlıdır; dağılım şeklini tanımlamaz.
• Varyans (σ2 veya s2):Standart sapmanın karesi. Matematiksel olarak kullanışlıdır ama karesi birimlerde olduğu için yorumlanması daha zordur. Örnek: eğer yükseklikler santimetre ise, varyans cm2'dir - ki bunun fiziksel bir anlamı yoktur.
• Değişim katsayısı (CV):(Standart sapma / ortalama) x 100%. Farklı ortalamalarla veri kümeleri arasındaki değişkenliği karşılaştırmaya izin verir. %10'luk bir CV, SD'nin ortalamanın %10'u olduğu anlamına gelir - finans ve biyolojide kullanışlıdır.
• Ortalamanın standart hatası (SEM):SD ÷ √n. Toplumsal ortalamanın bir tahmini olarak örnek ortalamasının hassasiyetini ölçer. Örnek boyutu büyüdükçe, SEM küçülür - daha büyük örnekler daha kesin tahminler verir.

Finans, Bilim ve Sporda Standart Sapma

Standart sapmanın farklı alanlarda özel, pratik yorumları vardır:

Finans -- Yatırım riskini ölçmek:Finansta, getirilerin standart sapması = volatilite = risk. %15'lik SD ile yıllık %10'luk bir getiri sağlayan bir hisse senedinin herhangi bir yılda %5 ile %25 arasında bir getiri sağlama olasılığı %68'dir. S&P 500'ün tarihsel olarak yıllık SD'si yaklaşık %15-20'dir. Tahvil portföylerinin tipik olarak %3 ile %7 arasında bir SD'si vardır. Riskle ayarlanmış performans (Sharpe oranı) = (geri dönüş - risksiz oran) / SD - ne kadar yüksekse, o kadar iyi.

Bilim -- Kalite kontrolü ve ölçüm:Laboratuvar cihazları, ölçümleri ortalama +/- SD olarak bildirir. 37.2 +/- 0.3 ° C'lik bir termometre okunuşu, ölçümün% 68 güven ile gerçek değerin 0.3 ° C'si içinde olduğu anlamına gelir. Klinik çalışmalarda, istatistiksel önem, tipik olarak tedavi etkisinin kontrol grubunun ortalamasından 2 SD'den fazla olması olarak tanımlanır (p <0.05).

Spor analizleri:Oyuncunun tutarlılığı SD ile ölçülür. 3'lük SD ile maç başına ortalama 25 puan alan bir basketbolcu, 10'luk SD ile ortalama 25 puan alan birinden daha güvenilirdir. Hava tahmini, sıcaklık tahminlerinin SD'sinin güven gösterdiği ansambl modellerini kullanır - dar bir SD, tahmincilerin hemfikir olduğu anlamına gelir; geniş bir SD, yüksek belirsizlik anlamına gelir.

Eğitim:Z puanları, bir öğrencinin puanının sınıf ortalamasından kaç standart sapma olduğunu ifade eder: Z = ( puan - ortalama) / SD. +2'lik bir Z puanı, ortalamanın üzerinde 2 SD puan almak anlamına gelir - öğrencilerin yaklaşık% 97.7'sinden daha iyi. SAT gibi standartlaştırılmış testler, puanların kabaca normal bir dağılımı takip etmesi için tasarlanmıştır ve bu yüzdelik karşılaştırmaları sağlar.