표준 오차 계산기

표준 편차 는 무엇 이며 왜 중요 합니까?

표준 오차 측정데이터의 분포는 평균 (average) 에 가깝습니다.작은 표준 편차는 값이 평균 주위에서 밀접하게 집적된다는 것을 의미하며, 큰 표준 편차는 값이 광범위하게 흩어져 있다는 것을 의미합니다.

두 개의 데이터 세트는 같은 평균을 가질 수 있지만 완전히 다른 분포를 가질 수 있습니다. 표준편차는 그 차이를 나타냅니다.

• 데이터 세트 A: {9, 10, 10, 11, 10} -- 평균 = 10, SD ~ 0.63 (밀착 클러스터)
• 데이터 세트 B: {2, 5, 10, 15, 18} -- 평균 = 10, SD ~ 5.83 (대폭 분산)

둘 다 10의 평균을 가지고 있지만 데이터 세트 B는 거의 10배 더 변동적입니다. 표준 편차는 이것을 가시화합니다.

표준편차는σ (시그마)인구에 대한s원본 데이터와 같은 단위로 표현된 변이의 제곱근입니다.

응용 분야는 거의 모든 분야에 걸쳐 있습니다. 품질 관리 (부품이 견딜 수 있는 범위 내에서 일관되게 제조됩니까?), 금융 (투자 위험 = 수익 변동성), 의학 (환자의 판독은 정상에서 2 SD 이내에 있습니까?), 교육 (시험 점수가 어떻게 분산됩니까?), 스포츠 분석 (스포츠 선수의 성능이 얼마나 일관되게 있습니까?).

인구 대 표본 표준편차

표준편차를 계산할 때 가장 중요한 선택은인구(모든 가능한 데이터 포인트) 또는샘플이것은 어떤 공식을 사용해야 하는지 결정하고 결과에 영향을 미칩니다.

인구 표준편차 (σ):연구 중인 전체 그룹에 대한 데이터가 있을 때 사용합니다. 수식: σ = √[Σ(xi - μ) 2 / N]

여기서: μ = 인구 평균, N = 값의 수, Σ = 모든 값의 합.

샘플 표준 오차 (s):더 큰 개체군에서 추출된 샘플일 때 사용한다. 공식: s = √[Σ(xi - x̄) 2 / (n-1) ]

여기서: x̄ = 샘플 평균, n = 샘플에서 값의 수, (n-1) =베셀 교정.

베셀의 교정은 n 대신 (n-1) 로 나눌 수 있습니다. 왜냐하면 샘플은 실제 인구 변이를 과소 평가하는 경향이 있기 때문입니다. 특히 작은 샘플의 경우 (n-1) 를 사용하면편견 없는 평가자인구 변이율입니다.

어느 쪽을 사용해야 할까요?

• 인구 SD:특정 수업의 모든 학생들의 데이터, 특정 시험의 모든 시험 점수, 단일 회사의 모든 직원들의 데이터를 가지고 있습니다.
• 샘플 SD:수입에 대해 500명의 미국인을 조사했습니다. (모든 미국인을 추론합니다.) 생산된 30개의 위젯을 측정했습니다. (모든 위젯을 추론합니다.)

단계별 표준편차 계산

실제 숫자를 이용한 완전한 예제를 살펴봅시다.

데이터 세트:6명의 학생의 시험 점수: {72, 85, 91, 68, 79, 88}

1단계 -- 평균값을 찾아보세요.(72 + 85 + 91 + 68 + 79 + 88) / 6 = 483 / 6 =80.5

2단계 -- 평균에서 각 편차를 찾아서 제곱합니다.

3단계 -- 오차를 계산합니다.샘플 오차 (n-1) = 417.50 / 5 = 83.50

4단계 -- 표준편차의 제곱근을 씁니다.s = √83.50 ~9.14

해석:대부분의 점수는 80.5의 평균에서 약 9.14점 이내에 있습니다. 약 68%의 점수는 71.4과 89.6 (평균 +/- 1 SD) 사이로 예상됩니다.

경험적 규칙 과 정상 분포

다음의 데이터에 대해정상 분포 (벨 곡선), 경험적 규칙 (68-95-99.7 규칙) 은 각 표준편차 범위 내에 정확히 얼마나 많은 값이 들어 있는지 알려줍니다.

고전적인 응용은 IQ 점수입니다. 평균 = 100, SD = 15. 130의 IQ는 평균보다 2 SD 높습니다. 사람들의 약 2.3%만이 그렇게 높습니다. 145의 IQ는 평균보다 3 SD 높습니다. 사람들의 약 0.13% (약 750명 중 1명) 입니다.

품질 관리에서,6시그마표준은 프로세스가 백만 기회당 3.4개 미만의 결함을 갖는 것을 요구합니다. 이는 목표에서 +/-6 표준편차 내에서 변이를 유지하며 0.00034%의 결함율만을 남기는 것과 같습니다. 이것은 6시그마 제조 품질 프로그램의 통계적 기초입니다.

모든 데이터가 정상적으로 분포되어 있지 않습니다. 소득 분포는 오른쪽으로 기울어져 있습니다 (몇몇 매우 높은 소득자는 오른쪽 꼬리를 뻗습니다). 이러한 경우, 중간 및 사분위 범위는 평균 및 표준 편차보다 더 많은 정보를 제공 할 수 있습니다.

다른 통계 측정: 평균, 중간값, 오차 및 기타

표준편차는 다른 서술적 통계와 함께 가장 의미가 있습니다. 그들이 함께 작동하는 방법은 다음과 같습니다.

• 평균 (수학적 평균):모든 값의 합 ÷ 카운트. 소외된 값에 민감합니다. 한 가지 극단적인 값은 평균을 크게 변화시킬 수 있습니다.
• 중간값:자료를 정렬할 때 중간값. 평균값보다 이상값에 더 견고하다. {1, 2, 3, 4, 100}의 경우: 평균값 = 22, 중간값 = 3.
• 모드:가장 자주 발생하는 값. 범주적 데이터에 유용합니다. 데이터 세트는 여러 모드를 가질 수 있습니다.
• 범위:최대 - 최소. 단순하지만 이상 값에 민감합니다. 분포 형태를 설명하지 않습니다.
• 오차 (σ2 또는 s2):표준편차의 제곱. 수학적으로 유용하지만 제곱 단위이기 때문에 해석하기가 어렵습니다. 예를 들어, 높이가 센티미터라면, 오차는 cm2입니다. 물리적인 의미는 없습니다.
• 변동수 (CV):(표준편차 / 평균) x 100%. 다른 평균을 가진 데이터 세트의 변동성을 비교할 수 있습니다. 10%의 CV는 SD가 평균의 10%라는 것을 의미합니다. 금융 및 생물학에서 유용합니다.
• 평균의 표준 오류 (SEM):SD ÷ √n. 샘플 평균의 정확도를 인구 평균의 추정치로 측정합니다. 샘플 크기가 커질수록 SEM은 줄어들며 더 큰 샘플은 더 정확한 추정치를 제공합니다.

금융, 과학, 스포츠 의 표준 편차

표준편차는 다양한 분야에서 구체적이고 실용적인 해석이 있습니다.

금융 -- 투자 위험 측정:금융에서, 수익의 표준 편차 = 변동성 = 위험. 15%의 SD로 연간 10%의 수익을 내는 주식은 68%의 확률로 -5%에서 +25%의 수익을 낼 수 있습니다. S&P 500은 역사적으로 연간 약 15 - 20%의 SD를 가지고 있습니다. 채권 포트폴리오는 일반적으로 3 - 7%의 SD를 가지고 있습니다. 위험 조정 성과 (샤르프 비율) = (수익 - 위험없는 비율) / SD - 더 높을수록 좋습니다.

과학 -- 품질 관리 및 측정:실험실 장비는 측정값을 평균 +/- SD로 보고합니다. 온도계 판독 37.2 +/- 0.3°C는 측정값이 68%의 신뢰도와 함께 실제 값에서 0.3°C 이내에 있음을 의미합니다. 임상 시험에서 통계적 유의성은 일반적으로 치료 효과가 통제 그룹 평균 (p <0.05) 에서 2 SD 이상으로 정의됩니다.

스포츠 분석:플레이어의 일관성은 SD로 정량화됩니다. SD 3의 경기당 평균 25점을 기록한 농구 선수는 SD 10의 평균 25점을 기록한 선수보다 더 신뢰할 수 있습니다. 기상 예측은 온도 예측의 SD가 신뢰도를 나타내는 앙상블 모델을 사용합니다. 좁은 SD는 예보자가 동의한다는 것을 의미합니다. 넓은 SD는 높은 불확실성을 의미합니다.

교육:Z 점수는 학생의 점수가 클래스 평균에서 얼마나 표준 편차가 있는지 나타냅니다. Z = (점수 - 평균) / SD. +2의 Z 점수는 평균보다 2 SD를 점수하는 것을 의미합니다. 이는 학생의 약 97.7%보다 낫습니다. SAT와 같은 표준화 된 시험은 점수가 대략 정상적인 분포를 따라 이러한 백분율 비교를 가능하게하도록 설계되었습니다.