เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์ (Cross Product) — เวกเตอร์ 3 มิติ
คำนวณผลคูณเวกเตอร์ (Cross Product) ของเวกเตอร์สามมิติ พร้อมขั้นตอนการแก้ปัญหา ฟรี
ผลคูณเวกเตอร์: นิยามและสูตร
ผลคูณเวกเตอร์ (Cross Product หรือ Vector Product) ของเวกเตอร์ 3 มิติ A และ B ให้เวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับทั้ง A และ B
กำหนดให้ A = (Ax, Ay, Az) และ B = (Bx, By, Bz):
A × B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)
ขนาดของผลคูณเวกเตอร์: |A × B| = |A||B|sin(θ) ซึ่งเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากสองเวกเตอร์
กฎมือขวา (Right-Hand Rule): ชี้นิ้วของมือขวาในทิศทาง A งอนิ้วไปทาง B นิ้วหัวแม่มือชี้ทิศทางของ A × B ดังนั้น A × B = −(B × A) (anti-commutative)
ผลคูณเวกเตอร์ vs ผลคูณจุด: ความแตกต่างหลัก
| คุณสมบัติ | ผลคูณจุด (A · B) | ผลคูณเวกเตอร์ (A × B) |
|---|---|---|
| ประเภทผลลัพธ์ | สเกลาร์ (ตัวเลข) | เวกเตอร์ 3 มิติ |
| ความหมายทางเรขาคณิต | |A||B|cos(θ) — การฉาย | |A||B|sin(θ) — พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน |
| เป็นศูนย์เมื่อ | A ⊥ B (ตั้งฉาก) | A ∥ B (ขนาน) |
| สลับที่ได้ไหม? | ใช่: A · B = B · A | ไม่: A × B = −(B × A) |
| มิติที่ใช้ได้ | ทุกมิติ | 3 มิติเท่านั้น |
| การประยุกต์ใช้หลัก | มุม การฉาย งาน | เส้นปกติ แรงบิด โมเมนตัมเชิงมุม |
คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์
- Anti-commutative: A × B = −(B × A)
- Distributive over addition: A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
- Scalar multiplication: (kA) × B = k(A × B)
- เวกเตอร์หน่วยมาตรฐาน: î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ
- ผลคูณตัวเองเป็นศูนย์: A × A = 0
การประยุกต์ใช้ผลคูณเวกเตอร์
- ฟิสิกส์: แรงบิด τ = r × F โมเมนตัมเชิงมุม L = r × p
- คอมพิวเตอร์กราฟิกส์: คำนวณเส้นปกติของพื้นผิวสำหรับการให้แสง
- วิศวกรรม: คำนวณแรงแม่เหล็กไฟฟ้า F = qv × B
- เรขาคณิต: ตรวจสอบว่าสามจุดเป็นเส้นตรงหรือไม่ หาพื้นที่สามเหลี่ยม
คำถามที่พบบ่อย
เมื่อใดที่ผลคูณเวกเตอร์มีค่าเป็นศูนย์?
ผลคูณเวกเตอร์เป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองขนานกัน (θ = 0° หรือ 180°) หรือเมื่อเวกเตอร์ใดเวกเตอร์หนึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์
ผลคูณเวกเตอร์ทำงานในมิติที่สูงกว่า 3 มิติได้ไหม?
Cross Product แบบดั้งเดิมนิยามเฉพาะใน 3 มิติ และ 7 มิติเท่านั้น ใน 2 มิติมี "cross product เชิง 2D" ที่ให้สเกลาร์ (ส่วนประกอบ z) แต่ไม่ใช่ cross product จริงๆ