Υπολογιστής αναλογιών - Λύση αναλογιών

Τι Είναι Μια Αναλογία;

A αναλογίαΗ αναλογία 3:4 σημαίνει "για κάθε 3 της πρώτης ποσότητας, υπάρχουν 4 της δεύτερης". Οι αναλογίες μπορούν να γραφτούν με τρεις τρόπους: ως 3:4 (σημείωση με κώλους), 3/4 (σημείωση με κλάσματα) ή "3 προς 4" (σημείωση με λέξεις).

Η αναλογία 6 μήλων σε 4 μήλα είναι 6:4 = 3:2, ανεξάρτητα από το αν μετράτε μήλα, πορτοκάλια ή οποιαδήποτε άλλη μονάδα.ποσοστό, μια σχετική έννοια.

Οι αναλογίες εμφανίζονται στην μαγειρική (αναλογίες συνταγών), τη χρηματοδότηση (αναλογίες τιμής προς κέρδη), την επιστήμη (αναλογίες συγκέντρωσης), την τέχνη και το σχεδιασμό (αναλογίες όψεων, χρυσή αναλογία), τη μηχανική (αναλογίες ταχυτήτων, αναλογίες ανάμιξης) και τον αθλητισμό (καταγραφές κερδών και ζημιών).

Απλοποίηση των Αναλογιών

Για να απλοποιήσουμε μια αναλογία, βρείτε τομέγιστος κοινός διαιρέτης (GCD)Αυτό εκφράζει τον λόγο στην απλούστερη (χαμηλότερη) μορφή του, όπου οι όροι δεν μοιράζονται κανένα κοινό παράγοντα εκτός από το 1.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε 24:36. GCD ((24, 36) = 12. Διαιρέστε κάθε όρο: 24÷12: 36÷12 = 2:3. Η απλοποιημένη αναλογία είναι 2:3.

Για αναλογίες τριών όρων: Απλοποιήστε 15:25:10.

Για αναλογίες με δεκαδικά ή κλάσματα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους με έναν κοινό πολλαπλασιαστή για να πάρετε πρώτα ακέραιους αριθμούς, στη συνέχεια απλοποιήστε. Αναλογία 0.4:0.6: πολλαπλασιάστε με 10 -> 4:6 -> διαιρέστε με 2 -> 2:3.

Αναλογίες αναλογίας επίλυσης: Εάν A:B = C:X, βρείτε το X

Ένα πρόβλημα αναλογίας αναλογίας σας ζητά να βρείτε έναν έλλειμμα όρο όταν δύο αναλογίες είναι ίσες. Αν A: B = C: X, τότε με διασταυρούμενο πολλαπλασιασμό: A x X = B x C, έτσι X = (B x C) / A.

Παράδειγμα: Εάν το σκυρόδεμα αναμιγνύεται σε αναλογία 1:2:4 (σιμέντο: άμμος: χαλίκι), και χρησιμοποιείτε 15 σακούλες τσιμέντου, πόση άμμο και χαλίκι χρειάζεστε; Για άμμο: 1:2 = 15:x -> x = 30 σακούλες. Για χαλίκι: 1:4 = 15:x -> x = 60 σακούλες.

Ένα άλλο παράδειγμα: Μια συνταγή απαιτεί αλεύρι και ζάχαρη σε αναλογία 5:2. Έχετε 3,5 φλιτζάνια ζάχαρη. Πόσο αλεύρι; 5/2 = F/3.5 -> F = (5 x 3.5)/2 = 8.75 φλιτζάνια αλεύρι.

Αυτός ο τύπος υπολογισμού χρησιμοποιείται συνεχώς στο μαγείρεμα, την ανάμειξη, την κατασκευή, και οποιαδήποτε κατάσταση όπου πρέπει να κλιμακώσετε ένα μείγμα διατηρώντας τις σωστές αναλογίες.

Μετατροπή αναλογιών σε ποσοστά και κλάσματα

Οι αναλογίες, τα ποσοστά, τα κλάσματα και τα δεκαδικά αντιπροσωπεύουν όλες τις ίδιες σχέσεις με διαφορετικές μορφές.

Αναλογία προς το ποσοστό:Μοιράστε κάθε μέρος με το άθροισμα όλων των μερών, και μετά πολλαπλασιάστε το με 100.

Αναλογία με το κλάσμα:Η αναλογία a:b σημαίνει a/(a+b) είναι το κλασματικό μερίδιο της πρώτης ποσότητας.

Ποσοστό σε σχέση:Μια διαίρεση 60:40 είναι μια αναλογία 3:2 (διαίρεση με GCD=20). Το ποσοστό επιτυχίας 80% είναι μια αναλογία επιτυχίας προς αποτυχία 4:1 (80:20, απλοποιημένο με 20).

Πραγματικές εφαρμογές αναλογιών

Μαγείρεμα και ψήσιμο:Οι συνταγές καθορίζουν τις αναλογίες των συστατικών. Μια αναλογία 1: 1: 1 βουτύρου, ζάχαρης και αλεύρου κάνει ένα βασικό shortbread. Η κλιμάκωση προς τα πάνω ή προς τα κάτω, διατηρώντας τη σταθερή αναλογία, εξασφαλίζει συνεπή γεύση και υφή.

Ποσοστά χρηματοδότησης:Ο λόγος τιμής προς κέρδη (P/E) = τιμή της μετοχής / κέρδος ανά μετοχή. Ένα P/E 20:1 σημαίνει ότι οι επενδυτές πληρώνουν 20 δολάρια για κάθε 1 δολάριο κέρδους. Ο λόγος χρέους προς ίδια κεφάλαια μετρά τη χρηματοοικονομική μόχλευση. Ο τρέχων λόγος (τρέχοντα περιουσιακά στοιχεία: τρέχουσες υποχρεώσεις) μετρά τη ρευστότητα. Οι οικονομικοί αναλυτές χρησιμοποιούν δεκάδες δείκτες για να αξιολογήσουν τις εταιρείες.

Φωτογραφία και οθόνες:Οι αναλογίες διαστάσεων καθορίζουν τις αναλογίες εικόνας. 16:9 (widescreen HD / 4K), 4:3 (παραδοσιακές τηλεοράσεις / οθόνες), 3:2 (DSLR κάμερες), 1:1 ( Instagram square). Η αναλογία 16:9 σημαίνει ότι το πλάτος είναι 16/9 ~ 1,78 φορές το ύψος.

Χάρτες και κλίμακα:Ένας χάρτης με κλίμακα 1:25,000 σημαίνει 1 cm στον χάρτη = 25,000 cm = 250 m στην πραγματικότητα. Ένας χάρτης με κλίμακα 1:1,000,000 συμπιέζει πραγματικές αποστάσεις κατά ένα εκατομμύριο φορές. Για να βρείτε την πραγματική απόσταση από την απόσταση του χάρτη: πολλαπλασιάστε με τον παράγοντα κλίμακας. Αυτή είναι μια άμεση εφαρμογή των αναλογιών και των αναλογιών.

Συνδυασμός και κατασκευή:Το σκυρόδεμα συνήθως αναμιγνύεται σε αναλογία 1:2:3 (σιμέντο: άμμος: χαλίκι) για γενικούς σκοπούς, ή 1:2:4 για ελαφρύτερα φορτία.

Η Χρυσή Αναλογία

Τοχρυσή αναλογίαΟ φ (phi) ~ 1.6180339887 είναι ένας από τους πιο συναρπαστικούς αριθμούς στα μαθηματικά. Ορίζεται ως ο λόγος όπου a:b = (a+b):a - ο λόγος του συνόλου προς το μεγαλύτερο μέρος ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου μέρους προς το μικρότερο. Αλγεβρικά: φ = (1 + √5) / 2 ~ 1.618.

Η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στην τέχνη και την αρχιτεκτονική: ο Παρθενώνας στην Αθήνα, τα έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι και πολλοί πίνακες της Αναγέννησης παρουσιάζουν αναλογίες χρυσής αναλογίας (αν και η έκταση συζητείται από τους ιστορικούς).

Η ακολουθία του Φιμπονάτσι (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...) συγκλίνει στην χρυσή αναλογία: καθώς προχωράτε περαιτέρω στην ακολουθία, η αναλογία των διαδοχικών αριθμών του Φιμπονάτσι προσεγγίζει φ. F(10) / F(9) = 55/34 ~ 1.6176 ~ φ. Αυτή η σύνδεση μεταξύ μιας απλής αλληλουχίας ακέραιων αριθμών και ενός παράλογου αριθμού είναι μια από τις πιο όμορφες εκπλήξεις των μαθηματικών.

Προβλήματα αναλογίας σε μαθηματικά και εξετάσεις

Τα προβλήματα αναλογίας είναι πανταχού παρόντα στα τυποποιημένα τεστ (SAT, GRE, GMAT, ACT) και στους ανταγωνιστικούς διαγωνισμούς μαθηματικών.

Διαίρεση σε αναλογία:"Διαίρεση $240 μεταξύ τριών ατόμων με αναλογία 3:4:5. Πόσα παίρνει κάθε άτομο;" Συνολικά μέρη = 12. Κάθε μέρος = $240/12 = $20. Άτομο Α: 3x$20 = $60. Άτομο Β: 4x$20 = $80. Άτομο Γ: 5x$20 = $100. Έλεγχος: $60+$80+$100 = $240.

Αλλαγή αναλογιών:"Η αναλογία των ανδρών προς τις γυναίκες σε ένα πάρτι είναι 3:5. Αν 10 περισσότεροι άνδρες συμμετέχουν, η αναλογία γίνεται 4:5. Πόσες γυναίκες υπάρχουν στο πάρτι;" Ας είναι οι άνδρες = 3x, οι γυναίκες = 5x. Μετά: (3x+10) / 5x) = 4/5 -> 5x + 10) = 4x -> 15x + 50 = 20x -> x = 10. Οι γυναίκες = 5x10 = 50.

Αναλογίες μείγματος:"Ένα διάλυμα 40 λίτρων έχει γάλα και νερό σε αναλογία 3:1. Πόσο νερό πρέπει να προστεθεί για να γίνει η αναλογία 3:2;" Γάλα = 30L, νερό = 10L. Νέα αναλογία: 30:(10+w) = 3:2 -> 60 = 30+3w -> 3w = 30 -> w = 10 λίτρα.

Αναλογίες στη Διατροφή και την Επιστήμη των Τροφίμων

Η επιστήμη των τροφίμων βασίζεται σε μεγάλο βαθμό σε συνταγές που βασίζονται σε αναλογίες. Στο ψήσιμο, οι αναλογίες περιγράφουν τη θεμελιώδη δομή των συνταγών ανεξάρτητα από την ποσότητα. Τα κλασικά ποσοστά του αρτοποιού εκφράζουν όλα τα συστατικά ως αναλογία σε σχέση με το αλεύρι: μια βασική φόρμουλα ψωμιού είναι 100% αλεύρι, 65% νερό, 2% αλάτι, 1% ζύμη. Αυτά τα ποσοστά επιτρέπουν στους αρτοποιούς να κατανοήσουν αμέσως το επίπεδο ενυδάτωσης μιας συνταγής και να το κλιμακώσουν σε οποιοδήποτε μέγεθος παρτίδας.

Οι αναλογίες μακροθρεπτικών συστατικών είναι κεντρικές για την αθλητική διατροφή και τις εξειδικευμένες δίαιτες. Η κετογονική διατροφή στοχεύει σε μια αναλογία περίπου 70 - 80% λίπους, 15 - 25% πρωτεΐνης και 5 - 10% υδατανθράκων από την πρόσληψη θερμίδων.

Η ζύμωση του καφέ βασίζεται σε αναλογίες για συνεπή εκχύλιση. Η Εταιρεία Ειδικού Καφέ συνιστά αναλογία καφέ-νερού 1:15 έως 1:18 (κατά βάρος) για τις περισσότερες μεθόδους ζύμωσης.

Χρηματοοικονομικοί δείκτες: Ανάλυση εταιρειών

Η οικονομική ανάλυση χρησιμοποιεί δεκάδες δείκτες για την αξιολόγηση της υγείας, της αποδοτικότητας και της αξίας μιας εταιρείας.

Ο Warren Buffett επικεντρώνεται σε μερικούς βασικούς δείκτες: υψηλή και σταθερή απόδοση των μετοχών (ROE), χαμηλή σχέση χρέους προς μετοχικό κεφάλαιο και λογική P / E σε σχέση με την αύξηση των κερδών (ο δείκτης PEG = P / E ÷ ρυθμός αύξησης των κερδών, κάτω από 1,0 υποδηλώνει υποτίμηση).

Αναλογίες στη Μουσική, την Τέχνη και την Αρχιτεκτονική

Οι αναλογίες διέπουν την αισθητική αρμονία στη μουσική και την τέχνη. Στη μουσική, τα θεμελιώδη διαστήματα ορίζονται από τις αναλογίες συχνότητας: μια οκτάβα είναι μια αναλογία 2:1 (διπλάσια της συχνότητας), μια τέλεια πέμπτη είναι 3:2, μια τέλεια τέταρτη είναι 4:3, ένα μεγάλο τρίτο είναι 5:4.

Η ισότιμη ιδιοσυγκρασία (το σύστημα ρύθμισης που χρησιμοποιείται από τα σύγχρονα πιάνα) προσεγγίζει αυτές τις καθαρές αναλογίες με παράλογους αριθμούς (η δωδέκατη ρίζα των 2 ~ 1.0595 ανά ημιτόνο), επιτρέποντας τη μεταφορά σε οποιοδήποτε πλήκτρο. Η μικρή απόκλιση από τις τέλειες αναλογίες είναι απαρατήρητη για τους περισσότερους ακροατές, αλλά καθιστά και τα 12 μεγάλα πλήκτρα εξίσου παίξιμα - ένας πρακτικός συμβιβασμός μεταξύ μαθηματικής καθαρότητας και μουσικής ευελιξίας.

Στην αρχιτεκτονική, οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν αναλογίες για να επιτύχουν οπτική αρμονία. Οι αναλογίες της πρόσοψης του Παρθενώνα προσεγγίζουν στενά τη χρυσή αναλογία (1: 1,618) σε πολλαπλές σχέσεις. Το σύστημα Modulor του Le Corbusier ορίζει αρχιτεκτονικές αναλογίες με βάση τη χρυσή αναλογία και το ανθρώπινο σώμα. Η ιαπωνική αρχιτεκτονική χρησιμοποιεί την μονάδα ken (περίπου 1,82m), με διαστάσεις tatami mat σε αναλογία 2: 1 που πλακάκια αρμονικά για να γεμίσουν ορθογώνια δωμάτια.

Λύση προβλημάτων αναλογίας πολλαπλών βημάτων

Τα πολύπλοκα προβλήματα αναλογιών συχνά περιλαμβάνουν πολλαπλές αναλογίες που εργάζονται μαζί.

Πρόβλημα τριπλής αναλογίας:Σε ένα εργοστάσιο, οι μηχανές Α, Β και Γ παράγουν παραγωγή σε αναλογία 4:6:5. Η μηχανή Α παράγει 120 μονάδες την ημέρα. Βρείτε τη συνολική ημερήσια παραγωγή. Ένα "μέρος" για την Α = 120÷4 = 30 μονάδες. Το σύνολο = 30x(4+6+5) = 30x15 = 450 μονάδες/ημέρα. Η μηχανή Β: 6x30 = 180. Η μηχανή Γ: 5x30 = 150.

Πρόβλημα αλυσίδας αναλογίας:Βρείτε A:B:C. Οι τιμές B πρέπει να ταιριάζουν: A:B = 15:20 και B:C = 20:28. Έτσι A:B:C = 15:20:28. Αυτή η τεχνική - η εύρεση του LCM του κοινού όρου - είναι απαραίτητη για προβλήματα αλυσίδας πολλαπλών αναλογιών στις εξετάσεις.

Αντίστροφη αναλογία για προβλήματα εργασίας:Οι εργάτες Α και Β μπορούν να ολοκληρώσουν μια εργασία σε 6 και 8 ημέρες αντίστοιχα. Εργαζόμενοι μαζί, οι συντελεστές τους προσθέτουν: 1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24 την ημέρα. Ημέρες μαζί = 24/7 ~ 3.43 ημέρες. Η αναλογία των συνεισφορών τους μετά από 24/7 ημέρες: Ο Α κάνει (24/7) x (((1/6) = 4/7 της εργασίας, ο Β κάνει 3/7. Η αναλογία εργασίας τους είναι 4:3 - ο αντίστροφος των αναλογιών χρόνου τους (6:8 = 3:4, αντίστροφος = 4:3).

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον Υπολογιστή Ποσοτήτων

Χρησιμοποιήστε την αναλογία για να κλιμακώσετε προς τα πάνω ή προς τα κάτω οποιαδήποτε αναλογική σχέση - το ίδιο εργαλείο χειρίζεται την κλιμάκωση μαγειρέματος, τον υπολογισμό της απόστασης του χάρτη, την εύρεση παρόμοιων πλευρών τριγώνων και τα προβλήματα οικονομικών αναλογιών. Εισάγετε δεκαδικές τιμές απευθείας για μη ακέραιους λόγους. Η αριθμομηχανή χειρίζεται οποιαδήποτε θετική εισαγωγή πραγματικών αριθμών, επιστρέφοντας τα αποτελέσματα σε τέσσερα δεκαδικά ψηφία για ακρίβεια.