Υπολογιστής όγκου σφαίρας
Βρείτε τον όγκο και την επιφάνεια οποιασδήποτε σφαίρας από την ακτίνα της.
Σχηματισμοί σφαίρας: όγκος και επιφάνεια
Μια σφαίρα είναι το σύνολο όλων των σημείων σε τρισδιάστατο χώρο που είναι εξίσου απομακρυσμένα από ένα κεντρικό σημείο. Η σταθερή απόσταση από το κέντρο σε οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας είναι ηακτίνα (r)Το .διάμετρος (d)= 2r, και τοπεριφέρειακάθε μεγάλου κύκλου = 2πr.
Οι δύο θεμελιώδεις φόρμουλες της σφαίρας:
- Όγκος = (4/3) πr3-- προερχόμενο από τον Αρχιμήδη πάνω από 2.200 χρόνια πριν χρησιμοποιώντας εξάντληση (μια πρώιμη μορφή ολοκλήρωσης)
- Επιφάνεια = 4πr2-- αυτό ισούται ακριβώς με τέσσερις φορές την έκταση ενός μεγάλου κύκλου (πr2)
Η σχέση μεταξύ όγκου και επιφάνειας: V = (r/3) x A. Ο όγκος ισούται με το ένα τρίτο της ακτίνας επί την επιφάνεια. Αυτό σημαίνει ότι η επιφάνεια αυξάνεται ως r2 ενώ ο όγκος αυξάνεται ως r3 - μια σφαίρα με διπλάσια ακτίνα έχει 4x την επιφάνεια αλλά 8x τον όγκο.
Παράδειγμα: μια σφαίρα με r = 5 cm έχει όγκο = (4/3) π(125) ~ 523,60 cm3 και επιφάνεια = 4π(25) ~ 314,16 cm2. Ο Αρχιμήδης ήταν τόσο περήφανος για τη σχέση σφαίρας-κύλινδρου που φέρεται να ζήτησε μια σφαίρα χαραγμένη σε κύλινδρο να σκαλιστεί στην ταφόπλακά του.
Πίνακας αναφοράς του όγκου και της επιφάνειας της σφαίρας
Γρήγορη αναφορά για κοινά μεγέθη σφαιρών. Ο όγκος είναι σε κυβικές μονάδες, η επιφάνεια σε τετραγωνικές μονάδες (η ίδια γραμμική μονάδα με την ακτίνα):
| Ακτίνα | Διάμετρος | Όγκος (4/3πr3) | Επιφάνεια (4πr2) | Πραγματικό Παράδειγμα |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4. 19 | 12,57 εκατ. | Μεγάλο μάρμαρο (διαμέτρου ~ 2 cm) |
| 3 | 6 | 113,10 | 113,10 | Μοναδικό: V αριθμητικά ισούται με A όταν r=3 (σε αυτές τις μονάδες) |
| 5 | 10 | 523,60 χιλιοστών | 314,16 χλμ. | Αμπέλι (~10 cm) |
| 11 | 22 | 5,575 χιλιάδες | 1.521 χιλιάδες | Κανονισμός ποδοσφαιρικής μπάλας (22 cm διάμετρος) |
| 12 | 24 | 7.238 | 1.810 | ΝΒΑ μπάσκετ (~24 cm) |
| 20 | 40 | 33.510 | 5.027 εκατ. | Μεγάλη μπάλα άσκησης |
| 100 χλμ. | 200 χλμ. | 4.189.000 | 125.664 | Σφαιρική δεξαμενή νερού (~2 m) |
| 6.371.000 | 12.742.000 | 1,08x1021 m3 | 5,10x1014 m2 | Γη (μέση ακτίνα 6.371 km) |
Σημειώστε ότι στην ακτίνα = 3 (οποιαδήποτε μονάδα), ο όγκος (4/3) π ((27) ~ 113,10 αριθμητικά ισούται με την επιφάνεια 4π ((9) ~ 113,10.
Αφαίρεση του τύπου όγκου της σφαίρας
Ο τύπος V = (4/3) πr3 μπορεί να προέλθει χρησιμοποιώντας το λογισμό (ενσωμάτωση) ή τη γεωμετρική μέθοδο του Αρχιμήδη.
Μια σφαίρα ακτίνας r με κέντρο στην αρχή μπορεί να δημιουργηθεί με περιστροφή ενός ημικύκλου γύρω από τον άξονα των x. Στην θέση x κατά μήκος του άξονα, η ακτίνα της εγκάρσιας τομής είναι y = √(r2 - x2). Η έκταση της εγκάρσιας τομής είναι π x y2 = π(r2 - x2).
Ενσωμάτωση από -r σε +r:
V = ∫−rr π(r2 - x2) dx = π [r2x - x3/3]−rr = π [(r3 - r3/3) - (-r3 + r3/3) ] = π [2r3 - 2r3/3] = π x (4/3) r3 =(4/3) πρ3
Η μέθοδος του Αρχιμήδη ήταν πιο κομψή: έδειξε γεωμετρικά ότι μια σφαίρα συν έναν κώνο (με ακτίνα και ύψος ίσο με την ακτίνα της σφαίρας) έχει τον ίδιο όγκο με έναν κύλινδρο που περικλείει τη σφαίρα.
Σφαίρα έναντι άλλων τρισδιάστατων σχημάτων
Μεταξύ όλων των τρισδιάστατων σχημάτων, η σφαίρα είναι ιδιαίτερη επειδή μεγιστοποιεί τον όγκο για μια δεδομένη επιφάνεια (ή ισοδύναμα, ελαχιστοποιεί την επιφάνεια για έναν δεδομένο όγκο).
| Σχήμα | Όγκος | Επιφάνεια (περιορισμός σφαίρας μονάδας) | Επιφανειακή απόδοση |
|---|---|---|---|
| Σφαίρα (r=1) | 4.189 | 12.566 | 100% (καλύτερο) |
| Κύβος (ο ίδιος όγκος) | 4.189 | Στις 16.00 | 79% της σφαίρας |
| Κανονικό τετραέδρο (αυτός ο όγκος) | 4.189 | 22,56 χλμ. | 56% της σφαίρας |
| Κύλινδρο (h=2r, ίδιος όγκος) | 4.189 | 13,99 εκατ. | 90% της σφαίρας |
Αυτή η βέλτιστη σχέση επιφάνειας προς όγκο έχει βαθιές συνέπειες στη φύση και τη μηχανική. Οι φυσαλίδες σαπουνιού σχηματίζουν σφαίρες επειδή η επιφανειακή ένταση ελαχιστοποιεί την επιφανειακή έκταση για ένα δεδομένο όγκο αέρα. Τα αστέρια και οι πλανήτες είναι σφαιρικοί επειδή η βαρύτητα δρα εξίσου προς όλες τις κατευθύνσεις και τείνει να τραβάει τη μάζα προς το κέντρο, ελαχιστοποιώντας την επιφανειακή ενέργεια.
Σφαίρα έναντι κυλίνδρου:Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο (ακτίνα r, ύψος 2r) έχει ακριβώς τα 2/3 του όγκου του κύλινδρου.
Ημισφαίρια, Σφαιρικοί Καπάκοι και Μερικές Σφαίρες
Πολλά αντικείμενα του πραγματικού κόσμου είναι τμήματα σφαιρών και όχι πλήρεις σφαίρες.
Ημισφαίριο (μισή σφαίρα):
- Όγκος = (2/3) πr3 (ακριβώς το ήμισυ της πλήρους σφαίρας)
- Καμπύλη επιφάνεια = 2πr2 (η μισή επιφάνεια της σφαίρας)
- Συνολική επιφάνεια = 2πr2 + πr2 = 3πr2 (καμπύλη + επίπεδη βάση)
Σφαιρικό καπάκι (ύψος h, ακτίνα βάσης α):
- Όγκος = (πh2/3) 3r - h) όπου r είναι η ακτίνα της σφαίρας
- Καμπύλη επιφάνεια = 2πrh
- Σχέση: a2 = h(2r - h)
Σφαιρικό περίβλημα (εξωτερική ακτίνα R, εσωτερική ακτίνα r):
- Όγκος = (4/3) π ((R3 - r3)
- Αυτό ισχύει για κούφια σφαίρες όπως ρουλεμάν, φλοιούς πλανητών, ή κούφια σφαιρικές δεξαμενές
Ένα τυπικό δοχείο πίεσης με θολωτά άκρα χρησιμοποιεί ημισφαιρικά καπάκια. Ο τύπος επιφάνειας του σφαιρικού καπάκι (2πrh) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των υλικών αναγκών. Ένας φουσκωτός αθλητικός θόλος με ακτίνα 50 m και ύψος 25 m (ημισφαίριο) έχει καμπύλη επιφάνεια = 2π50)
Εφαρμογές: Από δεξαμενές σε πλανήτες
Οι υπολογισμοί του όγκου της σφαίρας απαιτούνται σε πολλά πρακτικά πλαίσια της μηχανικής, της επιστήμης και της καθημερινής ζωής:
Σφαιρική δεξαμενή αποθήκευσης:Το υγροποιημένο φυσικό αέριο (LNG), το προπάνιο και τα βιομηχανικά αέρια αποθηκεύονται συχνά σε μεγάλες σφαιρικές δεξαμενές.
Αθλητικές μπάλες:Μια κανονική μπάλα μπάσκετ του NBA έχει περιφέρεια 73,7 - 75,6 cm, δίνοντας ακτίνα ~ 11,85 cm και όγκο ~ 6,974 cm3. Μια κανονική μπάλα ποδοσφαίρου της FIFA έχει περιφέρεια 68 - 70 cm, δίνοντας ακτίνα ~ 11,1 cm και όγκο ~ 5,740 cm3. Η πίεση του αέρα μέσα σε αυτές τις μπάλες μπορεί να υπολογιστεί από τον όγκο, τη θερμοκρασία και τον αριθμό των μορίων αέρα χρησιμοποιώντας τον νόμο του ιδανικού αερίου: PV = nRT.
Αστρονομία:Οι πλανητικοί όγκοι υπολογίζονται με τη χρήση σφαιρικών τύπων. Ο όγκος της Γης = (4/3) π ((6.371 x 106) 3 ~ 1.083 x 1021 m3. Ο Δίας είναι 11.2 φορές η ακτίνα της Γης, δίνοντάς του (11.2) 3 = 1.405 φορές τον όγκο της Γης. Γνωρίζοντας τους πλανητικούς όγκους και μάζες δίνει τις πλανητικές πυκνότητες, οι οποίες αποκαλύπτουν τη σύνθεση (οι βραχώδεις πλανήτες είναι πιο πυκνοί, οι αεριώδεις γίγαντες είναι λιγότερο πυκνοί).
Φάρμακα:Ο όγκος του όγκου εκτιμάται από μετρημένες διαστάσεις, συχνά υποθέτοντας ένα ελλειψοειδές σχήμα. Ο τύπος V ~ (π/6) x L x W x H χρησιμοποιείται συνήθως στην ακτινολογία, όπου L, W και H είναι οι τρεις κάθετες διαστάσεις.
Σφαίρα στη Φύση: Γιατί υπάρχουν σφαίρες παντού
Η σφαίρα εμφανίζεται σε όλη τη φύση και δεν είναι σύμπτωση -- είναι η γεωμετρική λύση σε πολλαπλά προβλήματα βελτιστοποίησης που η φύση λύνει συνεχώς.
Επιφανειακή ένταση και φυσαλίδες:Οι φυσαλίδες σαπουνιού και τα σταγονίδια υγρών σχηματίζουν σφαίρες επειδή η επιφανειακή ένταση δρα για να ελαχιστοποιήσει την επιφανειακή ενέργεια για ένα δεδομένο όγκο.
Αστρικό και πλανητικό σχηματισμό:Η βαρύτητα τραβά τη μάζα προς το κέντρο της μάζας με ίση δύναμη προς όλες τις κατευθύνσεις (ισοτροπική δύναμη). Κάτω από επαρκή βαρύτητα, κάθε περιστρεφόμενο σώμα τείνει προς ένα σφαιροειδές σχήμα. Η Γη είναι ελαφρώς επιπεδωμένη (επιπεδωμένη στους πόλους) λόγω της περιστροφής, αλλά προσεγγίζει στενά μια σφαίρα. Η ελάχιστη μάζα για ένα παγωμένο σώμα να γίνει σφαιρικό κάτω από τη δική του βαρύτητα είναι περίπου 200 - 300 χλμ ακτίνα.
Κύτταρα και οργανισμοί:Οι μονοκύτταροι οργανισμοί όπως ορισμένα φύκια και τα αυγά πολλών ειδών είναι περίπου σφαιρικοί. Η σφαίρα μεγιστοποιεί τον εσωτερικό όγκο σε σχέση με την επιφάνεια της μεμβράνης, ελαχιστοποιώντας τους πόρους που απαιτούνται για τη διατήρηση του κυτταρικού ορίου και μεγιστοποιώντας τον διαθέσιμο χώρο για το μεταβολισμό.
Συχνές ερωτήσεις
Πώς βρίσκω την ακτίνα από τον όγκο μιας σφαίρας;
Λύστε V = (4/3) πr3 για r: r = (3V / 4π). Για παράδειγμα, αν V = 523.6, τότε r = (3 x 523.6 / 4π) = (125) = 5. Χρησιμοποιήστε έναν υπολογιστή κυβικής ρίζας ή υπολογίστε r = (3V/4π) ^ (((1/3) απευθείας.
Ποια είναι η διάμετρος μιας σφαίρας με επιφάνεια 100π;
Η επιφάνεια = 4πr2 = 100π -> r2 = 25 -> r = 5 -> διάμετρο = 2r =10.
Πώς συγκρίνεται ο όγκος μιας σφαίρας με τον κύλινδρο που την περιβάλλει;
Μια σφαίρα ακτίνας r χωράει μέσα σε έναν κύλινδρο με ύψος = διάμετρο = 2r. Ο όγκος του κύλινδρου = πr2 x 2r = 2πr3. Ο όγκος της σφαίρας = (4/3) πr3. Η σφαίρα έχει ακριβώς2/3ο όγκος του κυλίνδρου που τον περικλείει -- το διάσημο αποτέλεσμα του Αρχιμήδη.
Ποιος είναι ο όγκος ενός ημισφαιρίου;
Ο όγκος του ημισφαιρίου = (2/3) πr3, ακριβώς το ήμισυ της πλήρους σφαίρας. Για ένα ημισφαίριο με r = 5: V = (2/3) π ((125) ~ 261,8 κυβικές μονάδες. Η συνολική επιφάνεια ενός ημισφαιρίου (καμπύλη + επίπεδη βάση) = 3πr2.
Γιατί οι πλανήτες και τα αστέρια είναι σφαιρικά;
Η βαρύτητα τραβά τη μάζα προς το κέντρο μάζας ισοτροπικά (ομοιόμορφα προς όλες τις κατευθύνσεις). Κάθε προεξοχή πάνω από τη μέση ακτίνα της επιφάνειας βιώνει καθαρή εσωτερική βαρυτική δύναμη. Με την πάροδο του γεωλογικού χρόνου, αυτό εξομαλύνει τα πλανητικά σχήματα προς τις σφαίρες (τεχνικά οπλισμένα σφαιροειδή λόγω περιστροφής). Αυτό συμβαίνει για σώματα με επαρκή μάζα - περίπου πάνω από 300 - 500 χλμ ακτίνα για βραχώδη σώματα.
Πώς υπολογίζω την επιφάνεια μιας σφαίρας από τον όγκο της;
Από τον όγκο V, βρείτε r: r = (3V/4π) ^ 1 / 3. Στη συνέχεια υπολογίστε SA = 4πr2. Ή χρησιμοποιήστε την άμεση σχέση: SA = 4π x (3V/4π) ^ 2 / 3) = π ^ 1 / 3) x (6V) ^ 2 / 3. Για V = 523,6: r = 5, SA = 4π ^ 25) ~ 314,2.
Ποιος είναι ο όγκος της Γης;
Η μέση ακτίνα της Γης είναι 6.371 km. Ο όγκος = (4/3) π (6.371) 3 ~ (4/3) π (2.586 x 1011) ~ 1.083 x 1012 km3 = 1.083 x 1021 m3. Η μέση πυκνότητα της Γης είναι 5.514 kg/m3 - πολύ πιο πυκνή από τους επιφανειακούς βράχους επειδή ο πυρήνας είναι κυρίως σίδηρος και νικέλιο.
Πώς επηρεάζει τον όγκο το διπλασιασμό της ακτίνας;
Η διπλασίαση της ακτίνας (r -> 2r) αυξάνει τον όγκο κατά 23 =8 φορές.Αυτός ο νόμος κλιμάκωσης του τετραγώνου του κύβου έχει βαθιές επιπτώσεις στη βιολογία (γιατί τα μεγάλα ζώα έχουν μεγαλύτερη επιφάνεια σε σχέση με τον όγκο προκλήσεις για τη διάχυση της θερμότητας) και στη μηχανική (τα μοντέλα κλίμακας δεν μπορούν να αναπαράγουν τέλεια δομές πλήρους μεγέθους).
Ποιο είναι το μέγιστο όγκο σφαίρας που χωράει μέσα σε έναν κύβο;
Μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε έναν κύβο με μήκος πλευράς s έχει ακτίνα r = s/2. όγκος σφαίρας = (4/3) π(s/2) 3 = πs3/6 ~ 0.5236s3. όγκος κύβου = s3. η σφαίρα χρησιμοποιεί μόνο το 52,36% του όγκου του κύβου, αφήνοντας το 47,64% ως γωνίες που η σφαίρα δεν μπορεί να γεμίσει.
Πώς χρησιμοποιείται ο τύπος σφαίρας στη πυρηνική φυσική;
Το μοντέλο υγρής σταγόνας του ατομικού πυρήνα αντιμετωπίζει τον πυρήνα ως σφαιρική σταγόνα πυρηνικού υγρού. Η πυρηνική ακτίνα προσεγγίζεται ως r = r0 x A ^ 1 / 3, όπου A είναι ο αριθμός μάζας και r 0 ~ 1,2 fm (φεμτομέτρα). Αυτό το μοντέλο προβλέπει σωστά τις πυρηνικές ενέργειες δέσμευσης και είναι η βάση για την κατανόηση της πυρηνικής σχάσης - όταν ένας πυρήνας παραμορφώνεται μακριά από τη σφαιρική, η επιφανειακή ενέργεια αυξάνεται ενώ η απώθηση Coulomb μειώνεται, με τον ανταγωνισμό να καθορίζει τα εμπόδια σχάσης.
Η επιφάνεια και ο όγκος της σφαίρας στο πλαίσιο
Η αναλογία επιφάνειας προς όγκο έχει βαθιές βιολογικές και μηχανικές επιπτώσεις.
Βιολογία:Τα μικρά ζώα όπως τα ποντίκια έχουν υψηλή αναλογία επιφάνειας προς όγκο, πράγμα που σημαίνει ότι χάνουν θερμότητα στο περιβάλλον γρήγορα σε σχέση με τη μάζα του σώματός τους. Πρέπει να τρώνε αναλογικά περισσότερο φαγητό για να διατηρήσουν τη θερμοκρασία του σώματος. Οι ελέφαντες έχουν χαμηλή αναλογία επιφάνειας προς όγκο και πραγματικά αγωνίζονται να παραμείνουν δροσεροί - ως εκ τούτου τα μεγάλα αυτιά τους (που λειτουργούν ως ακτινοβολίες για να απορρίψουν θερμότητα). Αυτό εξηγεί γιατί τα πολικά ζώα τείνουν να είναι μεγαλύτερα και πιο στρογγυλά (ελαχιστοποιώντας την αναλογία επιφάνειας προς όγκο) και τα τροπικά ζώα τείνουν να είναι πιο αδύνατα με μεγαλύτερα άκρα.
Χημικοί αντιδραστήρες:Οι καταλυτικοί μετατροπείς, οι μπαταρίες και οι κυψέλες καυσίμου χρησιμοποιούν λεπτομερώς διαιρεμένα υλικά (σωματίδια, πορώδεις δομές) για να μεγιστοποιήσουν την επιφάνεια ανά μονάδα μάζας.
Αρχιτεκτονική και κατασκευές:Οι γεωδαιτικοί θόλοι (περίληψη ενός ημισφαιρίου) είναι από τα πιο δομικά αποδοτικά σχήματα για την κάλυψη του όγκου. Το σφαιρικό σχήμα διανέμει την πίεση ομοιόμορφα σε όλη την επιφάνεια και επιτυγχάνει ελάχιστη χρήση υλικού για μέγιστο κλειστό όγκο.