スフィアの体積計算機
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球の式:体積と表面積
球は,中心点から等距離にある3次元空間のすべての点の集合である.中心から任意の表面点までの恒定距離は,半径 (r)その...直径 (d)= 2r,そして円周2πrと等しい.
2つの基本的な球の公式:
- ボリューム = (4/3) πr3アルキメデスが2,200年以上前に 消耗法 (初期の統合法) を用いて導き出したものです
- 表面積 = 4πr2大きい円の面積の4倍に等しいです.
体積と表面積の関係: V = (r/3) x A.体積は半径×表面積の3分の1に等しい.これは,表面積がr2で増加し,体積がr3で増加することを意味します.半径が2倍である球は表面積の4倍ですが,体積は8倍です.
例:r = 5cmの球体は体積 = (4/3) π(125) ~ 523.60cm3と表面積 = 4π(25) ~ 314.16cm2である.アーキメデスは球と円筒の関係に非常に誇りを持っていて,円筒に刻まれた球体が彼の墓石に刻まれることを要求したと伝えられている.
球の体積と表面積の基準表
一般的な球体の大きさの簡単な参考資料.体積は立方単位で,表面積は正方形単位で (半径と同じ線形単位):
| 半径 | 直径 | ボリューム (4/3πr3) | 表面積 (4πr2) | 現実 の 世 の 例 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4. 19 について | 1 2 5 7 年 | 大きな大理石 (直径約2cm) |
| 3 | 6 | 113. 10 について | 113. 10 について | 単数:R=3のとき,Vは数値的にAに等しい (これらの単位で) |
| 5 | 10 | 523.60 年 月 日 | 314. 16 について | グレープフルーツ (~10cm) |
| 11 | 22 | 5,575 人 | 1,521 人 | ルール サッカーボール (直径22cm) |
| 12 | 24 | 7,238 人 | 1,810 人 | NBAバスケットボール (~24cm) |
| 20 | 40 | 33,510 人 | 5,027 人 | 大きな運動ボール |
| 100 について | 200 について | 4,189,000 人 | 125,664 人 | 球形の水タンク (~2 m) |
| 6,371,000 人 | 12,742,000 人 | 1.08×1021 m3 | 5.10×1014 m2 | 地球 (平均半径 6,371 km) |
半径 = 3 (任意の単位) で,体積 (4/3) π (((27) ~ 113.10 は数値的に表面積 4π (((9) ~ 113.10 に等しいことに注意してください.これは数値値の点で数学的な偶然です - 単位は異なります (立方対正方形). 他の半径では,V ≠ A 数値的に.
球体体積式を導出する
V = (4/3) πr3 の式は,微積分 (積分) またはアーキメデスの幾何学法を用いて導出することができます.ここに微積分のアプローチがあります.
原点を中心とする半径 r の球体は,x 軸の周りを半円で回転させることで生成することができる.軸に沿った位置 x で,横断半径は y = √(r2 - x2 である.横断面積は π x y2 = π(r2 - x2 である.
-r から +r への積分:
V = ∫−rr π(r2 - x2) dx = π [r2x - x3/3]−rr = π [(r3 - r3/3) - (-r3 + r3/3) ] = π [2r3 - 2r3/3] = π x (4/3) r3 =(4/3) について
アルキメデスの方法はより優雅であった.彼は,球と円 (半径と高さは球の半径に等しい) が,球を囲む円筒と同じ体積を持つことを幾何学的に示した.円筒の体積は2πr3であり,円 の体積は (1/3) πr3であるため,球の体積 = 2πr3 - (1/3) πr3 = (4/3) πr3.
スフィアと他の3D形
すべての3D形状の中で,球は特定の表面面積の容量を最大化するため (または同等に,特定の体積の表面面積を最小化するため) 特別です.これは3D対比不等式です.
| 形状 | 容量 | 表面面積 (囲むユニット球) | 表面効率 |
|---|---|---|---|
| スフィア (r=1) | 4.189 について | 12,566 年間 | 100% (ベスト) |
| キューブ (同じ体積) | 4.189 について | 16時まで | 球の79% |
| 正規四面体 (同じ体積) | 4.189 について | 22,56 年 | 球の56% |
| シリンダー (h=2r,同じ体積) | 4.189 について | 13.99 年間 | 球の90% |
この表面と体積の最適性は,自然と工学に深い影響を及ぼしている.表面張力が与えられた空気の体積の表面面積を最小限に抑えるため,石 泡は球を形成する.星と惑星は,重力がすべての方向に等しく作用し,表面エネルギーを最小限に抑え,中心に向かって質量を引っ張る傾向があるため,球状である.球状の燃料タンクは,材料が少ない (表面面積が低い) 他の形と同じ体積を貯蔵する.
球と円筒:アルキメデスは,円筒に刻まれた球 (半径r,高さ2r) が円筒の体積のちょうど2/3であることを証明した.円筒の体積 = πr2 x 2r = 2πr3.球の体積 = (4/3) πr3.比率 = (4/3) ÷ 2 = 2/3.彼はこれを最大の業績と考えた.
半球,球頂,部分球
多くの現実世界のオブジェクトは完全な球体ではなく球体の部分である.部分球体の計算を理解することは,工学や建築において有用である.
半球 (半球):
- ボリューム = (2/3) πr3 (完全な球のちょうど半分)
- 曲った表面積 = 2πr2 (球面の半分)
- 総表面積 = 2πr2 + πr2 = 3πr2 (曲線 + 平らな底)
球形キャップ (高さh,ベース半径a):
- ボリューム = (πh2/3) 3r - h) rは球の半径である
- 曲った表面積 = 2πrh
- 関連: a2 = h ((2r - h)
球状の殻 (外半径R,内半径r):
- ボリューム = (4/3) π ((R3 - r3)
- これはボールベアリング,惑星の殻,または空洞の球体タンクのような空洞の球体に適用されます
一般的な圧縮容器のドームの端は半球状のキャップを使用する.半球状のキャップの表面積の式 (2πrh) は,材料の需要を計算するために使用される.半径50m,高さ25m (半球) の膨張式スポーツドームは,表面積 = 2π50) ((((25) = 7,854 m2 - 約1.76エーカーの膜材料を持つ.
応用: タンク から 惑星 へ
球体体積計算は,工学,科学,日常生活における多くの実用的な文脈で必要である.
球形の貯蔵タンク:液化天然ガス (LNG),プロパン,および産業用ガスは,しばしば大きな球形タンクに貯蔵される.球形の形状は,体積単位あたりの表面積を最小限に抑え,環境から冷凍液体への熱移転を軽減し,必要な絶縁材料の量を減らす.大きな球形LNGタンクは80,000立方メートル以上のガスを保持できる.
スポーツボール:NBAのレギュレーションのバスケットボールの周長は73.7 - 75.6cmで,半径は ~ 11.85cm,体積は ~ 6,974cm3である.FIFAのレギュレーションのサッカーボールの周長は 68 - 70cmで,半径は ~ 11.1cm,体積は ~ 5,740cm3である.これらのボール内の空気圧は,理想気体の法則を用いて,体積,温度,および空気分子数から計算することができる: PV = nRT.
天文学:惑星の体積は球体式を用いて計算される.地球の体積 = (4/3) π ((6.371 x 106) 3 ~ 1.083 x 1021 m3).木星は地球の半径の11.2倍で,地球の体積の (11.2) 3 = 1,405倍である.惑星の体積と質量を把握すると,惑星の密度が与えられ,その構成が明らかになる (岩石惑星はより密度が高い;ガス巨星はより密度が低い).
薬について:腫瘍の体積は,測定された寸法から推定され,しばしば 円形 (球状に近い) の形を想定する.V ~ (π/6) x L x W x Hという式は,放射線学で一般的に使用され,L,W,Hが3つの垂直寸法である.完全に丸い腫瘍の場合,L = W = H = 2rで,V ~ (4/3) πr3が得られる.
自然 の 球体: 球体 が どこに も ある の は なぜ です か
球は自然全体に現れ 偶然ではなく 自然が絶えず解決する 複数の最適化問題の 幾何学的な解決策なのです
表面張力と泡:石 バブルと液滴は,表面張力が特定の体積で表面エネルギーを最小限に抑える作用をするため,球を形成する.これは,対比不等式の直接的な結果である.球は表面面積を最小限に抑える.石 バブル内の圧力は,周囲の圧力を4γ/rで上回る.ここでは,γは表面張力であり,rは半径であり,球体幾何学と物理力の関係を示している.
星と惑星の形成:重力はすべての方向に等しい力 (同流力) で質量の中心に向かって質量を引き寄せます.十分な重力下では,回転するすべての体は球状の形になる傾向があります.地球は回転によりわずかに斜め (極点で平らな),しかし球状に近似しています.氷の体が自身の重力の下で球状になるための最小質量は約200 - 300 kmの半径です.
細胞と生物:特定の藻類や多くの種の卵のような単細胞生物は,ほぼ球状である.球は膜表面面積に相対して内部の容量を最大化し,細胞境界を維持するために必要な資源を最小化し,代謝のために利用可能な空間を最大化する.
よく 聞かれる 質問
半径を球の体積から計算する方法は?
V = (4/3) πr3 を r: r = (3V / 4π で解く.例えば,V = 523.6 ならば,r = (3 x 523.6 / 4π) = (125) = 5.立方根計算機を使用するか,直接 r = (3V/4π) ^ ((1/3) を計算する.
表面積が100πの球の直径は? 表面積が100πの球の直径は?
表面積 = 4πr2 = 100π -> r2 = 25 -> r = 5 -> 直径 = 2r =10.
球体の体積は 球体を取り囲む円筒と比べるとどうでしょう?
半径 r の球体は,高さ = 直径 = 2r の円筒の中に収まります.円筒の体積 = πr2 x 2r = 2πr3.球体体積 = (4/3) πr3.球体は,正確に2 分の 3アルキメデスの有名な結果です
半球の体積はどのくらいですか?
半球の体積 = (2/3) πr3,完全半球の半分. r = 5: V = (2/3) π ((125) ~ 261.8立方単位.半球の総表面積 (曲線 + 平面) = 3πr2.
惑星や星はなぜ球状なのか?
重力は質量の中心に向かって同otropically (すべての方向に等しく) 引き寄せます. 平均表面半径以上の突起は,内側への純重力を経験します. 地質的な時間とともに,これは惑星の形状を球体 (自転による技術的に斜面球体) に向けて平滑化します. これは十分な質量を持つ天体で起こります - 岩石体の半径は約300 - 500 km以上です.
球の表面積を体積から計算するには?
ボリュームVから,r: r = (3V/4π) ^ 3 を求めます.それから,SA = 4πr2 を計算します.または,直接の関係を使用します.SA = 4π x (3V/4π) ^ 2 / 3) = π ^ 3 / 3) x (6V) ^ 2 / 3).V = 523.6: r = 5,SA = 4π ^ 25 ~ 314.2.
地球の体積は?
地球の平均半径は6,371 km.体積 = (4/3) π ((6,371) 3 ~ (4/3) π ((2.586 x 1011) ~ 1.083 x 1012 km3 = 1.083 x 1021 m3. 地球の平均密度は5,514 kg/m3で,核は主に鉄とニッケルであるため,地表の岩石よりもはるかに密度が高い.
半径を2倍にすると 音量はどうなりますか?
半径 (r -> 2r) を2倍すると,体積は23倍になります.8回でしたこの立方形のスケーリング法則は,生物学 (なぜ大型動物は散熱のための体積に比べて表面積が大きいのか) と工学 (スケールモデルでは完全な大きさの構造を完璧に複製することはできません) に深い意味を持っています.
立方体の中に入れる 最大体積の球体は何でしょうか?
辺の長さ s の立方体に刻まれた球の半径は r = s/2.球の体積 = (4/3) π(s/2) 3 = πs3/6 ~ 0.5236s3.立方体の体積 = s3.球は立方体の体積の52.36%しか使用せず, 47.64%は球が満たせない角として残る.
核物理学で球の式はどのように用いられるのか.
原子核の液滴モデルは,原子核を球状の核液滴として扱っている.核半径は,r = r0 x A ^ ^ 1 / 3として近似され,Aは質量数であり,r0 ~ 1.2 fm (フェムトメーター) である.このモデルは,核結合エネルギーを正しく予測し,核分裂を理解するための基礎である - 核が球状から外れるとき,表面エネルギーは増加し,クーロンブ反発は減少し,競争が分裂障壁を決定する.
球の表面積と体積
表面面積と体積の比は,生物学的および工学的意味合いを持つ.物体が大きくなるにつれて,その体積は表面面積よりも速く成長する (体積 r3,表面面積 r2).この"正方形立方体法則"は多くの物理現象を支配する.
生物学:マウスのような小さな動物は,表面面積と体積の比率が高く,体積に比べて環境への熱を素早く失っている.体温を維持するために,比例的により多くの食べ物を食べなければならない.象は表面面積と体積の比率が低く,実際に冷たいままでいることに苦労する - したがって,大きな耳 (熱を放出する散熱器として機能する) があります.これは,極地動物がより大きく,より丸く (表面積比率を最小化する) 傾向があり,熱帯動物がより大きな ekstremities で痩せやすい傾向がある理由を説明します.
化学反応炉:触媒コンバーター,バッテリー,燃料電池は,質量単位あたりの表面積を最大化するために細かく分割された材料 (粒子,多孔構造) を使用します.半径1cmの球体は表面積 ~ 12.57cm2です.半径0.1cmの1000球体 (同じ総体積) に分割すると,総表面積 = 1,000 x 4π (((0.01) = 125.7cm2 - 表面積の10倍になります! そのため,触媒は粉末または多孔の形で使用されます.より大きな表面積はより速い反応率を意味します.
建築と建設:ジオデシックドーム (半球の近似) は,体積を囲むために構造的に最も効率的な形状の1つです.球形の形状は,表面に均等にストレスを配分し,最大限の閉じられた体積のために最小限の材料使用を達成します. バックミンスター・フラーのジオデシックドームとモントリオール・バイオスフィアは,大規模アプリケーションでこれらの特性を実証しています.