球体体积计算器
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球体公式:体积和表面积
一个球是三维空间中所有与中心点相等距离的点的集合.从中心到任何表面点的恒定距离是半径 (r)在直径 (d)= 2r,以及周长任何一个大圆的2πr.
两个基本的球体公式:
- 大小 = (4/3) πr3- - 由阿基米德在2,200多年前使用消耗 (一种早期的整合形式) 来得出的
- 表面积 = 4πr2这等于四倍大圆的面积 (πr2)
体积和表面积之间的关系:V = (r/3) x A.体积等于半径的三分之一乘以表面积.这意味着表面积增长为r2,而体积增长为r3 - 一个半径为半径的球体具有4倍的表面积,但体积为8倍.
例如:一个球体 r = 5 cm 的体积 = (4/3) π(125) ~ 523.60 cm3 和表面积 = 4π(25) ~ 314.16 cm2.阿基米德对球体和圆柱体的关系感到骄傲,据说他要求在圆柱体中刻出一个球体雕刻在他的墓碑上.
球体体积和表面积参考表
对于常见的球体尺寸的快速参考.体积是立方单位,表面积是平方单位 (与半径相同的线性单位):
| 半径 | 大小 | 容量 (4/3πr3) | 表面积 (4πr2) | 现实世界中的例子 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4. 19 其他 | 12.57 年 | 大型大理石 (直径约2厘米) |
| 3 | 6 | 113.10 年 | 113.10 年 | 唯一:当r=3时,V在数值上等于A (在这些单位中) |
| 5 | 10 | 523.60 年 | 314.16 其他 | 葡萄 (大约10厘米) |
| 11 | 22 | 美国 | 1,521 年 | 规则足球 (22厘米直径) |
| 12 | 24 | 7,238 年 | 一千八百十 | NBA篮球 (约24厘米) |
| 20 | 40 | 33,510 年 | 5,027 年 | 大型运动球 |
| 一百个 | 在200 | 4,189,000 年 | 一百二十五万六百六十四 | 球形水箱 (约2米) |
| 6,371万个 | 一万七千四万二千 | 1.08×1021 公尺 | 5.10x1014平方米 | 地球 (平均半径6371公里) |
请注意,在半径=3 (任意单位) 时,体积 (4/3) π(27) ~ 113.10 在数值上等于表面积4π(9) ~ 113.10. 这是一个数学上的巧合 - 单位不同 (立方与平方). 对于任何其他半径,V ≠ A 在数值上.
导出球体体积公式
公式V = (4/3) πr3可以使用微积分 (整合) 或阿基米德的几何方法来推导. 以下是微积分方法:
一个半径为 r 的球体,其中心在原点,可以通过在 x 轴周围旋转一个半圆来生成.在 x 轴的位置上,截面半径为 y = √(r2 - x2).截面面积为 π x y2 = π(r2 - x2).
从 -r 整合到 +r:
V = ∫−rr π(r2 - x2) dx = π [r2x - x3/3]−rr = π [(r3 - r3/3) - (-r3 + r3/3) ] = π [2r3 - 2r3/3] = π x (4/3) r3 =(4/3) 其他
阿基米德的方法更优雅:他用几何方法表明,一个球体加上一个圆 (半径和高度等于球体半径) 的体积与封闭球体的圆柱体相同.由于圆柱体体积是2πr3而圆 体积是 (1/3) πr3,因此球体体积=2πr3 - (1/3) πr3 = (4/3) πr3.
球与其他3D形状
在所有3D形状中,球体是特别的,因为它最大限度地增加了给定的表面积 (或相当于,最小化了给定的体积的表面积).这是3D等比不等式.
| 形状 | 总量 | 面积 (包围单位球体) | 表面效率 |
|---|---|---|---|
| 球 (r=1) | 4,189 年 | 12,566 年 | 100% (最好的) |
| 立方体 (相同的体积) | 4,189 年 | 时间16:00 | 79%的球体 |
| 正规四面体 (相同体积) | 4,189 年 | 22.56 年 | 球体的56% |
| 气 (h=2r,相同的体积) | 4,189 年 | 13.99 年 | 90%的球体 |
这种表面对体积的最佳性在自然界和工程学上产生了深远的影响.肥 泡形成球体,因为表面张力使给定的空气体积的表面积最小化.恒星和行星是球体的,因为重力在各个方向上均 地作用,并倾向于向中心拉动质量,从而最大限度地减少表面能量.球体燃料 储存的体积与其他形状相同,材料较少 (表面积较低).
球与圆柱体:阿基米德证明,一个刻在圆柱体中的球体 (半径r,高度2r) 的体积正好是圆柱体的2/3 .圆柱体体积= πr2 x 2r = 2πr3.球体体积= (4/3) πr3.比率= (4/3) ÷ 2 = 2/3.他认为这是他最大的成就.
半球,球顶和部分球
许多现实世界的物体是球体的部分而不是完整的球体.理解部分球体计算在工程和建筑中是有用的.
半球 (半球):
- 体积 = (2/3) πr3 (正好是全球的一半)
- 曲面面积 = 2πr2 (球面的一半)
- 总表面积 = 2πr2 + πr2 = 3πr2 ( 曲 + 平底)
球形盖 (高度h,底半径a):
- 体积 = (πh2/3) ((3r - h) 其中 r 是球半径
- 曲面面积 = 2πrh
- 关系: a2 = h(2r - h)
球形外 (外半径R,内半径r):
- 容量 = (4/3) π ((R3 - r3)
- 这适用于诸如球轴承,行星 或空心球体 等空心球体
一个典型的压力容器用圆顶的末端使用半球盖.球形盖的表面积公式 (2πrh) 用于计算材料需求.一个充气体育圆顶半径50米,高度25米 (半球) 的曲面积 = 2π50) ((((25) = 7,854 m2 - 约1.76英 的膜材料.
应用:从坦克到行星
球体体积计算在工程,科学和日常生活中的许多实际环境中是必要的:
球形储 :液化天然气 (LNG), 气和工业气体通常存储在大型球形 中.球形形状将每单位体积的表面积最小化,减少从环境转移到冷 液体中的热量,减少所需的绝缘材料.大型球形LNG 可以容纳80,000立方米以上的气体.
运动球:规则 NBA 篮球的周长为 73.7 - 75.6 厘米,半径为 ~ 11.85 厘米和体积为 ~ 6,974 厘米.规则 FIFA 足球的周长为 68 - 70 厘米,半径为 ~ 11.1 厘米和体积为 ~ 5,740 厘米.这些球内的空气压力可以从体积,温度和空气分子数量计算,使用理想气体定律: PV = nRT.
天文学:行星体积是用球体公式计算的.地球体积= (4/3) π ((6.371 x 106) 3 ~ 1.083 x 1021 m3.木星是地球半径的11.2倍,使其 (11.2) 3 = 地球体积的1,405倍.知道行星体积和质量会给出行星密度,从而揭示组成 (岩石行星的密度更高;气态巨星的密度更低).
医学: 瘤体积是根据测量尺寸估计的,通常假定 圆形 (近球形) 形状.在放射学中通常使用的公式是V ~ (π/6) x L x W x H,其中L,W和H是三个垂直的维度.对于一个完全圆的 瘤:L = W = H = 2r,给出V ~ (4/3) πr3.
大自然中的球体:为什么球体无处不在
它是自然界不断解决的多重优化问题的几何解决方案.
表面张力和气泡:肥 泡和液滴形成球体,因为表面张力对给定体积的表面能量起到最小的作用.这是等平度不等式的直接后果:球体最小化了表面积.肥 泡内的压力超过环境压力4γ/r,其中γ是表面张力,r是半径 - 证明了球体几何与物理力之间的关系.
恒星和行星的形成:重力将质量拉向质量中心,在所有方向上均有力 (同otropic force).在足够的重力下,任何旋转的物体都倾向于球形.地球由于旋转而稍微斜 (在极点上平坦),但接近球形.一个冰体在自身重力下变为球形的最小质量约为200 - 300公里半径.
细胞和生物:单细胞生物,如某些藻类和许多物种的 蛋,大约是球形的.球体相对于膜表面积最大限度地增加了内部体积,最大限度地减少了维持细胞边界所需的资源,同时最大限度地增加了代谢的空间.
人们常问的问题
如何从球体体积计算半径?
求出 V = (4/3) πr3 的 r: r = (3V / 4π .例如,如果 V = 523.6,则 r = (3 x 523.6 / 4π) = (125) = 5.使用立方根计算器或直接计算 r = (3V/4π) ^ ((1/3).
一个面积为100π的球的直径是多少?
表面积 = 4πr2 = 100π -> r2 = 25 -> r = 5 -> 直径 = 2r =10.
一个球体的体积与它包围的圆柱体相比有什么不同?
一个半径为 r 的球体适合在一个圆柱体内,其高度=直径=2r.圆柱体体积= πr2 x 2r = 2πr3.球体体积= (4/3) πr3.球体有正确的三分之二这是阿基米德的著名成果.
一个半球的体积是多少?
半球体积 = (2/3) πr3,正好是全球的一半.对于一个半球 r = 5: V = (2/3) π ((125) ~ 261.8立方单位.半球的总表面积 (曲线 + 平底) = 3πr2.
为什么星球和恒星是球形的?
重力以同位素 (在所有方向上均等) 拉向质量中心的质量. 任何高于平均表面半径的突出都会经历净向内引力. 随着地质时间的推移,这会使行星形状向球体平滑 (由于旋转而技术上是斜的球体). 这发生在具有足够质量的天体中 - - 岩石天体的半径大约在300 - 500公里以上.
我如何从球体体积计算球体表面积?
从体积V中,求 r: r = (3V/4π) ^ 1 / 3.然后计算SA = 4πr2.或者使用直接关系:SA = 4π x (3V/4π) ^ 2 / 3) = π ^ 1 / 3) x (6V) ^ 2 / 3.对于V = 523.6: r = 5,SA = 4π ^ 25 ~ 314.2.
地球的体积是多少?
地球的平均半径为6,371公里.体积= (4/3) π(6,371) 3~ (4/3) π(2.586 x 1011) ~1.083 x 1012 km3 = 1.083 x 1021 m3.地球的平均密度为5,514 kg/m3 - 比表面岩石密度要高得多,因为核心主要是铁和 .
半径的翻倍如何影响体积?
两倍半径 (r -> 2r) 的体积增加了23=八次表面积尺度为r2 - - 半径的翻倍是表面积的四倍.这种立方体尺度定律在生物学 (为什么大型动物相对于散热的体积具有更多的表面积) 和工程学 (尺度模型无法完美复制全尺寸结构) 中具有深远的影响.
一个立方体内的最大体积球是多少?
在边长为 s 的立方体中刻入的球体的半径为 r = s/2. 球体体积为 (4/3) π(s/2) 3 = πs3/6 ~ 0.5236s3. 立方体体积为 s3. 球体只占立方体体积的 52.36%,剩下的 47.64%是球体无法填充的角.
球体公式在核物理中是如何使用的?
原子核的液滴模型将原子核视为核液体的球形滴.核半径近似为r = r0 x A^{1/3),其中A是质量数,r0 ~ 1.2 fm (femtometers).该模型正确预测了核结合能,是理解核裂变的基础 - - 当核从球形变形时,表面能量增加,而库伦反射减少,竞争决定了裂变障碍.
背景中的球面积和体积
表面面积与体积的比率具有深刻的生物学和工程意义.随着物体变大,其体积增长的速度比其表面面积快 (体积 r3,表面面积 r2).这种"平方立方体定律"支配着许多物理现象.
生物学:像小鼠这样的小动物表面积与体积的比率很高,这意味着它们相对于身体质量来说很快就会向环境中失去热量.它们必须吃更多的食物以保持体温.大象表面积与体积的比率很低,实际上很难保持凉爽 - - 因此它们的大耳朵 (作为散热器来排放热量).这解释了为什么极地动物往往更大,更圆 (最小化表面积比率),热带动物往往更苗条,四肢更大.
化学反应器:催化转换器,电池和燃料电池使用细分的材料 (颗粒,多孔结构) 来最大限度地提高每单位质量的表面积.半径为1厘米的球体的表面积为~12.57厘米.将其划分为半径为0.1厘米的1000个球体 (相同的总体积) 给出总表面积 = 1,000 x 4π (((0.01) = 125.7厘米2 - 十倍的表面积!这就是为什么催化剂以粉末或多孔形式使用的原因:更多的表面积意味着更快的反应速率.
建筑和建筑:地测圆顶 (半球的近似) 是封闭体积最有效的结构形状之一.球形形状在表面均 地分配应力,并实现最大封闭体积的最小材料使用.巴克明斯特·富勒的地测圆顶和蒙特利尔生物圈在大规模应用中展示了这些特性.