平方根计算器
立即计算任何数的平方根. 还显示立方根和n次根的计算. 这个免费的数学工具提供了即时的,准确的结果.
平方根是什么?
一个数 x 的平方根是 y 的值,这样 y2 = x. 写成 √x 或 x^(1/2,平方根是平方的逆运算.
√25=5因为52=25.
√144等于12因为122=144.
√2 ~ 1.41421十进制从来没有结束或重复.
平方根的主要代数属性:
- √(a x b) = √a x √b (产物属性--用于简化基数)
- √(a/b) = √a ÷ √b (系数属性)
- √(a2) =a △ (绝对值 - 主根总是非负数)
- (√a) 2 = a 对于 a >= 0 (平方和平方根是反向运算)
- √a + √b ≠ √(a + b) (常见的错误--不能在根子下加)
每个正数都有两个平方根: +√x和 -√x. 主平方根函数√x只返回正根. 例如,使用主平方根符号时,√9 = 3 (而不是 +/-3). 负数没有实平方根 - - √(-4) = 2i,进入复数系统.
完美的正方形参考表
记住从1到25的正方形对于心智数学,估计平方根和简化代数中的根非常有用:
| n | n² | √(n2) = n | n | n² | √(n2) = n |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 11 | 一百二十一 | 11 |
| 2 | 4 | 2 | 12 | 美国 | 12 |
| 3 | 9 | 3 | 13 | 一百九十六 | 13 |
| 4 | 16 | 4 | 14 | 一九六 | 14 |
| 5 | 25 | 5 | 15 | 其他 | 15 |
| 6 | 36 | 6 | 16 | 美国 | 16 |
| 7 | 49 | 7 | 17 | 其他 | 17 |
| 8 | 64 | 8 | 18 | 三百二十四 | 18 |
| 9 | 81 | 9 | 20 | 其他 | 20 |
| 10 | 一百个 | 10 | 25 | 625 年 | 25 |
知道这些正方形立即告诉你,√50在√49=7和√64=8之间,使7.07成为一个合理的第一个猜测. √200 = √(100 x 2) = 10√2 ~ 14.14. 完美的正方形知识也有助于简化表达式,如√72 = √(36 x 2) = 6√2.
如何在没有计算器的情况下估计平方根
在巴比伦方法(也称为牛顿平方根的方法) 是一个古老的 代算法,用于近似√N,它非常快速地收 :
算法:从初始猜测x0开始.重复:xn+1 = (xn + N/xn) ÷ 2.继续直到达到所需的精度.
例如: √50
- 最初的猜测:x0 = 7 (因为√49 = 7,接近√50)
- x1 = (7 + 50/7) ÷ 2 = (7 + 7.1429) ÷ 2 = 7.0714 这样一来,
- x2 = (7.0714 + 50/7.0714) ÷ 2 = (7.0714 + 7.0711) ÷ 2 = 7.07107
- x3汇聚到√50~七百七十七-- 已经准确到5个小数位
巴比伦方法每次 代都会使正确数字的数量增加一倍 - - 这是一种称为二次融合的属性,使其极其高效.它在公元前1800年被巴比伦数学家所知,并出现在陶板上作为√2的近似算法.
快速线性插入方法:对于√50,请注意72 = 49和82 = 64. √50 ~ 7 + (50 - 49) / 64 - 49) = 7 + 1/15 ~ 7.07. 这在一个步骤中给出了一个不错的2-3位近似值.更好的方法: 7 + (50 - 49) / 2 x 7) = 7 + 1/14 ~ 7.071 (使用微分近似值√(N + δ) ~ √N + δ/(2√N)).
简化基数:寻找精确的形式
当一个数不是一个完整的平方时,它的平方根通常可以通过分解完整的平方来简化. 这给出了一个确切的形式 (而不是十进制近似):
程序:然后取根除根之外的那些因子的平方根.
| 表达方式 | 分数式形式 | 简化的 | 十进制近似 |
|---|---|---|---|
| √8 | √4 × 2 | 2√2 | ~ 2.828 年 |
| √12 | √(4 × 3) 没有 | 2√3 | ~ 3.464 年 |
| √18 | √9 × 2 | 3√2 | ~ 4.243 年 |
| √20 | √(4 × 5) 没有 | 2√5 | ~ 4.472 年 |
| √45 | √9 × 5) | 3√5 | ~ 6.708 年 |
| √72 | √(36 x 2) 在 | 6√2 | ~ 8.485 年 |
| √98 | √{49 x 2} | 7平方 | ~ 9.899 年 |
| √200 | √100 × 2) √100 × 2) √100 × 2) | 10平方 | ~14142 年 |
简化的形式 (例如,6√2) 在代数中是首选的,因为它是精确的,并保持表达式的简单性.小数近似引入圆形错误,使符号操作更困难.当添加根数时:您只能组合"像根数" (相同的根数):3√2 + 5√2 = 8√2,但3√2 + 5√3不能进一步简化.
几何中的平方根和毕达哥拉斯定理
每当运用毕达哥拉斯定理时,平方根自然出现:a2 + b2 = c2. 解决对角或腿始终涉及平方根.
常见的毕达哥拉斯三位数(整数解,不需要平方根):
| a | b | c = √(a2+b2) 在 | 背景情况 |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 经典;用于确保直角的建筑 |
| 5 | 12 | 13 | 在几何问题中常见 |
| 8 | 15 | 17 | 不常见但确切 |
| 7 | 24 | 25 | 用于25个单位的问题 |
| 6 | 8 | 10 | 这就是我们所说的. |
| 20 | 21 | 29 | 高度竞争 |
毕达哥拉定理的现实应用:
- 导航:一个跑者从起跑点向东走3公里,向北走4公里, √(9+16) = 5公里.
- 屏幕大小:一个具有16:9比例和55英寸对角的电视宽度=55 x 16/√(162+92) =55 x 16/18.36~47.9英寸,高度~26.9英寸
- 距离公式:坐标 (x1,y1) 和 (x2,y2) 之间的GPS距离 = √((x2-x1) 2 + (y2-y1) 2)
- 电气工程:阻抗 Z = √(R2 + X2) 其中 R 是电阻,X 是反应电阻
立方根和高阶根
平方根是第n根的一个特殊情况.立方根( x) 给出一个值y,使得y3=x.较高的根被表示为n√x或x^(1/n).
关键的立方根:
- 1 = 1; 8 = 2; 27 = 3; 64 = 4; 125 = 5; 216 = 6; 1000 = 10
- 2 ~ 1.2599; 3 ~ 1.4422; 5 ~ 1.7100
不同于平方根,负数的立方根是实数: (-8) = -2 因为 (-2) 3 = -8. 这是因为立方的偶数和奇数的表征行为不同.
第四根(4√x = (x^(1/2)) ^(1/2)): 4√16 = 2; 4√81 = 3; 4√256 = 4. 第四根可以计算为平方根的平方根.
应用:
- 财政问题:4 年复合年增长率 (CAGR):CAGR = (最终/初始) ^(1/4) - 1. 如果投资在 4 年内从 100 美元增长到 200 美元:CAGR = (200/100) ^(0.25) - 1 = 2^0.25 - 1 = 1.1892 - 1 = 18.92%
- 物理:来自行星的逃生速度v = √(2GM/r) 使用平方根; 施瓦茨柴尔德半径r = 2GM/c2不使用根,但轨道周期T r^(3/2) 使用分数权
- 几何学:一个球体的体积: r = (3V/4π) 需要立方根来从体积中找到半径
不理数和根本数
大多数平方根都是非理数 -- 它们的十进制扩展既不结束也不重复, 也不能用两个整数的分数来表示.
√2的非理性被古希腊人 (归因于毕达哥拉斯学派) 通过矛盾证明证明:假设√2=p/q在最低条件下,然后p2=2q2,这意味着p2是偶数,所以p是偶数 (p=2k),给出 (2k) 2=2q2 -> q2=2k2 -> q也是偶数,这与p/q在最低条件下的假设相矛盾.
关键非理根的十进制扩展:
- √2=1.41421356237309504880168872420969807856967187537694... √2=1.41421356237309504880168872420969807856967187537694...
- √3=1.73205080756887729352744634150587236694280525381038... √3=1.73205080756887729352744634150587236694280525381038...
- √5 = 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152... √5 = 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152... √5 = 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152...
- √7=2.64575131106459059050161575667572514151032065870077... √7=2.64575131106459059050161575667572514151032065870077...
√4 = 2 (理数), √9 = 3 (理数),但 √(4.41) = 2.1 (理数!因为 4.41 = (2.1) 2 = 21/10平方 = 441/100). 关键的洞察: √(p/q) 是理数,当分数和分母都是正方形时.
人们常问的问题
2的平方根是多少?
√2~1.41421356...它是非理数 - - 它的小数从来没有结束或重复.它在几何中显示为正方形对角线与边长的比.它是古希腊数学家证明的第一个非理数.
一个负数的平方根是多少?
负数的实平方根在实数系统中不存在.在复杂数学中,√(-1) = i (虚单位). √(-4) = 2i.它们在电气工程 (交流电路),量子力学和信号处理中具有实际应用.
如何简化√72?
分数最大的正方形: 72 = 36 x 2. √72 = √(36 x 2) = √36 x √2 = 6√2. 十进制: 6 x 1.41421 ~ 8.485.
0的平方根是多少?
√0 = 0. 零是一个完美的平方 (02 = 0),其平方根是唯一的0. 零是唯一的平方根等于自身的数字 (除了1,因为12=1和√1=1).
2的平方根是1.41421吗?
没有 - √2 = 1.41421356...是无限不重复的小数的非理数. 1.41421是精确到+/-0.000003的5个小数近似值. 确切的值不能用有限的小数或分数来写,只能用符号√2.
如何找到分数的平方根?
运用分数属性: √(a/b) = √a ÷ √b. 例: √(1/4) = √1/√4 = 1/2 = 0.5; √(9/25) = 3/5 = 0.6; √(3/4) = √3/2 ~ 0.866. 为了使一个分数具有合理平方根,分数和分母都必须是正方形.
平方根和立方根的区别是什么?
平方根 (√x) 在 y2 = x 处找到 y.立方根 ( x) 在 y3 = x 处找到 y.关键区别:负数的平方根不是实数,但负数的立方根是实数 ( (-8) = -2).第四根和更高的偶根表现得像平方根一样;奇数根 (第3,第5,第7...) 总是为任何实数输入产生实数结果.
如何在没有计算器的情况下计算50的√?
方法1 (简化): √50 = √(25 x 2) = 5√2 ~ 5 x 1.414 = 7.07. 方法2 (巴比伦):猜 7, 代: (7 + 50/7) / 2 = (7 + 7.143) / 2 = 7.071. 两者都给出了 √50 ~ 7.07107.
为什么√ (a+b) ≠√ (a+b)?
这是一个常见的代数错误. 两边的平方揭示了错误: (√a + √b) 2 = a + 2√(ab) + b ≠ a + b 除非 √(ab) = 0. 例如: √(9 + 16) = √25 = 5,但 √9 + √16 = 3 + 4 = 7 ≠ 5. 你不能在加法上分割平方根 - 只有在乘法和除法上.
一个大数字的平方根是多少?
√1,000,000 = 1,000. 一般规则: √(10^n) = 10^(n/2). 对于10的偶次数: √102 = 10; √104 = 100; √106 = 1,000; √108 = 10,000. 对于奇数: √101 = √10 ~ 3.162; √103 = 10√10 ~ 31.62. 一个有n个数字的数,有一个有 n/2 个数字的平方根.
统计和科学中的平方根
平方根在统计学和科学中出现,通常在公式中涉及测量传播,距离或不确定性.识别这些外观有助于您将平方根计算器应用于基本算术之外的现实问题.
标准偏差:标准偏差是从平均值的平均平方偏差的平方根.采用平方根将测量带回与原始数据相同的单位 - 如果高度是厘米,则偏差是厘米2,标准偏差是厘米.跑步者的步伐变化可能有9 (秒/公里) 2的偏差,因此标准偏差为√9 = 3秒/公里.
中等平方根 (RMS):RMS = √(平方的平均值) 在物理学和工程中用于测量不同数量的有效大小.交流电压以RMS表示: "120V交流"插座的峰值电压为120 x √2 ~ 170 V,但RMS值 (120V) 代表电力输送的等价直流电压.声压水平,振动大小和信号噪声都通常以RMS值表示.
不确定性传播:当结合独立的测量不确定性时,合并的不确定性=√(σ12 + σ22).如果GPS测量距离的不确定性为+/-5m,而计时器测量时间的不确定性为+/-0.5s,则合并的速度不确定性取决于分数不确定性的平方根的总和.
量子力学:海森伯格不确定性原理涉及平方根: Δx x Δp >= ħ/2. 量子粒子的波函数涉及复杂的平方根和指数. 在某个位置找到一个粒子的概率是 20πx2 (波函数大小的平方),位置的不确定性涉及√ (x2 - x 2) - 位置概率分布的标准偏差.