圆 体积计算器
通过输入半径和高度来计算圆 的体积,斜率高度和表面积. 立即的几何结果. 免费的数学计算器,无需注册.
圆 公式:体积,斜坡高度和表面积
圆 是一个三维固体,有一个圆形的底部和一个单一的顶点 (点) 直接在右圆 的底部中心上方.主要测量:半径 (r)的基础,高度 (h)从底部到顶部 (垂直),以及倾斜高度 (l)从顶点到基圆上的任何点.
斜坡高度:l = √(r2 + h2) 根据毕达哥拉定理.半径,高度和倾斜高度形成一个直角三角形,其中l是斜边.
时间:V = (1/3) πr2h. 圆柱体的体积正好是三分之一. 如果从一个圆 倒入一个尺寸相同的圆柱体,它将填满正好三分之一.
侧面面积:A_lateral = πrl. 这仅仅是 曲的侧面 (而不是底面) 的面积.直观地:展开侧面,你会得到一个半径为 l,弧长为 2πr 的圆的部门.
总面积:A_total = πrl + πr2 = πr(l + r).第一项是侧面积;第二项是底面积.
容积的1/3系数不是任意的 - 微积分证实了这一点:V = ∫0h π(rz/h) 2 dz = πr2/h2 x h3/3 = πr2h/3.在高度z时,圆 的圆形截面半径为rxz/h (从顶点0到底部r的线性缩放).将这些圆形切片从0到h整合起来,得到了精确的1/3结果.
圆 计算示例和参考表
各个维度的常见圆 计算.所有值使用π = 3.14159265.
| 半径 (r) | 高度 (h) | 斜坡高度 (l) | 总量 | 侧面区域 | 总面积 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 一,四十四 | 一千四十七 | 4.443 年 | 7.584 年 |
| 3 | 4 | 五千个 | 37.699 年 | 47.124 年 | 七十五三九八 |
| 4 | 9 | 9,849 年 | 一百五十七九六 | 123.840 年 | 173.994 年 |
| 5 | 12 | 一万三千 | 314.159 年 | 204.204 年 | 282.743 年 |
| 6 | 8 | 一万 | 301.593 年 | 一百八十八496 | 301.593 年 |
| 7 | 24 | 一万五千 | 一百三十一一四 | 549.779 年 | 703.717 其他 |
| 10 | 10 | 14.142 其他 | 1047.198 年 | 444.288 年 | 758.447 年 |
| 10 | 30 | 三十六23 | 3141.593 其他 | 993.459 年 | 1307.623 其他 |
3-4-5直角三角形 (r=3,h=4,l=5) 是一个经典的例子 - 具有这些维度的圆 具有完全整数倾斜高度.同样,r=6,h=8,l=10 是一个由2缩小的3-4-5三角形.在设计圆 形组件时,选择构成毕达哥拉斯三倍的维度简化了计算.
圆 的类型和相关形状
了解不同类型的圆 和相关的固体, 扩大你解决现实世界几何问题的能力.
A 右 形(标准类型) 的顶点直接在底部的中心上方.所有倾斜的高度都是相同的.我们的计算器假定一个直角 .
An 斜圆形有一个位移的顶点 - 不直接在中心上方. 侧面是不对称的. 根据卡瓦利利的原理,体积仍然是 (1/3) πr2h (其中h是垂直的高度),但侧面面积计算变得更加复杂.
A 截断的圆 (frustum)是一个圆 ,其顶部被平面平行切断,留下两个半径为 R (底) 和 r (顶) 的平行圆面.体积 = (πh/3) ((R2 + Rr + r2).斜率高度 = √ ((h2 + (R-r) 2).侧面面积 = π ((R+r) l.常见的形状:桶,杯子,漏斗,花盆,扬声器柜.
A 双圆 (双圆 )是两个在底部连接的圆 .体积 = 2 x (1/3) πr2h = (2/3) πr2h.沙 时钟形状大致为双圆形.旋转顶部和某些飞机鼻子形状使用双圆形几何.
体体积公式 (πh/3) ((R2 + Rr + r2) 出现在古埃及莫斯科古卷 (公元前1850年) - 第14题计算了具有特定尺寸的 体积.这是古代最显著的数学成就之一:4000年前精确计算了复杂的3D体积.
在工程,设计和自然界中的圆
圆 形状出现在工程和自然界的功能和数学原因中.在真实物体中识别圆 形状有助于您适当地应用公式.
交通 :一个半径为15厘米,高度为70厘米的交通 体积= (1/3) π ((0.15) 2 ((0.70) ~ 0.0165 m3 = 16.5 升.了解体积有助于制造商确定材料使用量和重量.
冰 淋 :一个标准的蛋糕圆 大约是冰块 (从下到上稍微缩小,底部关闭).一个半径为5厘米的底部,高度为12厘米的圆 可以容纳V = (1/3)π(5)2(12) ~ 314厘米3 = 314毫升的冰 淋.双 scoop意味着双倍以上的美味.
道和 :对于谷物,沙子或粉末的工业 管是倒置的 管.体积计算确定容量;倾斜角度必须超过材料的静止角度以确保自由流动.对于干燥的沙子 (静止角度~35度), 半角必须超过35度,这意味着h/r<1/{tan}35度~1.43.
导弹和飞机的鼻孔:火箭或超音速飞机的鼻子采用 形 (或 形) 形状,以最大限度地降低空气动力学阻力.在超音速时, 形鼻子会产生斜冲击波,并留在尖端,减少阻力.最佳的 半角取决于马赫数 - - 通常为巡航导弹的7 - 15度.
扬声器 :扬声器隔膜是圆 形的,以提高刚性和定向频率响应.圆 的角度和材料会影响它在不同频率下如何辐射声音.较大的超声波圆 (直径25-38厘米) 复制低频;小的推特圆 处理高频.
天然 :火山灰 形成时, 岩碎片积聚在通风口周围,形成几乎完美的直角 形状.松散的火山材料的休息角度 (~30 - 35度) 决定了 的斜率. 富士山大约是 形的,底半径~25公里,高度3.776公里. 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩 岩
圆 体积和几何中的三分之一法则
1/3规则适用于所有金字塔和圆 ,不论底座的形状如何:体积= (1/3) x底座面积 x高度.这是基本几何学中最优雅的概括之一.
方形金字塔:V = (1/3) s2h. 矩形金字塔:V = (1/3) lwh. 三角金字塔 (四面体):V = (1/3) x 底三角形面积 x h. 正规多边形金字塔:V = (1/3) x 正规多边形面积 x h. 右 :V = (1/3) πr2 x h (圆是无限边的正规多边形的极限情况).
阿基米德证明,一个刻在圆柱体中的球体的体积恰好是圆柱体的2/3 ,并且在同一个圆柱体中刻入的圆 体积是1/3.所以球体=2x圆 (相同的基圆和高度等于直径).阿基米德对这一结果感到骄傲,他要求在他的坟墓上雕刻一个圆柱体中的球体.
卡瓦利里原理证明了1/3规则:两个固体具有相同的体积,如果每个水平截面切片在相同的高度具有相同的面积.对于高度h和底半径R的圆 :在高度z上,半径是R (h-z) /h,得到截面积π R2 (h-z) /h2.具有适当的底座的金字塔也与高度成正方形,得到相同的体积公式.
对更高的维度的优雅概括:一个n维的简体体有体积 (1/n!) x底^(n-1) x高度 (大约).在3D中: 1/3! = 1/6对于四面体的特定公式,但金字塔结果1/3来自略有不同的导数.1/n!因子出现在超金字塔的n维体积公式中.
圆 作为圆 截面:全景
圆 不仅仅是几何实体--它们是数学中最重要的曲线的来源. 四个圆 截面由一个双圆 与一个平面以不同的角度相交而产生的:
| 圆 截面 | 平面定向 | 方程形式 | 应用 |
|---|---|---|---|
| 一个圆 | 垂直于轴 | x2 + y2 = r2 | 轮子, 轮,轨道 |
| 圆 | 倾斜但不碰触的发电机 | x2/a2 + y2/b2 = 1 这样就没有问题了. | 行星轨道, 圆镜 |
| 抛物线 | 与一个发电机线平行 | y = ax2 | 弹道轨道,卫星天线 |
| 过度表达 | 切断两个尿布 ( 的角度) | x2/a2 - y2/b2 = 1 | 冷却塔,导航系统 |
抛物线反射器将并行传入的射线聚焦到一个点 (焦点) - - 用于卫星天线,射电望远镜,汽车前灯和太阳能 度器.抛物线方程y = x2/(4f) 确定了给定的焦距f的形状.像阿雷西博这样的大型射电望远镜 (在崩 之前) 使用了带有主动 料校正的球形近似.圆 截面以非常优雅的方式将圆 的几何与光学,轨道力学和声学的物理统一起来.
行星轨道是以太阳为焦点的 圆 (开普勒第一定律,1609年). 圆的偏心决定了它的长度:圆为0,高度延长的 圆接近1 .地球轨道的偏心为0.017 (几乎是圆形);哈雷彗星的偏心为0.967 (非常延长).
人们常问的问题
为什么一个圆 的体积是圆柱体的1/3?
一个圆 和一个圆柱体具有相同的底部和高度:如果你用水填满圆 并将其倒入圆柱体中,你将填满正确的1/3. 这可以通过微积分 (圆切片的整合) 或通过实验证明. 三个圆 填满一个圆柱体 - - 结果阿基米德在2,200多年前通过几何证明.
什么是斜率的高度,我如何找到它?
斜率高度 (l) 是从顶点到基边的任何点的距离,沿侧面测量. 由毕达哥拉斯: l = √(r2 + h2). 对于具有 r = 3, h = 4: l = √(9+16) = √25 = 5 的圆 ,斜率高度是半径,高度和侧边形成的直角三角形的斜面.
什么是 ?
体是一个截断的 体 - - 当 体被平面平行切割时留下的形状.水桶,饮用杯和花 是常见的 体形状.体积 = (πh/3) ((R2 + Rr + r2) 其中R和r是底部和顶部半径,h是高度.侧面面积 = π ((R+r) l 其中l = √ ((h2 + (R-r) 2).
我如何计算一个冰 淋 的体积?
测量圆 的底半径r和高度h.体积 = (1/3) πr2h.对于半径3厘米和高度12厘米的圆 :V = (1/3) x π x 9 x 12 ~ 113.1 cm3 (mL).注意:冰 淋所在的圆 边缘是更宽的顶部,因此吃饭时尖端处于底部.
休息角度是什么? 它与圆 有什么关系?
静止角度是松散物质 (沙子,谷物,雪) 保持稳定的最大斜率. 在这种角度形成自然的 形物质堆. 沙子 (~35度):自然的堆是 的 . 雪 (~60度湿时,~35度干). 这一原理用于 设计 - - 的角度必须超过材料的静止角度以实现自由流动.
什么是表面积公式,我什么时候需要它?
总表面积 = πrl + πr2 = πr(l + r),其中 l = 倾斜高度 = √(r2 + h2).第一项 (πrl) 是侧面 (曲面) 表面;第二项 (πr2) 是圆形底部.当计算制造圆 所需的材料时,您需要总表面积 (例如,漏斗的金属板,帽子的织物,交通圆 的油漆).
斜 的体积公式是相同的吗?
是的 - V = (1/3) πr2h,其中h是垂直的高度 (而不是斜的高度).这是卡瓦利里原理证明的:对于任何水平切割的高度z,斜 的截面面积与相应的右 的截面面积相同.所有高度的截面均等意味着相同的体积.
如何在不同的单位中转换圆 体积?
由于体积=长3 ,转换需要立方线性转换因子.如果半径和高度是厘米,体积是厘米3=毫升.将厘米3转换为升,除以1000.将其转换为m3,除以1,000,000 (因为1米=100厘米,1米3=106厘米3).将其转换为立方英寸,1英寸=2.54厘米,因此1英寸3=16.387厘米3.
一个圆 和一个球之间的关系是什么?
对于一个刻在球体中的圆 (底部触及赤道,顶部):高度h=2r (球体的直径),底半径=r (球体半径).对于一个有相同底部和高度的圆 和圆柱体:球体体积=2x圆 体积,圆柱体=3x圆柱体.阿基米德证明:球体=2/3x圆柱体 (他最自豪的结果之一).
如何在3D打印中使用圆 ?
在3D打印 (FDM) 中, 形支 通常用于支 悬浮的特征.切片软件计算支 材料的体积 (大约是 形 ) 以估计材料使用和打印时间. 形几何学也出现在钻头,线程 缩器 (NPT管线程是 形而不是圆柱形) 和 形切割中.