指数计算器 - 权力和指数
这个免费的在线数学计算器可以给你一个即时的,逐步的结果.
了解乘数和乘数
一个指数 (也称为指数或指数) 告诉你一个数字要乘以它自己多少次.一个这意味着"a乘以n"--乘以基数a的n倍.例如,2^3=2x2x2=8.基数 (2) 是被乘以的数;指数 (3) 是它在乘法中出现的次数.
随处都有指数:复合利息公式用它们来计算投资增长;科学符号使用10的权力来表示巨大的或微小的数字;计算机内存用2的权力来测量 (2^10 = 1,024字节 = 1KB);放射性衰变,人口增长和疾病传播都遵循指数式模式.
常见的特殊情况有特定的名称:a^2是"a平方" (边a的正方形的面积),a^3是"a立方" (边a的立方体体积).除了立方体之外,我们只能说"a^4","a^5",等等.
我们的计算器可以处理任何实数基数和任何实数指数, 包括负数基数,分数指数和负数指数,
指数法则 (指数规则)
乘数规则允许你简化涉及权力的表达式,而不是单独计算每一个.这些规则是代数,微积分和所有应用数学的基础.掌握它们对于任何处理涉及权力的方程的人来说都是必不可少的.
- 产品规则:当乘以相同的基数时,加上指数. 例如: 2^3 x 2^4 = 2^7 = 128.
- 分数规则:a^m ÷ a^n = a^(m-n).当除以相同的基数时,减去指数.例如: 3^5 ÷ 3^2 = 3^3 = 27.
- 一个权力的力量:(a^m) ^n = a^(mxn).当将一个数乘以一个数时,乘以指数.例如: (2^3) ^4 = 2^12 = 4,096.
- 一个产品的功率:例如: (2x3) ^4 = 2^4 x 3^4 = 16 x 81 = 1,296.
- 一个分数的权力:(a/b) ^n = a^n / b^n. 例如: (3/2) ^3 = 27/8 = 3.375.
- 零指数:a^0 = 1 对于任何 a ≠ 0. 例: 7^0 = 1. (根据惯例;从 a^n ÷ a^n = a^(n-n) = a^0 = 1 后得出的结论)
- 负指数:例如: 2^(-3) = 1/8 = 0.125.
- 分数指数:a^(1/n) = a的第n根.例如: 8^(1/3) = 8 = 2.更一般: a^(m/n) = (a) ^m的第n根.
| 规则 | 公式 | 一个例子 |
|---|---|---|
| 产品 | 这样一来, | 2^3×2^4=2^7=128 这就是我们所说的 |
| 分数 | 一个小时的时间. | 3^5 / 3^2 = 3^3 = 27 |
| 权力的力量 | (a^m) ^n = a^m) | (2^3) ^4=2^12=4,096 这样, |
| 零指数 | a^0 = 1 | 99^0等于1 |
| 负指数 | 这样一来, | 2^(-3) = 1/8 |
| 分数指数 | a^(1/n) = n√a | 27^(1/3) = 3 |
共同基础的权力:参考表
记住常见的权力可以帮助你快速估计结果. 以下是数学,计算和日常生活中最常见的权力.
| n | 2^n 在 | 3^n 在 | 在5^n | 10^n 在 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
| 2 | 4 | 9 | 25 | 一百个 |
| 3 | 8 | 27 | 一百二十五 | 一千个 |
| 4 | 16 | 81 | 625 年 | 一万 |
| 5 | 32 | 243 其他 | 三百二十五 | 一万个 |
| 8 | 美国 | 六千五百六十一 | 390,625 年 | 一亿万 |
| 10 | 1,024人 | 59,049 年 | 9,765,625 年 | 一万亿万 |
| 16 | 六万五百三十六 | — | — | — |
| 20 | 一百四十八五七六 | — | — | — |
2的次数在计算中是必不可少的: 2 ^ 10 = 1,024 ~ 1 千 (计算中的"千斤"的基础), 2 ^ 20 ~ 100 万 (兆字节), 2 ^ 30 ~ 10 亿 (千兆字节), 2 ^ 40 ~ 1 万亿 (千兆字节).近似 2 ^ 10 ~ 10 ^ 3 广泛用于快速的心理估计.
大数和科学符号
科学符号使用10的权力来紧 地表示极大和极小的数字.科学符号中的一个数字的形式是a x 10^n,其中1 <= a < 10和n是一个整数.这个符号在物理学,化学,天文学和工程学中是必不可少的,数字跨越许多数量级.
科学符号中的大数的例子:
- 光的速度:3 × 10^8米/秒 (300,000,000 m/s)
- 从地球到太阳的距离:1.496×10^11米 (149,600,000,000米)
- 可观测的宇宙直径:8.8×1026米
- 阿沃加德罗数:6.022 x 10^23 分子/mol
非常小数的例子:
- 原子半径:~1.2 x 10^(-10) 米 (0.12纳米)
- 电子的质量:9.11 × 10^(-31) 公斤
- 板的长度:1.616 × 10^(-35) 米
没有科学符号,这些数字将是不切实际的长写.科学计算器和我们的工具显示非常大或非常小的结果在科学符号,适当时,帮助您与这些数字直观地工作.
呈指数增长和衰退
指数式增长是指一个数量在每一个时间段内乘以一个恒定的因子.一般公式是:A (t) = A0 x r^t 在,其中A0是初始量,r是每个周期的增长因子 (增长时r > 1,衰退时0 < r < 1),t是周期的数量.
复合利息最常见的例子是:A = P ((1 + r/n) ^ ((nt),其中P是本金,r是年利率,n是每年复合期,t是年.这就是为什么"一分钱每天翻倍30天"在30日得到5,368,709.12美元 - - 每日复合的功率 (r = 2,t = 30).
人口增长一个人口每年增长2%的城市:P{t) =P0 x 1.02^t. 一个人口100万的城市每年增长2%的城市在约35年内达到200万 (采用70的规则:倍增时间~70 ÷增长率%).
放射性衰变是指数性衰变:N(t) =N0 x (1/2) ^(t/T1⁄2),其中T1⁄2是半衰期.碳-14的半衰期为5,730年,使有机物质的放射性碳测年可以达到大约5万年.
| 增长速度 | 翻倍时间 (70的规则) | 时间的10倍 |
|---|---|---|
| 每年 1% | ~70年 | ~230年 |
| 每年2% | ~35年 | ~115年 |
| 每年5% | ~14年 | ~47年 |
| 每年7% | ~10年 | ~33年 |
| 每年10% | ~7年 | ~23年 |
| 百分之百 (翻倍) | 一个时期 | 3.32 时间段 |
分数和负指数
分数和负指数将权力的概念扩展到整数之外,创造了一个强大的和一致的数学框架.理解这些特殊情况可以解锁它们在科学和工程公式中的频繁出现.
分数指数作为根:a^(1/2) = √a (平方根),a^(1/3) = a (立方根),a^(1/4) = 4√a (第四根).更一般地说,a^(m/n) = (n√a) ^m = n√(a^m). 例: 8^(2/3) = ( 8) ^2 = 2^2 = 4. 这种等效解释了为什么分数指数和根符号可以互换.
负指数作为对称数:负指数在物理学和化学中无处不在 - 逆平方法则 (重力,电磁) 是 F r ^ ^ - 2 ,化学中的 度通常表示为ppm (百万分之一 = 10 ^ - 6).
一般的非整数指数:对于 a > 0 和任何实数指数 x: a^x = e^(x x ln(a),其中 e 是欧勒数 (~2.71828) 和 ln 是自然对数. 这个定义将指数加值连续扩展到所有实数. 它解释了为什么您的计算器可以计算 2 ^ ((1.5) = 2 ^ 3 / ((2) = √ ((2 ^ 3) = √8 ~ 2.828 或 2 ^ π ~ 8.825.
特别基地:e,2和10
三个基础在数学中具有特殊的意义,并且在科学中不断出现:
基数10 (通用对数):10的次数构成了科学符号和我们十进制数字系统的支柱. 10^n 给出 1 后面是 n 个零. 常见的对数 (log10 或仅仅是"log") 是相反的: log10 ((1000) = 3 因为 10^3 = 1000. 用于: pH 尺度 (pH = -log10[H+]),分贝尺度 (dB = 10xlog10 ((P2/P1)),地震里希特级.
基础2 (二进制):所有数字计算都使用二进制 (基础2).二进制数字系统只使用0和1,计算机执行的每个计算最终都是位数运算. 2 ^ n计算了用n位表示的不同值的数量 (2 ^ 8 = 256个字节的值).计算机内存大小总是2的权力.密码密钥长度 (128位,256位) 以2的权力测量安全性.
基数e (自然指数):欧勒数 e ~ 2.71828 是微积分中最重要的数学常数.函数 e^x 是它自己的导数 - - 唯一具有这种属性的函数.它出现在:复合利息 (连续复合),概率分布 (正常分布,波桑分布),量子力学中的波函数,以及著名的欧勒特征: e^{\displaystyle e^{\displaystyle e^{\displaystyle i^{\pi}}) + 1 = 0.
人们常问的问题
什么是0的0次方?
根据惯例,在大多数数学和计算环境中,特别是组合学和离散数学中,0^0=1. 这种定义使组合式变得一致 (例如,x^0=1作为多项式项). 在分析中,0^0有时被认为是不确定的形式,但在实际计算中,0^0=1.
2^3 和 3^2 的区别是什么?
2^3 = 2 x 2 x 2 = 8 (基数2,指数3). 3^2 = 3 x 3 = 9 (基数3,指数2). 乘积不是交换式的 - 基数和指数不能交换. 2^10 = 1,024但10^2 = 100,说明结果可能有多大差异.
如何在没有计算器的情况下计算大指数?
使用权力规则来分解大指数.对于2 ^ 20: 2 ^ 10 = 1,024,因此2 ^ 20 = (2 ^ 10) ^ 2 = 1,024 ^ 2 = 1,048,576.对于粗略估计,使用2 ^ 10 ~ 10 ^ 3 (标准计算近似).对于任意的大指数,对数是最实用的:log10 (a ^ n) = n x log10 (a).
负指数是什么意思?
一个负指数的意思是取相反的: a^(-n) = 1/a^n. 例: 2^(-4) = 1/2^4 = 1/16 = 0.0625. 负指数总是产生分数 (基础> 1). 在科学符号中,10^(-3) = 0.001 = 1/1000 (毫米前 ).
分数指数是什么意思?
一个分数指数表示一个根:a^(1/2) = √a,a^(1/3) = a.更一般地说,a^(m/n) = a的第n根,升到m的次数. 例: 32^(3/5) = (5√32) ^3 = 2^3 = 8. 分数指数和根符号完全可以互换.
什么是任何数的结果0的权?
提高到0的任何非零数等于1: a^0 = 1 对于 a ≠ 0. 这从分数规则中得出: a^n / a^n = a^(n-n) = a^0,并且显然 a^n / a^n = 1. 例: 5^0 = 1, 100^0 = 1, (-7) ^0 = 1, π^0 = 1.
在现实生活中指数是什么?
指数出现在:复合利息 (A = P(1+r) ^ n),人口增长,放射性衰变,地震强度 (里赫特级),声音强度 (分贝),酸/ 的pH,计算机存储 (2^10字节 = 1 KB) 和病毒传播模型中.任何在相同时间段内乘以常数倍,减半或乘以常数的数量都涉及指数.
什么是非理数指数?
你可以将一个数字提升到任何实数指数,包括非理数指数.例如,2^√2 ~ 2^1.41421 ~ 2.665.结果是通过a^x = e^(x ln a计算的.这适用于任何a>0和任何实数x.非理数指数在微积分中出现,并出现在一些物理定律中.
指数式增长与线性增长有何不同?
线性增长每期增加一个恒定的数量 (y = mx + b).指数增长乘以一个每期恒定的数量 (y = a x r^t).最初,线性增长可以超过指数增长 (如果增长因子很小).但指数增长总是最终和永久超越任何线性函数 - 这就是为什么"指数增长"是爆炸性快速增长的同义词.
指数和对数之间的关系是什么?
逻辑是指数的逆数:如果a^n = x,那么log_a(x) = n. 例: 2^10 = 1,024 -> log_2(1,024) = 10. 常见的逻辑 (log) 使用基数 10;自然的逻辑 (ln) 使用基数 e. 逻辑将乘法关系转换为加法关系,使它们对于处理指数数据 (幻灯片规则,逻辑尺度图,分贝,pH) 非常有价值.
金融指数:复合利率和投资增长
对于大多数人来说,指数最有形的应用是复合利息随着时间的推移,投资和债务的成倍增长. 了解数学可以帮助你做出更好的财务决策,
复利公式:A = P{1+r/n) ^{nt) 在,其中P是本金,r是年利率 (十进制),n是每年的复合期,t是年中的时间.指数是nt - 复合期的总数.对于10,000美元的7%年回报,每年复合30年:A = 10,000 x (1.07) ^30 = 10,000 x 7.612 = 76,123美元.指数30将10,000美元变成近76,000美元 - 完全来自复合利息的7.6x乘数.
在72的规则这是一个心理估计的快捷方式:将72除以利率,以获得近似的翻倍时间.在7%时:72/7~10.3年翻倍.在10%时:7.2年.在4%时:18年.这个规则是有效的,因为ln(2) ~0.693和小r的近似 ln(1+r) ~r给出了翻倍时间~0.693/r~69.3/r.因数72 (略高于69.3) 补偿了典型利率的近似误差.
复合频率效应:每年 (n=1):$32,251;每月 (n=12):$33,003;每天 (n=365):$33,194;连续 (e^(rt)):$33,201.每日和连续的复合产生几乎相同的结果,这就是为什么连续的复合 (e^(rt) 是金融理论中的标准,尽管在实践中是离散的复合.