指数計算機 - 累乗と指数

指数と累乗の基本

指数は、底を何回掛け合わせるかを表します。a^n は「a の n 乗」を意味します。たとえば 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 です。

指数は複利、科学的記数法、コンピューターの記憶容量、人口増加、放射性崩壊などで使われます。この計算機は実数の底と、正・負・分数の指数を扱えます。

指数法則

指数法則を使うと、累乗を含む式を効率よく整理できます。

• 積の法則: a^m × a^n = a^(m+n)。例: 2^3 × 2^4 = 2^7 = 128。
• 商の法則: a^m ÷ a^n = a^(m−n)。例: 3^5 ÷ 3^2 = 3^3 = 27。
• 累乗の累乗: (a^m)^n = a^(m×n)。例: (2^3)^4 = 2^12 = 4,096。
• 0 乗: a^0 = 1（a ≠ 0）。
• 負の指数: a^(−n) = 1/a^n。例: 2^(−3) = 1/8。
• 分数指数: a^(1/n) は a の n 乗根を表します。

よく使う底と科学的記数法

2 の累乗はコンピューターで重要です。2^10 = 1,024、2^20 ≈ 100 万、2^30 ≈ 10 億、2^40 ≈ 1 兆です。2^10 ≈ 10^3 という近似は暗算にも役立ちます。

科学的記数法は、非常に大きい数や小さい数を a × 10^n の形で表します。ここで 1 ≤ a < 10、n は整数です。

• 光速: 3 × 10^8 m/s。
• 地球から太陽までの距離: 1.496 × 10^11 m。
• 電子の質量: 9.11 × 10^(−31) kg。

指数関数的な増加・減少と金融

指数関数的成長は、各期間で一定の倍率を掛ける変化です。一般形は A(t) = A₀ × r^t です。0 < r < 1 の場合は減少を表します。

金融では 複利 が代表例です。式は A = P(1 + r/n)^(nt) で、nt は複利計算の総回数を表します。

72 の法則 は倍になるまでの時間を見積もる方法です。72 を年利で割ると、おおよその年数が得られます。

分数指数・負の指数・特別な底

分数指数は根を表します。a^(1/2) = √a、a^(1/3) = ∛a、一般に a^(m/n) = (ⁿ√a)^m です。

負の指数は逆数を表します。a^(−n) = 1/a^n です。正の底では a^x = e^(x × ln(a)) と定義できます。

底 10 は科学的記数法、底 2 は二進法、底 e ≈ 2.71828 は微積分や連続的な成長モデルで特に重要です。