圆形计算器
从半径计算圆的面积,周长和直径. 立即用公式得到结果. 免费的数学计算器. 立即得到结果.
圆的公式:面积,周长和直径
一个圆是从单个中心点同等距离的平面上的所有点的集合.半径 (r)在直径 (d)是半径的两倍:d=2r.一个圆的三个主要测量 - 面积,周长和直径 - 都通过数学常数 π (pi) ~ 3.14159265358979 相关.
地区:A = πr2 -- 圈内封闭的空间,用平方单位测量.对于半径为5厘米的圆:A = π x 25 ~ 78.54厘米2.
周长:C = 2πr = πd - 圆周周或圆周周的总距离.半径为5厘米:C = 2π x 5 ~ 31.42厘米.
的直径:在半径为5厘米的情况下, d=10厘米.
如果您知道任何一个测量,您可以找到所有其他测量. 给定周长C: r = C/(2π),d = C/π,A = C2/(4π. 给定面积A: r = √(A/π),d = 2√(A/π),C = 2√(πA. 这些关系使圆的计算简单,一旦您有任何一个测量.
π是一个非理数,超越数 - - 它的十进制扩展永远不会重复或结束: 3.14159265358979323846...对于大多数工程计算,使用 π ~ 3.14159 (5个十进制位) 给出准确到 5 个显著数字的结果.我们的计算器使用 JavaScript 的 Math.PI = 3.141592653589793,准确到 15 - 16 个十进制位.
圆圈测量快速参考表
标准半径的常见圆圈测量.使用这些作为快速参考和验证您的计算.
| 半径 (r) | 直径 (d) | 周长 (C) | 区域 (A) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 6.2832 其他 | 3.1416 年 |
| 2 | 4 | 12.5664 年 | 12.5664 年 |
| 3 | 6 | 18.8496 年 | 28.2743 年 |
| 4 | 8 | 美国 | 50.2655 年 |
| 5 | 10 | 31.4159 年 | 七八五三九八 |
| 7 | 14 | 43.9823 年 | 153.9380 年 |
| 10 | 20 | 62.8318 年 | 314.1593 年 |
| 15 | 30 | 94.2478 年 | 706.8583 年 |
| 20 | 40 | 125.6637 年 | 1256.6371 年 |
| 50 | 一百个 | 314.1593 年 | 7853.9816 年 |
| 一百个 | 在200 | 628.3185 其他 | 31415.9265 年 |
请注意,面积与半径 (A r2) 平方增长,而周长与线性增长 (C r).半径的翻倍使面积增加了四倍,但只有周长的翻倍.这就是为什么大圆形容器随着半径的增加而变得显著更具体积效率.
部门,弧形和部分圆形
一个圆可以被划分为部分区域,它们有自己的测量.理解这些关系对于涉及弧,部门和段的问题至关重要.
A 一个部门是一个以中心角 θ 定义的圆的"蛋糕片". 对于 θ 以度: 部门面积 = (θ/360) x πr2. 弧度长度 = (θ/360) x 2πr. 对于 θ 以半径: 部门面积 = 1⁄2r2θ. 弧度长度 = rθ. 一个四分之一圆的部门 (θ = 90度) 的面积是 πr2/4 和弧度长度是 πr/2.
A 分段是弦与其弧之间的区域. 段面积 = 部门面积 - 三角形面积. 对于中心角 θ (以半径): 段面积 = 1⁄2r2 ((θ - sin θ).
A 一个和弦是圆上两端的任意线段.从中心到长度为 c 的弦的垂直距离为 d = √(r2 - c2/4 .反过来,距离中心的弦长度为 c = 2√(r2 - d2).最长的弦是直径 (距离中心为 0).
| 中心角 | 圆的分数 | 弧长 (r=1) | 部门面积 (r=1) |
|---|---|---|---|
| 30度 (π/6rad) | 一十二分之一 | 0.5236 年 | 0.2618 年 |
| 45度 (π/4rad) | 一八分之一 | 0.7854 年 | 0.3927 年 |
| 60度 (π/3 rad) | 一半 | 1.0472 年 | 0.5236 年 |
| 90度 (π/2 rad) | 四分之一 | 1.5708 年 | 0.7854 年 |
| 120度 (2π/3rad) | 三分之一 | 2,0944 年 | 1.0472 年 |
| 180度 (π rad) | 一半 | 3.1416 年 | 1.5708 年 |
| 270度 (3π/2rad) | 三分之四 | 4.7124 其他 | 2.3562 年 |
| 360度 (2π rad) | 1 | 6.2832 其他 | 3.1416 年 |
半径是圆的自然角单位.当弧长等于半径时,一个半径是下拉角.这个定义使弧长=rθ精致简单. 2π半径=360度,所以1半径~57.296度.微积分,物理学和工程几乎完全使用半径,因为sin和cos的导数仅在半径中是干净的:d/dx(sin x) = cos x (而不是 (π/180) cos x,因为它是度).
在现实世界应用中的圆圈
圆形是工程,制造,建筑和日常生活中最常见的形状之一.了解圆形几何学可以在无数应用中进行准确的测量和设计.
管道和气瓶:管道直径决定流量 (与r成比例). 管道直径翻倍使流量增加四倍,而不是翻倍. 这就是为什么从2英寸升级到4英寸水道大幅增加流量. 圆形管道的截面面积 = πr2 = πd2/4.
轮子和 轮: 轮比=牙数比=半径比.一个半径为3厘米的驱动 轮转动一个半径为9厘米的驱动 轮将减速3倍,但将扭矩乘以3倍.车轮周长决定了每转的距离:一个直径为700c的自行车轮 (约622毫米的轮圈 + 轮胎) 的周长约为2096毫米,因此自行车每踏车轮转行驶约2.1米.
建筑中的圆圈:圆柱, 门,圆顶和圆圈需要圆形几何.直径为60厘米的圆形窗户面积为π x 302 ~ 2,827厘米.所需的玻璃数量, 长和热计算都使用圆形公式.
灌 和农业:中枢枢纽灌 系统从卫星图像中可见的圆形田地. 400 m 臂半径的系统每枢纽灌 π x 4002 ~ 502,655 m2 ~ 50.3 公 . 计算覆盖面积和供水率需要圆形面积公式.
声音和光线:声音强度和光强度都随着距离源的平方而下降 (反正方法则),因为能量分布在膨胀球的表面面积上.在距离r时,声音覆盖面积为4πr2.双倍的距离将强度降至1/4 - 6dB的下降.这支 了音乐厅和麦克风放置的声学设计.
数学中的圆:单位圆和三角学
单位圆 (半径=1,中心在原点) 是所有三角学的基础.对于从正 x 轴反向时针方向测量的角 θ,单位圆上的点是 (cos θ, sin θ).这定义了正弦和共弦的所有角度,正弦和负弦,扩展了直角三角形的定义超过 90 度.
要记住的关键单位圆坐标:
| 角度 (度) | 角度 (半径) | 没有 | 没有 | 这样 |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 三十度 | 其他 | √3/2 ~ 0.866 | 一半=0.5 | 1/√3 ~ 0.577 |
| 在45度 | 其他 | √2/2 ~ 0.707 | √2/2 ~ 0.707 | 1 |
| 在60度 | 其他 | 一半=0.5 | √3/2 ~ 0.866 | √3 ~ 1.732 |
| 在 90 度 | 其他 | 0 | 1 | 没有定义 |
| 在180度 | π | -1 | 0 | 0 |
| 在270度 | 3π/2 | 0 | -1 | 没有定义 |
| 在360度 | 2π | 1 | 0 | 0 |
圆心 (h,k) 和半径 r 的圆的方程是 (x-h) 2 + (y-k) 2 = r2. 单位圆是 x2 + y2 = 1. 这是毕达哥拉斯等号的基础: sin2θ + cos2θ = 1 (因为 cos θ 和 sin θ 是单位圆上的 x 和 y 坐标,并且圆的半径为 1).
在高级数学中,圆形是圆 切割的特殊情况 - - 由圆 与平面交叉形成的曲线.与圆 轴垂直的平面产生圆形;倾斜的平面产生 圆;平面平行于一侧产生抛物线; 的平面产生超高线.圆 切割描述行星轨道,弹道轨迹,镜子和镜片形状以及卫星盘曲线.
π (Pi):历史,计算和有趣的事实
可以说是最著名的数学常数. 它代表了圆周与直径的比率 - - 对于任何一个圆,无论在哪里,总是完全相同的. 这种非凡的常数使得圆形几何学具有普遍性.
π的历史近似:巴比伦人 (公元前1900年) 使用25/8=3.125.埃及人 (公元前1650年) 使用 (16/9) 2~3.160.阿基米德 (公元前250年) 将π定在223/71和22/7 (~3.1429) 之间. 慧 (公元前263年) 使用3,072边的多边形计算了3.14159.朱崇志 (公元前480年) 发现355/113~3.1415929 - 精确到6个小数位.现代计算机已经计算了π超过100万亿个小数位.
22/7通常用作简单的近似: 22/7 ~ 3.142857,其误差为0.04%.对于大多数实用计算 (在+/- 0.1%内),这是足够的.对于需要更高精度的工程计算,使用3.14159 (误差:0.00001%).美国宇航局用于行星间导航使用15个小数点 - 远远超过任何工程应用.
在几何学之外,pi 存在:在欧勒公式 (e^(iπ) + 1 = 0 中,在高斯积分中 (∫e^(-x2) dx = √π),在概率分布领域,在量子力学中,以及在斯特林对因数的近似中.它的无处不在使 π 成为数学中最深刻的常数之一.
建筑和设计中的圆圈
圆形几何几千年来一直在建筑中使用,从罗马神 的眼球到现代体育场,圆形和旋转交叉点. 圆形的结构性质 - - 均 的应力分布,没有弱角 - - 使它成为圆顶, 门和压缩下的柱子的理想选择.
罗马神 (公元126年) 在圆顶顶部有一个直径8.8米的圆形眼球. 圆顶的内部直径为43.3米 - 完全等于它的高度,创建了一个完美的球体,只适合内部. 眼球面积 = π x 4.42 ~ 60.8 m2让光线进入并为350 重的混凝土圆顶提供通风.
现代体育场使用圆形或 圆形布局来最大限度地提高视线,并最大限度地减少观众和动作之间的距离.半径为100米的圆形体育场的周长为628米,座位面积为31,416平方米.建筑师计算截面以确定每个层的座位容量.
环路 (交通圈) 通过消除直角碰撞,与标志性交叉路口相比,减少了高达80%的交叉路口事故.单车道环路通常具有30-50米的 inscribed circle直径.中央岛屿直径和接近几何计算使用圆形公式,以确保适当的车辆偏移 (迫使驾驶员减速).
螺旋楼梯,螺旋坡道 (如多层停车场) 和圆形游泳池都需要圆形几何结构来进行建筑规划.半径为3米,深度为1.5米的圆形游泳池所需的混凝土总量:底面 = π x 9 ~ 28.27 m2,墙面 = 2πr x h = 2πr x 3 x 1.5 ~ 28.27 m2.总面积 ~ 56.5 m2,需要约5.65 m3的混凝土,厚度为10厘米.
时钟表,披萨切片,饼图和箭头板都使用板块几何.一个箭头落在标准箭头板的"20"段 (外径451毫米,段角=360度/20=18度) 落在弧长 (18/360) x π x 451~70.9毫米和板块面积 (18/360) x π x 225.52~7998毫米2~80厘米2的板块中.专业锦标赛规则使用圆形几何精确指定这些维度.
人们常问的问题
一个半径为10的圆的面积是多少?
面积 = π x 102 = 100π ~ 314.159 平方单位. 周长 = 2π x 10 = 20π ~ 62.832 单位. 直径 = 20 单位. 如果单位为厘米,则面积为 314.16 厘米2,周长为 62.83 厘米.
我需要多少位小数?
对于日常计算,π ~ 3.14159 (十进制位) 是足够多的.NASA用于行星间导航使用15个十进制位.世界纪录超过100万亿位,但即使对于最精确的物理实验,π的40位也是完全过度.对于大多数家庭/建筑项目,π ~ 3.14是可以的.
周长与面积有什么不同?
圆周是圆周周围的距离 (以厘米或英尺为单位的1D测量). 面积是圆圈所包围的2D空间 (以平方单位的cm2或ft2). 对于半径r: 圆周 = 2πr, 面积 = πr2. 圆周与r线性增长; 面积以二进制增长.
如何从周长计算半径?
重组 C = 2πr:r = C/(2π.对于 C = 50 cm:r = 50/(2π) = 50/6.2832 ~ 7.96 cm.直径 = 2r ~ 15.92 cm.面积 = πr2 = π x 63.4 ~ 199.1 cm2.
一个半圆的面积是多少?
一个半圆是半圆,所以它的面积是πr2/2.半圆的周长是πr (弧度) + 2r (直径) = r(π + 2).半径6:面积 = π x 36/2 ~ 56.55平方单位.周长 = 6 ((π + 2) ~ 30.85单位.
圆与 圆有什么不同?
一个圆的所有点均距离中心 (半径).一个 圆有两个"半径" (半轴a和b),其中a≠b为真 圆.圆面积=πr2; 圆面积=πab.当a=b=r时, 圆变成一个圆.行星轨道是 圆,而不是完美的圆圈 - - 尽管地球的轨道几乎是圆的 (离心率为0.017).
一个三角形的 inscribed 和 circumscribed 圆是什么?
刻字圆 (incircle) 是三角形内最大的圆,与三边触角.它的半径为 r = 面积/s,其中 s = 半周长. 刻字圆 (circumcircle) 经过所有三个顶点.它的半径 R = abc / ((4 x 面积),其中 a, b, c 是边长. 这些在三角形几何和建筑问题中使用.
为什么一个圆的最大面积为给定的周长?
这就是等比不等式:在所有具有相同周长的封闭曲线中,圆圈包围的最大面积.数学上:A <= C2/(4π),仅对圆圈而言是平等的.这就是为什么气泡形成球体 (3D相当),为什么圆块木材产生最大的木材,为什么蜂巢中的六边形细胞是有效的 (六边形在瓦 中近似于圆圈).
如何计算一个环的面积?
圆环是两个同心圆之间的区域.面积 = π(R2 - r2) = π(R+r) ((R-r) ,其中R是外半径,r是内半径.对于外半径10和内半径6:面积 = π(100-36) = 64π ~ 201.06平方单位.
一个圆的半径与直径以不同的单位之间的关系是什么?
半径和直径是长度,所以它们像任何长度单位一样转换.一个圆的r=5英寸有r=12.7厘米,d=10英寸=25.4厘米.平方英寸的面积是πx25~78.54英寸2;在cm2中它是πx161.29~506.71厘米2. 注意: 1英寸2=6.4516厘米2,和78.54×6.4516~506.71 .