Kalkulator Lingkaran
Hitung luas, keliling, dan diameter lingkaran dari jari-jari. Hasil instan dengan rumus. Kalkulator matematika gratis. Dapatkan hasil instan sekarang.
Formula-Formula Lingkaran: Luas, Keliling, dan Diameter
Lingkaran adalah setiap titik di bidang yang sama jauh dari titik pusat tunggal. Jarak tersebut disebut jari-jari (r). Diameter (d) adalah dua kali jari-jari: d = 2r. Tiga ukuran utama lingkaran — luas, keliling, dan diameter — semua terkait melalui konstanta matematika π (pi) ≈ 3.14159265358979.
Luas: A = πr² — ruang tertutup di dalam lingkaran, diukur dalam satuan luas. Untuk lingkaran dengan jari-jari 5 cm: A = π × 25 ≈ 78,54 cm².
Keliling: C = 2πr = πd — keliling atau jarak total di sekitar lingkaran. Untuk jari-jari 5 cm: C = 2π × 5 ≈ 31,42 cm.
Diameter: d = 2r — garis lurus terpanjang melalui pusat. Untuk jari-jari 5 cm: d = 10 cm.
Jika Anda tahu salah satu ukuran, Anda dapat menemukan semua lainnya. Diberikan keliling C: r = C/(2π), d = C/π, A = C²/(4π). Diberikan luas A: r = √(A/π), d = 2√(A/π), C = 2√(πA). Hubungan ini membuat perhitungan lingkaran menjadi lebih mudah sekali Anda memiliki satu ukuran tunggal.
π adalah bilangan irasional, transendental — ekspansi desimalnya tidak pernah berulang atau berhenti: 3.14159265358979323846... Untuk kebanyakan perhitungan teknik, menggunakan π ≈ 3,14159 (5 angka desimal) memberikan hasil yang akurat hingga 5 angka baku. Kalkulator kami menggunakan JavaScript's Math.PI = 3.141592653589793, yang akurat hingga 15-16 angka desimal.
Tabel Referensi Ukuran Lingkaran Cepat
Ukuran lingkaran umum pada jari-jari standar. Gunakan ini untuk referensi cepat dan untuk memverifikasi perhitungan Anda.
| Jari-jari (r) | Diameter (d) | Keliling (C) | Luas (A) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 6,2832 | 3,1416 |
| 2 | 4 | 12,5664 | 12,5664 |
| 3 | 6 | 18,8496 | 28,2743 |
| 4 | 8 | 25,1327 | 50,2655 |
| 5 | 10 | 31,4159 | 78,5398 |
| 7 | 14 | 43,9823 | 153,9380 |
| 10 | 20 | 62,8318 | 314,1593 |
| 15 | 30 | 94,2478 | 706,8583 |
| 20 | 40 | 125,6637 | 1256,6371 |
| 50 | 100 | 314,1593 | 7853,9816 |
| 100 | 200 | 628,3185 | 31415,9265 |
Perhatikan bahwa luas tumbuh secara kuartik dengan jari-jari (A ∝ r²) sementara keliling tumbuh secara linear (C ∝ r). Membagi jari-jari dua kali akan memperbesar luas empat kali tetapi hanya akan menggandakan keliling. Ini adalah mengapa wadah lingkaran besar menjadi sangat efisien dalam hal volume ketika radius meningkat.
{
"@context": "https://schema.org",
"@type": "Article",
"headline": "Circle Formulas: Area, Circumference, and Diameter",
"image": "https://example.com/image.jpg",
"description": "Learn about circle formulas, including area, circumference, and diameter, and how they are related through the mathematical constant π (pi).",
"author": {
"@type": "Person",
"name": "John Doe"
},
"publisher": {
"@type": "Organization",
"name": "Example Publisher"
},
"datePublished": "2022-01-01"
}
Sektor, Arc, dan Segmen Lingkaran
Lingkaran dapat dibagi menjadi daerah parsial dengan ukuran masing-masing. Memahami hubungan ini penting untuk masalah yang melibatkan arc, sektor, dan segmen.
Sektor adalah "iris" lingkaran yang ditentukan oleh sudut pusat θ. Untuk θ dalam derajat: Luas Sektor = (θ/360) × πr². Panjang Arc = (θ/360) × 2πr. Untuk θ dalam radian: Luas Sektor = ½r²θ. Panjang Arc = rθ. Sektor lingkaran setengah (θ = 90°) memiliki luas πr²/4 dan panjang arc πr/2.
Segmen adalah daerah antara garis lurus dan arcnya. Luas Segmen = Luas Sektor − Luas Segitiga. Untuk sudut pusat θ (dalam radian): Luas Segmen = ½r²(θ − sin θ).
Chord adalah garis lurus dengan kedua ujungnya pada lingkaran. Jarak tegak lurus dari pusat ke chord panjang c adalah d = √(r² − c²/4). Sebaliknya, chord pada jarak d dari pusat memiliki panjang c = 2√(r² − d²). Chord terpanjang adalah diameter (jarak 0 dari pusat).
| Sudut Pusat | Fraksi Lingkaran | Panjang Arc (r=1) | Luas Sektor (r=1) |
|---|---|---|---|
| 30° (π/6 rad) | 1/12 | 0,5236 | 0,2618 |
| 45° (π/4 rad) | 1/8 | 0,7854 | 0,3927 |
| 60° (π/3 rad) | 1/6 | 1,0472 | 0,5236 |
| 90° (π/2 rad) | 1/4 | 1,5708 | 0,7854 |
| 120° (2π/3 rad) | 1/3 | 2,0944 | 1,0472 |
| 180° (π rad) | 1/2 | 3,1416 | 1,5708 |
| 270° (3π/2 rad) | 3/4 | 4,7124 | 2,3562 |
| 360° (2π rad) | 1 | 6,2832 | 3,1416 |
Radian adalah satuan sudut alami untuk lingkaran. Satu radian adalah sudut yang dibentuk ketika panjang arc sama dengan jari-jari. Definisi ini membuat panjang arc = rθ menjadi sangat sederhana. 2π radian = 360°, sehingga 1 radian ≈ 57,296°. Kalkulus, fisika, dan teknik hampir secara eksklusif menggunakan radian karena turunan dari sin dan cos bersih hanya dalam radian: d/dx(sin x) = cos x (bukan (π/180)cos x seperti yang akan terjadi dengan derajat).
Lingkaran dalam Aplikasi Nyata
Lingkaran adalah salah satu bentuk yang paling umum dalam teknik, manufaktur, arsitektur, dan kehidupan sehari-hari. Memahami geometri lingkaran memungkinkan pengukuran dan desain yang akurat di berbagai aplikasi.
Pipa dan silinder: Diameter pipa menentukan kapasitas aliran (berbanding lurus dengan r²). Meningkatkan diameter pipa dari 2 inci menjadi 4 inci meningkatkan kapasitas aliran empat kali lipat, bukan dua kali lipat. Hal ini adalah mengapa meningkatkan dari pipa air 2 inci menjadi 4 inci secara dramatis meningkatkan aliran. Luas penampang silinder pipa = πr² = πd²/4.
Roda dan gigi: Rasio gigi = rasio bilah gigi = rasio jari-jari. Gigi penggerak dengan jari-jari 3 cm yang menggerakkan gigi yang digerakkan dengan jari-jari 9 cm mengurangi kecepatan 3× tetapi meningkatkan gaya torak 3×. Jari-jari roda menentukan jarak per putaran: roda sepeda dengan diameter 700c (≈ 622 mm rim + ban) memiliki jari-jari ≈ 2096 mm, sehingga sepeda bergerak sekitar 2,1 m per putaran pedal-roda.
Lingkaran dalam konstruksi: Kolom lingkaran, arsitektur, kubah, dan lingkaran memerlukan geometri lingkaran. Jendela lingkaran dengan diameter 60 cm memiliki luas π × 30² ≈ 2.827 cm². Jumlah kaca yang dibutuhkan, panjang mullion, dan perhitungan termal semua menggunakan rumus lingkaran.
Irrigasi dan pertanian: Sistem irigasi sentripetal menciptakan lapangan lingkaran yang terlihat dari citra satelit. Sistem dengan jarak 400 m dari pusat irigasi lapangan lingkaran π × 400² ≈ 502.655 m² ≈ 50,3 hektar per sentripetal. Menghitung luas lapangan dan laju pengiriman air memerlukan rumus lingkaran.
Suara dan cahaya: Intensitas suara dan intensitas cahaya sama-sama menurun dengan kuadrat jarak dari sumber (hukum kuadrat sebalik), karena energi menyebar ke permukaan luas bola yang membesar. Pada jarak r, suara menutupi area 4πr². Meningkatkan jarak dua kali mengurangi intensitas menjadi 1/4 — 6 dB drop. Hal ini merupakan dasar desain akustik ruang konser dan penempatan mikrofon.
Bola dalam Matematika: Bola Satuan dan Trigonometri
Bola satuan (radius = 1, pusat di asal) adalah dasar dari semua trigonometri. Untuk sudut θ diukur searah jarum jam dari sumbu x positif, titik pada bola satuan adalah (cos θ, sin θ). Ini mendefinisikan sinus dan kosinus untuk semua sudut, positif dan negatif, yang meluaskan definisi segitiga kanan melebihi 90°.
Koordinat bola satuan penting untuk diingat:
| Sudut (derajat) | Sudut (radian) | cos θ | sin θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 ≈ 0,866 | 1/2 = 0,5 | 1/√3 ≈ 0,577 |
| 45° | π/4 | √2/2 ≈ 0,707 | √2/2 ≈ 0,707 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 = 0,5 | √3/2 ≈ 0,866 | √3 ≈ 1,732 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | tidak terdefinisi |
| 180° | π | -1 | 0 | 0 |
| 270° | 3π/2 | 0 | -1 | tidak terdefinisi |
| 360° | 2π | 1 | 0 | 0 |
Persamaan bola dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah (x−h)² + (y−k)² = r². Bola satuan adalah x² + y² = 1. Ini adalah dasar dari identitas Pythagoras: sin²θ + cos²θ = 1 (sejak cos θ dan sin θ adalah koordinat x dan y pada bola satuan, dan bola memiliki jari-jari 1).
Dalam matematika yang lebih tinggi, bola adalah kasus-kasus khusus dari sektor konik — kurva yang terbentuk oleh melintang kon dengan bidang. Bidang tegak lurus sumbu kon akan memberikan bola; bidang miring akan memberikan elips; bidang paralel dengan satu sisi akan memberikan parabola; bidang miring lebih lanjut akan memberikan hiperbola. Sektor konik menggambarkan orbit planet, jalur proyektil, bentuk cermin dan lensa, dan kurva piringan satelit.
π (Pi): Sejarah, Perhitungan, dan Fakta-Fakta Menarik
π adalah konstanta matematika yang paling terkenal. Ia mewakili rasio lingkar bola dengan diameter — selalu sama untuk bola mana pun, di mana pun. Keaslian ini yang luar biasa membuat geometri bola universal.
Perhitungan sejarah π: Babilonia (1900 SM) menggunakan 25/8 = 3,125. Mesir (1650 SM) menggunakan (16/9)² ≈ 3,160. Arkhimedes (250 SM) membatasi π antara 223/71 dan 22/7 (≈ 3,1429). Liu Hui (263 M) menghitung 3,14159 menggunakan poligon 3.072 sisi. Zu Chongzhi (480 M) menemukan 355/113 ≈ 3,1415929 — akurat hingga 6 tempat desimal. Komputer modern telah menghitung π hingga 100 triliun digit.
22/7 sering digunakan sebagai perkiraan sederhana: 22/7 ≈ 3,142857, yang memiliki kesalahan 0,04%. Untuk perhitungan praktis (dalam ±0,1%), ini cukup. Untuk perhitungan teknik yang memerlukan ketepatan yang lebih tinggi, gunakan 3,14159 (kesalahan: 0,00001%). NASA menggunakan 15 tempat desimal untuk navigasi antarplanet — jauh lebih dari cukup untuk aplikasi teknik apa pun.
π muncul jauh di luar geometri: dalam formula Euler (e^(iπ) + 1 = 0), dalam integral Gaussian (∫e^(-x²)dx = √π), dalam distribusi probabilitas, dalam mekanika kuantum, dan dalam perkiraan Stirling untuk faktorial. Keterlaluannya membuat π salah satu konstanta paling mendalam dalam matematika.
Bentuk Lingkaran dalam Arsitektur dan Desain
Bentuk geometri lingkaran telah digunakan dalam arsitektur selama milenium, dari Pantheon Romawi's oculus hingga stadion modern, lingkaran, dan persimpangan rotari. Sifat struktural lingkaran — distribusi tekanan yang seragam, tidak ada sudut lemah — membuatnya ideal untuk kubah, arsitektur, dan kolom di bawah kompresi.
Pantheon di Roma (126 M) memiliki oculus lingkaran diameter 8,8 m di atas kubahnya. Diameter kubah interior adalah 43,3 m — tepat sama dengan tingginya, menciptakan bola yang sempurna yang akan pas di dalamnya. Luas oculus = π × 4,4² ≈ 60,8 m² membiarkan cahaya masuk dan memberikan ventilasi untuk kubah beton 350 ton.
Stadion olahraga modern menggunakan tata letak lingkaran atau elips untuk memaksimalkan pandangan dan meminimalkan jarak antara penonton dan aksi. Stadion lingkaran dengan jari-jari 100 m memiliki lingkar 628 m dan area duduk ≈ πr² = 31.416 m² dari potensi duduk. Arsitek menghitung area bagian untuk menentukan kapasitas duduk per tingkat.
Rond-point (lingkaran lalu lintas) mengurangi kecelakaan persimpangan hingga 80% dibandingkan dengan persimpangan yang diatur oleh lampu lalu lintas dengan menghilangkan kecelakaan sudut kanan. Rond-point satu jalur biasanya memiliki diameter lingkaran yang ditulis 30-50 m. Pulau tengah diameter dan geometri pendekatan dihitung menggunakan rumus lingkaran untuk memastikan defleksi kendaraan yang tepat (mengharuskan pengemudi untuk menurunkan kecepatan).
Tangga spiral, tangga helikal (seperti di garasi parkir multi-tingkat), dan kolam renang lingkaran semua memerlukan geometri lingkaran untuk perencanaan konstruksi. Jumlah beton yang diperlukan untuk kolam renang lingkaran dengan jari-jari 3 m dan kedalaman 1,5 m: area dasar = π × 9 ≈ 28,27 m², area dinding = 2πr × h = 2π × 3 × 1,5 ≈ 28,27 m². Luas permukaan total ≈ 56,5 m², memerlukan sekitar 5,65 m³ beton dengan ketebalan 10 cm.
Wajah jam, potongan pizza, grafik pie, dan target dart semua menggunakan geometri sector. Dengan lemparan dart di segmen "20" dari target dart standar (diameter luar 451 mm, sudut segmen = 360°/20 = 18°) mendarat di sector dengan panjang busur (18/360) × π × 451 ≈ 70,9 mm dan luas sector (18/360) × π × 225,5² ≈ 7.998 mm² ≈ 80 cm². Aturan turnamen profesional spesifikkan dimensi-dimensi ini dengan tepat menggunakan geometri lingkaran.
Frequently Asked Questions
Apakah luas lingkaran dengan jari-jari 10?
Luas = π × 10² = 100π ≈ 314.159 satuan persegi. Keliling = 2π × 10 = 20π ≈ 62.832 satuan. Diameter = 20 satuan. Jika satuan dalam cm, luas adalah 314,16 cm² dan keliling adalah 62,83 cm.
Berapa digit desimal dari pi yang saya butuhkan?
Untuk perhitungan sehari-hari, π ≈ 3,14159 (5 digit desimal) sudah lebih dari cukup. NASA menggunakan 15 digit desimal untuk navigasi antarplanet. Rekor dunia adalah lebih dari 100 triliun digit, tetapi bahkan untuk eksperimen fisika yang paling akurat, 40 digit dari π sudah terlalu banyak. Untuk kebanyakan proyek rumah/konstruksi, π ≈ 3,14 sudah cukup.
Apa perbedaan antara keliling dan luas?
Keliling adalah jarak sekeliling lingkaran (ukuran 1D dalam satuan seperti cm atau kaki). Luas adalah ruang 2D yang diisi oleh lingkaran (dalam satuan persegi seperti cm² atau ft²). Untuk jari-jari r: Keliling = 2πr, Luas = πr². Keliling tumbuh secara linear dengan r; luas tumbuh secara kuartik.
Bagaimana cara menemukan jari-jari dari keliling?
Rearrange C = 2πr: r = C/(2π). Untuk C = 50 cm: r = 50/(2π) = 50/6,2832 ≈ 7,96 cm. Diameter = 2r ≈ 15,92 cm. Luas = πr² = π × 63,4 ≈ 199,1 cm².
Apa luas dari setengah lingkaran?
Setengah lingkaran adalah setengah lingkaran, sehingga luasnya adalah πr²/2. Perimeter setengah lingkaran adalah πr (garis lengkung) + 2r (diameter) = r(π + 2). Untuk jari-jari 6: luas = π × 36/2 ≈ 56,55 satuan persegi. Perimeter = 6(π + 2) ≈ 30,85 satuan.
Bagaimana lingkaran berbeda dari elips?
Lingkaran memiliki semua titik yang sama jauh dari pusat (satu jari-jari). Elips memiliki dua "jari-jari" (semi-sumbu a dan b), dengan a ≠ b untuk elips yang sebenarnya. Luas lingkaran = πr²; luas elips = πab. Ketika a = b = r, elips menjadi lingkaran. Orbit planet adalah elips, bukan lingkaran yang sempurna — meskipun orbit Bumi sangat hampir bulat (eksentrisitas 0,017).
Apa lingkaran yang di dalam dan di luar segitiga?
Lingkaran yang di dalam (incircle) adalah lingkaran terbesar yang pas di dalam segitiga, menyentuh semua tiga sisi. Jari-jari lingkaran ini adalah r = Luas/s di mana s = semi-perimeter. Lingkaran yang di luar (circumcircle) melalui semua tiga sudut. Jari-jari lingkaran ini R = abc/(4 × Luas) di mana a, b, c adalah panjang sisi. Ini digunakan dalam geometri segitiga dan masalah konstruksi.
Mengapa lingkaran memaksimalkan luas untuk perimter yang sama?
Injeksi isoperimetric: di antara semua kurva tertutup dengan perimter yang sama, lingkaran mengisi luas maksimum. Matematis: A ≤ C²/(4π), dengan kesetaraan hanya untuk lingkaran. Ini adalah mengapa gelembung membentuk bola (setara 3D), mengapa kayu bulat menghasilkan kayu yang maksimum, dan mengapa sel hexagonal di lebah sangat efisien (hexagons mendekati lingkaran dalam pemasangan).
Bagaimana cara menghitung luas dari cincin (annulus)?
Cincin adalah daerah antara dua lingkaran yang berpusat (seperti cincin). Luas = π(R² − r²) = π(R+r)(R−r) di mana R adalah jari-jari luar dan r adalah jari-jari dalam. Untuk jari-jari luar 10 dan jari-jari dalam 6: Luas = π(100−36) = 64π ≈ 201,06 satuan persegi.
Apa hubungan antara jari-jari lingkaran dan diameter dalam satuan yang berbeda?
Jari-jari dan diameter adalah panjang, sehingga mereka berkonversi seperti satuan panjang apa pun. Lingkaran dengan r = 5 inci memiliki r = 12,7 cm, d = 10 inci = 25,4 cm. Luas dalam inci persegi adalah π×25 ≈ 78,54 in²; dalam cm² itu adalah π×161,29 ≈ 506,71 cm². Catatan: 1 in² = 6,4516 cm², dan 78,54 × 6,4516 ≈ 506,71 ✓.