Kalkulator Lingkaran

Rumus Lingkaran: Luas, Lingkaran, dan Diameter

Lingkaran adalah set semua titik dalam bidang yang sama jaraknya dari satu titik pusat. Jarak itu dipanggilradius (r)Perkhidmatan.diameter (d)adalah dua kali radius: d = 2r. Tiga ukuran utama bulatan - kawasan, keliling, dan diameter - semuanya berkaitan melalui konstanta matematik π (pi) ~ 3.14159265358979.

Kawasan:A = πr2 -- ruang yang terkurung dalam bulatan, diukur dalam unit persegi. Untuk bulatan dengan jari-jari 5 cm: A = π x 25 ~ 78.54 cm2.

Lingkar:C = 2πr = πd -- perimeter atau jarak keseluruhan sekitar bulatan. Untuk radius 5 cm: C = 2π x 5 ~ 31.42 cm.

Diameter:d = 2r - kord terpanjang melalui pusat. Untuk radius 5 cm: d = 10 cm.

Jika anda tahu mana-mana satu pengukuran, anda boleh mencari semua yang lain. Diberikan lilitan C: r = C/(2π), d = C/π, A = C2/(4π). Diberikan kawasan A: r = √(A/π), d = 2√(A/π), C = 2√(πA. Hubungan ini membuat pengiraan bulatan mudah sekali anda mempunyai pengukuran tunggal.

π adalah nombor irasional, transendental - pengembangan perpuluhan tidak pernah berulang atau berakhir: 3.14159265358979323846 ... Untuk kebanyakan pengiraan kejuruteraan, menggunakan π ~ 3.14159 (5 tempat perpuluhan) memberikan hasil yang tepat kepada 5 angka penting. Kalkulator kami menggunakan JavaScript Math.PI = 3.141592653589793, yang tepat kepada 15 - 16 tempat perpuluhan.

Jadual Rujukan Cepat Pengukuran Lingkaran

Pengukuran bulatan biasa pada radius standard. Gunakan ini untuk rujukan cepat dan untuk mengesahkan pengiraan anda.

Perhatikan bahawa kawasan tumbuh secara kuadratik dengan radius (A r2) manakala lilitan tumbuh secara linear (C r). Menggandakan radius empat kali ganda kawasan tetapi hanya menggandakan lilitan. Inilah sebabnya mengapa bekas bulat besar menjadi lebih cekap secara dramatik apabila radius meningkat.

Sektor, Busur, dan Lingkaran separa

Sebuah bulatan boleh dibahagikan kepada kawasan separa dengan ukuran mereka sendiri. Memahami hubungan ini adalah penting untuk masalah yang melibatkan busur, sektor, dan segmen.

A sektoradalah "sisa pai" bulatan yang ditentukan oleh sudut pusat θ. Untuk θ dalam darjah: Kawasan sektor = (θ/360) x πr2. Panjang busur = (θ/360) x 2πr. Untuk θ dalam radian: Kawasan sektor = 1⁄2r2θ. Panjang busur = rθ. Sektor seperempat bulatan (θ = 90 darjah) mempunyai kawasan πr2/4 dan panjang busur πr/2.

A segmenadalah kawasan antara kord dan busurnya. Kawasan segmen = Kawasan sektor - Kawasan segitiga. Untuk sudut pusat θ (dalam radian): Kawasan segmen = 1⁄2r2 ((θ - sin θ).

A akordadalah mana-mana segmen garis dengan kedua-dua titik akhir pada bulatan. Jarak tegak lurus dari pusat ke kord panjang c adalah d = √(r2 - c2/4). Sebaliknya, kord pada jarak d dari pusat mempunyai panjang c = 2√(r2 - d2). Kord terpanjang adalah diameter (jarak 0 dari pusat).

Radian adalah unit sudut semula jadi untuk bulatan. Satu radian adalah sudut subtended apabila panjang busur sama dengan jari-jari. Definisi ini menjadikan panjang busur = rθ sederhana. 2π radian = 360 darjah, jadi 1 radian ~ 57.296 darjah. Kalkulus, fizik, dan kejuruteraan hampir secara eksklusif menggunakan radian kerana turunan dosa dan kos hanya bersih dalam radian: d / dx ((sin x) = cos x (bukan (π/180) cos x kerana ia akan dengan darjah).

Lingkaran dalam Aplikasi Dunia Nyata

Bulat adalah antara bentuk yang paling biasa dalam kejuruteraan, pembuatan, seni bina, dan kehidupan seharian. Memahami geometri bulatan membolehkan pengukuran dan reka bentuk yang tepat di pelbagai aplikasi.

Paip dan silinder:Diameter paip menentukan kapasiti aliran (bersesuaian dengan r2). Penggandaan diameter paip empat kali ganda kapasiti aliran, tidak menggandakannya. Inilah sebabnya mengapa menaik taraf dari paip air 2 inci ke paip air 4 inci meningkatkan aliran secara dramatik. Kawasan penampang paip bulat = πr2 = πd2/4.

Roda dan gear:Nisbah gear = nisbah bilangan gigi = nisbah jari-jari. Gear pemandu dengan jari-jari 3 cm memutar gear pemandu dengan jari-jari 9 cm mengurangkan kelajuan sebanyak 3x tetapi melipatgandakan tork sebanyak 3x. Lingkar roda menentukan jarak per putaran: roda basikal dengan diameter 700c (~ 622 mm rim + tayar) mempunyai lingkar ~ 2096 mm, jadi basikal bergerak ~ 2.1 m setiap putaran roda pedal.

Lingkaran dalam pembinaan:Kolom bulat, lengkungan, kubah, dan putaran memerlukan geometri bulatan. tingkap bulat dengan diameter 60 cm mempunyai kawasan π x 302 ~ 2,827 cm2. jumlah kaca yang diperlukan, panjang mullion, dan pengiraan terma semua menggunakan formula bulatan.

Pengairan dan pertanian:Sistem pengairan pusat-pusat mewujudkan bidang bulat yang dapat dilihat dari imej satelit. Sistem dengan jari-jari lengan 400 m mengairi π x 4002 ~ 502,655 m2 ~ 50.3 hektar setiap pivot. Mengira kawasan liputan dan kadar penghantaran air memerlukan formula kawasan bulatan.

Bunyi dan cahaya:Intensiti bunyi dan intensiti cahaya sama-sama berkurangan dengan kuasa dua jarak dari sumber (hukum kuasa dua terbalik), kerana tenaga merebak di kawasan permukaan bola yang berkembang. Pada jarak r, bunyi meliputi kawasan 4πr2. Jarak dua kali ganda mengurangkan intensiti kepada 1/4 - penurunan 6 dB. Ini menyokong reka bentuk akustik dewan konsert dan penempatan mikrofon.

Lingkaran dalam Matematik: Lingkaran Satuan dan Trigonometri

Lingkaran satuan (radius = 1, pusat pada asal) adalah asas semua trigonometri. Untuk sudut θ diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif, titik pada lingkaran satuan adalah (cos θ, sin θ). Ini menentukan sinus dan kosinus untuk semua sudut, positif dan negatif, memperluaskan definisi segitiga lurus di luar 90 darjah.

Koordinat bulatan unit utama untuk menghafal:

Persamaan bulatan dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2. Lingkaran satuan adalah x 2 + y 2 = 1. Ini adalah asas identiti Pythagorean: sin 2θ + cos 2θ = 1 (kerana cos θ dan sin θ adalah koordinat x dan y pada bulatan satuan, dan bulatan itu mempunyai jari-jari 1).

Dalam matematik yang lebih tinggi, bulatan adalah kes khas bahagian kerucut - lengkung yang dibentuk dengan memotong kerucut dengan pesawat. Pesawat tegak lurus pada paksi kerucut memberikan bulatan; pesawat miring memberikan elips; pesawat selari dengan satu sisi memberikan parabola; pesawat yang lebih curam memberikan hiperbola. Bahagian kerucut menggambarkan orbit planet, lintasan projektil, cermin dan bentuk kanta, dan lengkung piring satelit.

π (Pi): Sejarah, Pengiraan, dan Fakta Menyenangkan

Pi boleh dikatakan konstanta matematik yang paling terkenal. Ia mewakili nisbah lilitan bulatan kepada diameternya -- selalu sama untuk mana-mana bulatan, di mana-mana sahaja. Kestabilan yang luar biasa ini adalah apa yang menjadikan geometri bulatan universal.

Perkiraan sejarah π: Orang Babylon (1900 SM) menggunakan 25/8 = 3.125. Orang Mesir (1650 SM) menggunakan (16/9) 2 ~ 3.160. Archimedes (250 SM) mengehadkan π antara 223/71 dan 22/7 (~ 3.1429). Liu Hui (263 CE) mengira 3.14159 menggunakan poligon 3,072-sisi. Zu Chongzhi (480 CE) mendapati 355/113 ~ 3.1415929 - tepat kepada 6 tempat perpuluhan. Komputer moden telah mengira π kepada lebih dari 100 trilion digit perpuluhan.

22/7 sering digunakan sebagai perkiraan mudah: 22/7 ~ 3.142857, yang mempunyai ralat 0.04%. Untuk kebanyakan pengiraan praktikal (dalam +/- 0.1%), ini mencukupi. Untuk pengiraan kejuruteraan yang memerlukan ketepatan yang lebih tinggi, gunakan 3.14159 (kesalahan: 0.00001%). NASA menggunakan 15 tempat perpuluhan untuk navigasi antara planet - jauh lebih banyak daripada cukup untuk sebarang aplikasi kejuruteraan.

Pi muncul jauh di luar geometri: dalam formula Euler (e^(iπ) + 1 = 0), dalam integral Gaussian (∫e^(-x2) dx = √π), di kawasan pengedaran kebarangkalian, dalam mekanika kuantum, dan dalam pendekatan Stirling untuk faktorial.

Lingkaran dalam Seni Bina dan Reka Bentuk

Geometri bulatan telah digunakan dalam seni bina selama beribu-ribu tahun, dari oculus Pantheon Rom ke stadium moden, pusingan, dan persimpangan putar. Sifat struktur bulatan - pengagihan tekanan seragam, tiada sudut lemah - menjadikannya sesuai untuk kubah, lengkungan, dan lajur di bawah mampatan.

Pantheon di Rom (126 CE) mempunyai oculus bulat berdiameter 8.8 m di bahagian atas kubahnya. Diameter dalaman kubah adalah 43.3 m - sama persis dengan ketinggiannya, mewujudkan bola yang sempurna yang hanya sesuai di dalamnya. Kawasan oculus = π x 4.42 ~ 60.8 m2 membiarkan cahaya masuk dan menyediakan pengudaraan untuk kubah konkrit 350 tan.

Stadium sukan moden menggunakan susun atur bulat atau elips untuk memaksimumkan garis pandangan dan meminimumkan jarak antara penonton dan tindakan. Stadium bulat dengan jari-jari 100 m mempunyai lilitan 628 m dan kawasan tempat duduk ~ πr2 = 31,416 m2 tempat duduk berpotensi. Arkitek mengira kawasan seksyen untuk menentukan kapasiti tempat duduk setiap tingkat.

Roundabouts (lingkaran lalu lintas) mengurangkan kemalangan persimpangan sehingga 80% berbanding persimpangan yang diberi isyarat dengan menghapuskan perlanggaran sudut kanan.

Tangga spiral, ramp helik (seperti di garaj tempat letak kereta bertingkat), dan kolam renang bulat semuanya memerlukan geometri bulatan untuk perancangan pembinaan.

Wajah jam, kepingan pizza, carta pai, dan dartboard semua menggunakan geometri sektor. Dart mendarat di segmen "20" dartboard standard (diameter luar 451 mm, sudut segmen = 360 darjah / 20 = 18 darjah) mendarat di sektor dengan panjang busur (18/360) x π x 451 ~ 70.9 mm dan kawasan sektor (18/360) x π x 225.52 ~ 7,998 mm2 ~ 80 cm2. Peraturan kejohanan profesional menentukan dimensi ini dengan tepat menggunakan geometri bulatan.