সার্কেল ক্যালকুলেটর

বৃত্তের সূত্র: আয়তন, পরিধি এবং ব্যাসার্ধ

একটি বৃত্ত হল একটি একক কেন্দ্রীয় বিন্দু থেকে সমদূরত্বের সমতলটির সমস্ত পয়েন্টের সেট। সেই দূরত্বকে বলা হয়ব্যাসার্ধ (r). দ্যব্যাসার্ধ (d)হল ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ: d = 2r। একটি বৃত্তের তিনটি প্রধান পরিমাপ - ক্ষেত্রফল, পরিধি এবং ব্যাসার্ধ - সবগুলি গণিতের ধ্রুবক π (পাই) ~ 3.14159265358979 এর মাধ্যমে সম্পর্কিত।

এলাকা:A = πr2 -- বৃত্তের মধ্যে আবদ্ধ স্থান, বর্গক্ষেত্র একক হিসাবে পরিমাপ করা হয়। 5 সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের জন্যঃ A = π x 25 ~ 78.54 সেমি 2।

পরিধি:C = 2πr = πd -- বৃত্তের চারপাশের পরিধি বা মোট দূরত্ব। 5 সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধের জন্য: C = 2π x 5 ~ 31.42 সেন্টিমিটার।

ব্যাসঃd = 2r -- কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে দীর্ঘতম কর্ড। 5 সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধের জন্য: d = 10 সেন্টিমিটার।

যদি আপনি কোন এক পরিমাপ জানেন, আপনি অন্য সব খুঁজে পেতে পারেন। পরিধি দেওয়া C: r = C/(2π), d = C/π, A = C2/(4π। এলাকা দেওয়া A: r = √(A/π), d = 2√(A/π), C = 2√(πA। এই সম্পর্কগুলি বৃত্তের গণনাকে সহজ করে তোলে একবার আপনার কোন একক পরিমাপ থাকে।

π একটি অযৌক্তিক, অতিপ্রাকৃত সংখ্যা - এর দশমিক সম্প্রসারণ কখনও পুনরাবৃত্তি বা শেষ হয় নাঃ 3.14159265358979323846... বেশিরভাগ প্রকৌশল গণনার জন্য, π ~ 3.14159 (5 দশমিক স্থান) ব্যবহার করে 5 টি উল্লেখযোগ্য সংখ্যার সঠিক ফলাফল দেয়। আমাদের ক্যালকুলেটর জাভাস্ক্রিপ্টের গণিত ব্যবহার করে। পিআই = 3.141592653589793, যা 15 - 16 দশমিক স্থান পর্যন্ত সঠিক।

সার্কেল পরিমাপ দ্রুত রেফারেন্স টেবিল

স্ট্যান্ডার্ড ব্যাসার্ধে বৃত্তের সাধারণ পরিমাপ। দ্রুত রেফারেন্সের জন্য এবং আপনার গণনা যাচাই করার জন্য এগুলি ব্যবহার করুন।

লক্ষ্য করুন যে অঞ্চলটি ব্যাসার্ধের সাথে চতুর্ভুজীয়ভাবে বৃদ্ধি পায় (এ আর 2) এবং পরিধিটি রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায় (সি আর) । ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে অঞ্চলটি চারগুণ হয় তবে কেবল পরিধি দ্বিগুণ হয়। এ কারণেই বৃত্তাকার বড় পাত্রে ব্যাসার্ধ বাড়ার সাথে সাথে ভলিউম-কার্যকর হয়ে ওঠে।

সেক্টর, আর্ক এবং আংশিক বৃত্ত

একটি বৃত্তকে তাদের নিজস্ব পরিমাপের সাথে আংশিক অঞ্চলে বিভক্ত করা যেতে পারে। এই সম্পর্কগুলি বোঝা আর্ক, সেক্টর এবং বিভাগগুলি জড়িত সমস্যাগুলির জন্য প্রয়োজনীয়।

A খাতএকটি কেন্দ্রীয় কোণ θ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি বৃত্তের একটি "পিস স্লাইস"। ডিগ্রিতে θ এর জন্যঃ সেক্টর এলাকা = (θ/360) x πr2। আর্ক দৈর্ঘ্য = (θ/360) x 2πr। রেডিয়ানগুলিতে θ এর জন্যঃ সেক্টর এলাকা = 1⁄2r2θ। আর্ক দৈর্ঘ্য = rθ। একটি চতুর্থাংশ বৃত্তের সেক্টর (θ = 90 ডিগ্রি) এর ক্ষেত্রফল πr2/4 এবং আর্ক দৈর্ঘ্য πr/2।

A খণ্ডএকটি কর্ড এবং তার আর্ক এর মধ্যে অঞ্চল। সেগমেন্ট এলাকা = সেক্টর এলাকা - ত্রিভুজ এলাকা। একটি কেন্দ্রীয় কোণ θ (রেডিয়ানে): সেগমেন্ট এলাকা = 1⁄2r2 ((θ - সিন θ) ।

A অ্যাকর্ডহল বৃত্তের উভয় শেষ পয়েন্ট সহ যে কোনও লাইন সেগমেন্ট। কেন্দ্র থেকে দৈর্ঘ্য c এর একটি কর্ডের প্রতি উল্লম্ব দূরত্ব d = √(r2 - c2/4। বিপরীতভাবে, কেন্দ্র থেকে দূরত্ব d এর একটি কর্ডের দৈর্ঘ্য c = 2√(r2 - d2) । দীর্ঘতম কর্ডটি হল ব্যাসার্ধ (কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 0) ।

রেডিয়ান হ'ল বৃত্তের জন্য প্রাকৃতিক কোণ একক। এক রেডিয়ান হ'ল কোণটি যখন আর্ক দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের সমান হয়। এই সংজ্ঞাটি আর্ক দৈর্ঘ্য = rθকে মার্জিতভাবে সহজ করে তোলে। 2π রেডিয়ান = 360 ডিগ্রি, সুতরাং 1 রেডিয়ান ~ 57.296 ডিগ্রি। ক্যালকুলাস, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশল প্রায় একচেটিয়াভাবে রেডিয়ান ব্যবহার করে কারণ সিন এবং কোসের ডেরিভেটিভগুলি কেবলমাত্র রেডিয়ানে পরিষ্কারঃ ডি / ডিএক্স ((সিন এক্স) = কোস এক্স (ডিগ্রি হিসাবে নয় (π/180) কোস এক্স) ।

রিয়েল-ওয়ার্ল্ড অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে সার্কেল

বৃত্তগুলি প্রকৌশল, উত্পাদন, স্থাপত্য এবং দৈনন্দিন জীবনে সর্বাধিক সাধারণ আকারের মধ্যে রয়েছে। বৃত্তের জ্যামিতি বোঝা অগণিত অ্যাপ্লিকেশন জুড়ে সঠিক পরিমাপ এবং নকশা সক্ষম করে।

পাইপ এবং সিলিন্ডারঃপাইপের ব্যাসার্ধ প্রবাহের ক্ষমতা নির্ধারণ করে (r2 এর সমানুপাতিক) । পাইপের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা প্রবাহের ক্ষমতা দ্বিগুণ করে না, দ্বিগুণ করে না। এই কারণেই 2-ইঞ্চি থেকে 4-ইঞ্চি জল প্রধান থেকে আপগ্রেড করা প্রবাহকে নাটকীয়ভাবে বৃদ্ধি করে। একটি বৃত্তাকার পাইপের ক্রস-সেকশনাল এলাকা = πr2 = πd2 / 4।

চাকা এবং গিয়ারঃগিয়ার অনুপাত = দাঁত গণনার অনুপাত = ব্যাসার্ধের অনুপাত। 3 সেমি ব্যাসার্ধের একটি ড্রাইভ গিয়ার 9 সেমি ব্যাসার্ধের একটি চালিত গিয়ারকে ঘুরিয়ে দেয় যা গতি 3x হ্রাস করে তবে টর্ককে 3x দ্বারা গুণ করে। চাকা পরিধি প্রতি ঘূর্ণন দূরত্ব নির্ধারণ করেঃ 700c ব্যাসার্ধের একটি সাইকেল চাকা (~ 622 মিমি রিম + টায়ার) এর পরিধি ~ 2096 মিমি, তাই সাইকেলটি পেডাল-চাকা ঘূর্ণন প্রতি ~ 2.1 মিটার ভ্রমণ করে।

নির্মাণে বৃত্তঃবৃত্তাকার কলাম, খিলান, গম্বুজ এবং রাউন্ডআউটগুলির জন্য বৃত্তাকার জ্যামিতি প্রয়োজন। 60 সেন্টিমিটার ব্যাসের একটি বৃত্তাকার উইন্ডোর ক্ষেত্রফল π x 302 ~ 2,827 সেমি 2। প্রয়োজনীয় কাচের পরিমাণ, মুলিয়ন দৈর্ঘ্য এবং তাপীয় গণনাগুলি সবই বৃত্তের সূত্র ব্যবহার করে।

সেচ ও কৃষি:সেন্টার-পিভট সেচ ব্যবস্থাগুলি স্যাটেলাইট চিত্র থেকে দৃশ্যমান বৃত্তাকার ক্ষেত্র তৈরি করে। 400 মিটার আর্ম ব্যাসার্ধের একটি সিস্টেম পিভট প্রতি π x 4002 ~ 502,655 m2 ~ 50.3 হেক্টর সেচ করে। কভারেজ অঞ্চল এবং জল সরবরাহের হার গণনা করার জন্য বৃত্ত অঞ্চল সূত্র প্রয়োজন।

শব্দ ও আলো:শব্দের তীব্রতা এবং আলোর তীব্রতা উভয়ই উত্স থেকে দূরত্বের বর্গক্ষেত্রের সাথে হ্রাস পায় (বিপরীত বর্গক্ষেত্র আইন), কারণ শক্তি একটি প্রসারিত গোলকের পৃষ্ঠতল জুড়ে ছড়িয়ে পড়ে। দূরত্ব r এ, শব্দটি 4πr2 এলাকা জুড়ে থাকে। দ্বিগুণ দূরত্ব তীব্রতা হ্রাস করে 1/4 - 6 ডিবি ড্রপ। এটি কনসার্ট হল এবং মাইক্রোফোন স্থাপনের শাব্দিক নকশার ভিত্তি।

গণিতে বৃত্ত: ইউনিট বৃত্ত এবং ত্রিভুজগণিত

ইউনিট বৃত্ত (রেডিয়াম = 1, উৎপত্তি স্থানে কেন্দ্র) সমস্ত ত্রিভুজগণিতের ভিত্তি। একটি কোণ θ এর জন্য ধনাত্মক x- অক্ষ থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে পরিমাপ করা হয়, ইউনিট বৃত্তের বিন্দু হল (cos θ, sin θ) । এটি সমস্ত কোণ, ধনাত্মক এবং নেতিবাচক জন্য সাইন এবং কোসাইন সংজ্ঞায়িত করে, 90 ডিগ্রি অতিক্রম করে ডানদিকের ত্রিভুজ সংজ্ঞা প্রসারিত করে।

মনে রাখার জন্য মূল একক বৃত্তের সমন্বয়ঃ

কেন্দ্র (h, k) এবং ব্যাসার্ধ r সহ একটি বৃত্তের সমীকরণটি হ'ল (x-h) 2 + (y-k) 2 = r2। ইউনিট বৃত্তটি হ'ল x2 + y2 = 1। এটি পাইথাগোরিয়ান পরিচয়টির ভিত্তিঃ sin2θ + cos2θ = 1 (যেহেতু cos θ এবং sin θ ইউনিট বৃত্তের x এবং y স্থানাঙ্ক এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ 1 রয়েছে) ।

উচ্চতর গণিতে, বৃত্তগুলি শঙ্কু বিভাগগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে - একটি সমতল সঙ্গে একটি শঙ্কু ছেদ করে গঠিত কার্ভ। শঙ্কুর অক্ষের উল্লম্ব একটি সমতল একটি বৃত্ত দেয়; একটি তির্যক সমতল একটি উপবৃত্ত দেয়; এক পাশের সমান্তরাল একটি সমতল একটি উপমা দেয়; একটি তির্যক সমতল একটি হাইপারবোল দেয়। শঙ্কু বিভাগগুলি গ্রহের কক্ষপথ, প্রজেক্টাইল ট্র্যাজেক্টরি, আয়না এবং লেন্সের আকার এবং স্যাটেলাইট থালা বক্ররেখা বর্ণনা করে।

π (পাই): ইতিহাস, গণনা এবং মজার তথ্য

পাই সম্ভবত সবচেয়ে বিখ্যাত গাণিতিক ধ্রুবক। এটি একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ব্যাসের অনুপাতকে প্রতিনিধিত্ব করে -- সব সময় যেকোনো বৃত্তের জন্য একেবারে একই। এই অসাধারণ ধ্রুবকটিই বৃত্তের জ্যামিতিকে সার্বজনীন করে তোলে।

π এর ঐতিহাসিক আনুমানিকঃ ব্যাবিলনীয়রা (খ্রিস্টপূর্ব ১৯০০) ২৫/৮ = ৩.১২৫ ব্যবহার করেছিল। মিশরীয়রা (খ্রিস্টপূর্ব ১৬৫০) (১৬/৯) ২ থেকে ৩.১৬০ ব্যবহার করেছিল। আর্কিমিডিস (খ্রিস্টপূর্ব ২৫০) ২২৩/৭১ এবং ২২/৭ (~ ৩.১৪২৯) এর মধ্যে π সীমাবদ্ধ করেছিলেন। লিউ হুই (খ্রিস্টপূর্ব ২৬৩) ৩,০৭২-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজ ব্যবহার করে ৩,১৪১৫৯ গণনা করেছিলেন। জু চংজি (খ্রিস্টপূর্ব ৪৮০) ৩৫৫/১১৩ ~ ৩,১৪১৫৯২৯ খুঁজে পেয়েছেন - ৬ দশমিকের স্থান পর্যন্ত নির্ভুল। আধুনিক কম্পিউটারগুলি ১০০ ট্রিলিয়ন দশমিক সংখ্যা পর্যন্ত π গণনা করেছে।

22/7 প্রায়শই একটি সহজ আনুমানিক হিসাবে ব্যবহৃত হয়ঃ 22/7 ~ 3.142857, যার ত্রুটি 0.04%। বেশিরভাগ ব্যবহারিক গণনার জন্য (+/- 0.1% এর মধ্যে), এটি যথেষ্ট। উচ্চতর নির্ভুলতা প্রয়োজন এমন প্রকৌশল গণনার জন্য, 3.14159 ব্যবহার করুন (ত্রুটিঃ 0.00001%) । নাসা আন্তঃপ্ল্যানেটারি নেভিগেশনের জন্য 15 টি দশমিক স্থান ব্যবহার করে - যে কোনও প্রকৌশল অ্যাপ্লিকেশনের জন্য যথেষ্ট পরিমাণে বেশি।

পাই জ্যামিতির বাইরেও দেখা যায়: ইউলারের সূত্র (e^(iπ) + 1 = 0), গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল (∫e^(-x2) dx = √π), সম্ভাব্যতা বন্টনের ক্ষেত্রে, কোয়ান্টাম মেকানিক্সে এবং ফ্যাক্টরিয়ালগুলির জন্য স্টারলিংয়ের আনুমানিকীকরণে। এর সর্বব্যাপীতা π কে গণিতের অন্যতম গভীর ধ্রুবক করে তোলে।

আর্কিটেকচার এবং ডিজাইনের বৃত্ত

সার্কুলার জ্যামিতি স্থাপত্যে সহস্রাব্দের জন্য ব্যবহৃত হয়েছে, রোমান প্যানথিয়নের ওকুলাস থেকে আধুনিক স্টেডিয়াম, রাউন্ডআউট এবং ঘূর্ণায়মান ছেদ পর্যন্ত। বৃত্তের কাঠামোগত বৈশিষ্ট্য - অভিন্ন চাপ বিতরণ, কোনও দুর্বল কোণ নেই - এটি সংকোচনের অধীনে গম্বুজ, খিলান এবং কলামগুলির জন্য আদর্শ করে তোলে।

রোমের প্যানথিয়ন (১২৬ খ্রিস্টাব্দ) এর গম্বুজের শীর্ষে একটি বৃত্তাকার ওকুলাস রয়েছে যার ব্যাস ৮.৮ মিটার। গম্বুজের অভ্যন্তরীণ ব্যাস ৪৩.৩ মিটার - ঠিক তার উচ্চতার সমান, একটি নিখুঁত গোলক তৈরি করে যা ঠিক ভিতরে ফিট করবে। ওকুলাস অঞ্চল = π x ৪.৪২ ~ ৬০.৮ মি 2 আলোক প্রবেশ করে এবং ৩৫০ টন কংক্রিট গম্বুজের জন্য বায়ুচলাচল সরবরাহ করে।

আধুনিক ক্রীড়া স্টেডিয়ামগুলি দৃষ্টিভঙ্গিকে সর্বাধিকতর করতে এবং দর্শকদের এবং ক্রিয়াকলাপের মধ্যে দূরত্বকে হ্রাস করতে বৃত্তাকার বা উপবৃত্তাকার বিন্যাস ব্যবহার করে। 100 মিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার স্টেডিয়ামের পরিধি 628 মিটার এবং আসনক্ষেত্র ~ πr2 = 31,416 মি 2 সম্ভাব্য আসন। স্থপতিরা স্তর প্রতি আসন ক্ষমতা নির্ধারণের জন্য বিভাগের ক্ষেত্রগুলি গণনা করে।

রাউন্ডআউট (ট্রাফিক সার্কেল) ডান কোণ সংঘর্ষ নির্মূল করে সিগন্যালযুক্ত ছেদগুলির তুলনায় 80% পর্যন্ত ছেদ দুর্ঘটনা হ্রাস করে। একটি একক-লেনের রাউন্ডআউট সাধারণত 30 - 50 মিটার একটি inscribed বৃত্ত ব্যাসার্ধ থাকে। কেন্দ্রীয় দ্বীপ ব্যাসার্ধ এবং পদ্ধতির জ্যামিতিটি উপযুক্ত যানবাহন বিচ্যুতি নিশ্চিত করার জন্য বৃত্ত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয় (ড্রাইভারদের ধীর গতিতে বাধ্য করে) ।

সর্পিল সিঁড়ি, হেলিকাল র্যাম্প (মাল্টি-লেভেল পার্কিং গ্যারেজগুলির মতো) এবং বৃত্তাকার সুইমিং পুলগুলি নির্মাণের পরিকল্পনার জন্য বৃত্তাকার জ্যামিতি প্রয়োজন। 3 মিটার ব্যাসার্ধ এবং 1.5 মিটার গভীরতার একটি বৃত্তাকার পুলের জন্য প্রয়োজনীয় মোট কংক্রিটঃ বেস এলাকা = π x 9 ~ 28.27 মি2, প্রাচীর এলাকা = 2πr x h = 2πr x 3 x 1.5 ~ 28.27 মি। মোট পৃষ্ঠতল এলাকা ~ 56.5 মি2, 10 সেমি বেধে প্রায় 5.65 মি 3 কংক্রিটের প্রয়োজন।

ঘড়ির মুখ, পিজ্জার টুকরো, পাই চার্ট এবং ডার্টবোর্ড সবই সেক্টর জ্যামিতি ব্যবহার করে। একটি স্ট্যান্ডার্ড ডার্টবোর্ডের "20" সেগমেন্টে একটি ডার্ট অবতরণ (বাইরের ব্যাস 451 মিমি, সেগমেন্ট কোণ = 360 ডিগ্রি / 20 = 18 ডিগ্রি) আর্ক দৈর্ঘ্য (18/360) x π x 451 ~ 70.9 মিমি এবং সেক্টর এলাকা (18/360) x π x 225.52 ~ 7,998 মিমি 2 ~ 80 সেমি 2 সহ একটি সেক্টরে অবতরণ করে। পেশাদার টুর্নামেন্টের নিয়মগুলি বৃত্ত জ্যামিতি ব্যবহার করে এই মাত্রাগুলি সুনির্দিষ্টভাবে নির্দিষ্ট করে।