অসমতা ক্যালকুলেটর
ax + b > c আকারের রৈখিক বৈষম্যগুলি সমাধান করুন। সমাধান সেট এবং গ্রাফের বিবরণ পান। তাত্ক্ষণিক ফলাফলের জন্য এই বিনামূল্যে গণিত ক্যালকুলেটরটি ব্যবহার করুন। কোনও সাইনআপ নেই।
রৈখিক বৈষম্য সমাধানঃ ধাপে ধাপে পদ্ধতি
একটি রৈখিক বৈষম্য একটি রৈখিক সমীকরণের অনুরূপ কিন্তু সমীকরণের পরিবর্তে বৈষম্য চিহ্নগুলি (>, <, >=, <=) ব্যবহার করে। সমাধানটি একটি একক মান নয় বরং মানগুলির একটি পরিসীমা (বিভাজক) । রৈখিক বৈষম্যগুলি সমাধান করা সমীকরণের মতো একই বীজগাণিতিক নিয়ম অনুসরণ করে, একটি সমালোচনামূলক ব্যতিক্রম ব্যতীত।
সাইন-ফ্লিপ নিয়ম:যখন আপনি একটি অসাম্যের উভয় পক্ষকে একটি নেতিবাচক সংখ্যার দ্বারা গুণ বা ভাগ করেন, তখন অসাম্যের দিকটি বিপরীত হয়। এটিই সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম -- এবং ভুলের সবচেয়ে সাধারণ উৎস।
উদাহরণ 1: 2x + 3 <= 11 সমাধান করুন।
- উভয় পক্ষ থেকে 3 কে বিয়োগ করুনঃ 2x <= 8
- 2 দ্বারা ভাগ করুন (ধনাত্মক, তাই কোন ফ্লিপ): x <= 4
- সমাধানঃ x <= 4, যা অন্তর চিহ্নিতকরণে লেখা হয় (-∞, 4]
উদাহরণ ২ঃ -3x + 1 > 7 সমাধান করুন।
- উভয় পক্ষ থেকে 1 কে বিয়োগ করুনঃ -3x > 6
- -3 দ্বারা ভাগ করুন (নেতিবাচক! চিহ্নটি ঘুরিয়ে দিন): x < -2
- সমাধানঃ x < -2, লিখিত (-∞, -2)
ইন্টারভেল নোটেশন রেফারেন্স টেবিল
বৈষম্যের সমাধানগুলি অন্তর্বর্তী সংকেত ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়, যা অন্তর্বর্তী পয়েন্টগুলি অন্তর্ভুক্ত বা বাদ দেওয়া হয় কিনা তা নির্দেশ করার জন্য বন্ধনী এবং বন্ধনী ব্যবহার করে।
| বৈষম্য | অন্তর্বর্তী সংকেত | নাম্বার লাইন | শেষ পয়েন্ট অন্তর্ভুক্ত? |
|---|---|---|---|
| এক্স < 5 | (-∞, 5) | খোলা বৃত্ত 5, বাম তীর | না (৫ টি বাদ) |
| x <= 5 | (-∞, 5] | বন্ধ বৃত্ত 5, বাম তীর | হ্যাঁ (৫টি অন্তর্ভুক্ত) |
| এক্স > -2 | (-2, +∞) | খোলা বৃত্ত -2, ডান তীর | না (-2 বাদ) |
| x >= -2 | [-2, +∞) | বন্ধ বৃত্ত -2, ডান তীর | হ্যাঁ (-2 অন্তর্ভুক্ত) |
| -3 < x < 7 | (-3, 7) | খোলা বৃত্ত, ছায়াময় মধ্যে | কোন শেষ পয়েন্ট |
| -3 <= x <= 7 | [-3, 7] | বন্ধ বৃত্ত, মধ্যে shaded | উভয় শেষ পয়েন্ট |
| x < 0 বা x > 4 | (-∞, 0) (4, +∞) | দুটি পৃথক রশ্মি | ০ বা ৪ নয় |
প্রতীকের অর্থ "ইউনিয়ন" (উভয় সেটকে একত্রিত করে) । বর্গাকার বন্ধনী [ ] বন্ধ অন্তর (শেষ পয়েন্ট অন্তর্ভুক্ত) নির্দেশ করে। বন্ধনী ( ) খোলা অন্তর (শেষ পয়েন্ট বাদ) নির্দেশ করে। অসীম সর্বদা বন্ধনী ব্যবহার করে কারণ অসীম একটি প্রকৃত পৌঁছানো মান নয়।
যৌগিক বৈষম্যঃ AND এবং OR
যৌগিক বৈষম্য দুটি পৃথক বৈষম্যকে "এবং" বা "অথবা" দিয়ে একত্রিত করে এমন সমাধান তৈরি করে যা দুটি ব্যবধানের ছেদ বা ইউনিয়ন।
"এবং" যৌগিক বৈষম্য(সংযোগ) উভয় শর্ত একই সাথে সন্তুষ্ট করা প্রয়োজন। সমাধান উভয় সমাধান সেটগুলির ছেদ। উদাহরণঃ -2 < x + 1 <= 5। সমস্ত অংশ থেকে 1 বিয়োগ করুনঃ -3 < x <= 4। সমাধানঃ (-3, 4) ।
"বা" যৌগিক বৈষম্য(বিচ্ছিন্নতা) কমপক্ষে একটি শর্ত পূরণ করতে হবে। সমাধানটি ইউনিয়ন। উদাহরণঃ 2x - 1 < 3 বা 3x + 1 > 10. প্রতিটি সমাধান করুনঃ x < 2 বা x > 3. সমাধানঃ (-∞, 2) (3, +∞) ।
| কম্পাউন্ড টাইপ | উদাহরণ | সমাধান | গ্রাফের আকৃতি |
|---|---|---|---|
| এবং (উভয় শর্ত) | x > -1 এবং x < 4 | (-1, 4) | সীমিত সেগমেন্ট |
| অথবা (কোন শর্ত) | x < -2 OR x > 3 | (-∞,-2) (3,+∞) | দুই রশ্মি বাইরে |
| এবং (কোনও ওভারল্যাপ নেই) | x > 5 এবং x < 2 | (খালি সেট) | কোন সমাধান নেই |
| অথবা (সম্পূর্ণ ওভারল্যাপ) | x > 1 অথবা x < 8 | (-∞, +∞) | সকল বাস্তব সংখ্যা |
পরম মান বৈষম্য
নিখুঁত মান বৈষম্য মৌলিক নিয়ম ব্যবহার করে যৌগিক বৈষম্য রূপান্তরঃ
- "A" থেকে "b"(b > 0) -> -b < A < b (AND টাইপ -> সীমিত অন্তরাল)
- "A" থেকে "b"(b > 0) -> A < -b OR A > b (OR টাইপ -> দুটি রশ্মি)
- "A" থেকে "B" পর্যন্ত-> -b <= A <= b
- |A| ≥ b-> A <= -b OR A >= b
উদাহরণ ১ঃ x - 3 x < 5. নিয়ম প্রয়োগ করুন: -5 < x - 3 < 5. যোগ করুন 3: -2 < x < 8. সমাধান: (-2, 8)
উদাহরণ ২ঃ ২x + ১ ক্যাডেট >= ৭। নিয়মটি প্রয়োগ করুনঃ ২x + ১ <= -৭ অথবা ২x + ১ >= ৭। কেস ১ঃ ২x <= -৮ -> x <= -৪। কেস ২ঃ ২x >= ৬ -> x >= ৩। সমাধানঃ (-∞, -4] [3, +∞) ।
নিখুঁত মানের বৈষম্যগুলি ত্রুটি বিশ্লেষণে প্রদর্শিত হয় (ধরেক্সমাপিত - সত্যধরেক্স <= সহনশীলতা), দূরত্বের সমস্যা (ধরেক্স - কেন্দ্রধরেক্স < ব্যাসার্ধ), এবং নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা (ধরেক্স ত্রুটি সংকেতধরেক্স < থ্রেশহোল্ড) । এগুলি বোঝা প্রয়োগকৃত গণিত এবং প্রকৌশল জন্য অপরিহার্য।
চতুর্ভুজ এবং বহুপদী বৈষম্য
x2 এবং উচ্চতর শক্তির সাথে জড়িত বৈষম্যগুলির জন্য, পদ্ধতিটি আলাদা। একটি বর্গক্ষেত্র বৈষম্য যেমন ax2 + bx + c > 0 সহজ বীজগণিত ম্যানিপুলেশন দ্বারা সমাধান করা যাবে না - এর জন্য শিকড় এবং পরীক্ষার অন্তর খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
চতুর্ভুজ বৈষম্যের পদ্ধতিঃ
- সবকিছু একপাশে সরান:ax2 + bx + c > 0 (অথবা <, >=, <=) ফর্মটি পান।
- মূল খুঁজুনax2 + bx + c = 0 সমাধান করে ফ্যাক্টরিং, চতুর্ভুজ সূত্র, বা বর্গক্ষেত্রটি সম্পূর্ণ করে।
- একটি সাইন চার্ট তৈরি করুনঃমূলগুলি সংখ্যার রেখাকে ব্যবধানে বিভক্ত করে। প্রতিটি ব্যবধানে একটি বিন্দু পরীক্ষা করুন।
- কোন ব্যবধানটি বৈষম্য পূরণ করে তা চিহ্নিত করুন।
উদাহরণঃ x2 - x - 6 > 0. ফ্যাক্টরঃ (x - 3) (((x + 2) > 0. মূলঃ x = 3 এবং x = -2. তিনটি অন্তরঃ x < -2, -2 < x < 3, x > 3. পরীক্ষা x = -3: (-6) ((-1) = 6 > 0 . পরীক্ষা x = 0: (-3) ((2) = -6 < 0 . পরীক্ষা x = 4: (1) ((6) = 6 > 0 . সমাধানঃ (-∞, -2) (3, +∞) ।
| বৈষম্যের ধরন | পদ্ধতি | উদাহরণ | সমাধান |
|---|---|---|---|
| রৈখিকঃ ax + b > c | সরাসরি সমাধান (মনের সাইন ফ্লিপ) | 2x - 4 > 6 | x > 5 -> (5, +∞) |
| চতুর্ভুজঃ ax2 + bx + c > 0 | শিকড় + সাইন চার্ট | x2 - 4 > 0 | x < -2 বা x > 2 |
| যুক্তিসঙ্গতঃ p (x) /q (x) > 0 | সমালোচনামূলক পয়েন্ট + সাইন চার্ট | (x+1) / (x-2) > 0 | x < -1 বা x > 2 |
বাস্তব জীবনে বৈষম্যঃ প্রয়োগ এবং মডেলিং
বৈষম্যগুলি কার্যত প্রতিটি পরিমাণগত ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধতাকে মডেল করে। সমীকরণগুলির বিপরীতে যা সঠিক শর্তগুলি বর্ণনা করে, বৈষম্যগুলি কার্যকর অঞ্চলগুলি বর্ণনা করে - গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসীমা।
ব্যক্তিগত অর্থায়নঃ"যদি আমার মোট ঋণ পরিশোধ মোট আয়ের ৩৬% এর নিচে থাকে তবে আমি মাসিক গাড়ির পেমেন্ট সামর্থ্য করতে পারি।" যদি মোট আয় = $৫,০০০/মাস এবং অন্যান্য ঋণ = $৮০০/মাসঃ গাড়ির পেমেন্ট + ৮০০ <= ০.৩৬ x ৫০০০ = ১৮০০। গাড়ির পেমেন্ট <= $১,০০০।
ইঞ্জিনিয়ারিং ডিজাইন:একটি ব্রিজ বিমকে ব্যর্থতা ছাড়াই লোড এল পরিচালনা করতে হবে। সুরক্ষা ফ্যাক্টরের জন্য চাপ σ <= σ_yield/1.5 প্রয়োজন। এই বৈষম্যটি ন্যূনতম প্রয়োজনীয় বিম ক্রস সেকশন নির্ধারণ করে।
ওষুধ ও ডোজঃএকটি ওষুধ নিরাপদ হয় যখন রক্তের ঘনত্ব 10 এবং 20 মিলিগ্রাম / এল এর মধ্যে থাকেঃ 10 <= C(t) <= 20। ডোজিং স্কিমটি এই থেরাপিউটিক উইন্ডোতে ঘনত্ব বজায় রাখতে হবে - খুব কম কার্যকর নয়, খুব বেশি বিষাক্ত।
গুণমান নিয়ন্ত্রণঃএকটি উত্পাদন প্রক্রিয়া গ্রহণযোগ্য হয় যখন পরিমাপগুলি টার্গেটের +/-2σ এর মধ্যে পড়েঃ x - μ ∆ <= 2σ। এই পরিসরের বাইরে থাকা অংশগুলি প্রত্যাখ্যান করা হয়। পরিসংখ্যানগত প্রক্রিয়া নিয়ন্ত্রণ অবিচ্ছিন্নভাবে বৈষম্য পর্যবেক্ষণ ব্যবহার করে।
লিনিয়ার প্রোগ্রামিং:ব্যবসাগুলি P = 3x + 5y সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে লাভকে সর্বাধিক করে তোলেঃ x >= 0, y >= 0, 2x + y <= 100, x + 3y <= 90. সর্বোত্তম সমাধান সর্বদা সম্ভাব্য অঞ্চলের একটি শীর্ষে ঘটে (সমস্ত সীমাবদ্ধতা পূরণকারী অঞ্চল) । এটি অপারেশন গবেষণা এবং লজিস্টিক অপ্টিমাইজেশনের ভিত্তি।
সংখ্যার রেখা এবং সমন্বয় সমতল উপর অঙ্কন বৈষম্য
বৈষম্যগুলিকে দৃশ্যমান করা তাদের সমাধানের জন্য অন্তর্দৃষ্টি তৈরি করতে সহায়তা করে। একটি সংখ্যা লাইনে, এক-পরিবর্তনীয় বৈষম্যের সমাধানটি প্রতিনিধিত্ব করেঃ
- খোলা বৃত্তকঠোর বৈষম্য (< বা >) এর শেষ পয়েন্টে -- শেষ পয়েন্টটি অন্তর্ভুক্ত নয়
- বন্ধ বৃত্ত (পূর্ণ বিন্দু)অ-কঠোর বৈষম্যের জন্য (<= বা >=) -- শেষ পয়েন্ট অন্তর্ভুক্ত করা হয়
- ছায়াময় অঞ্চল(তীর বা লাইন) সমস্ত সমাধান মান নির্দেশ করে
দ্বি-পরিবর্তনশীল রৈখিক বৈষম্যের জন্য (2x + 3y <= 12), সমাধানটি সমন্বয় সমতলটিতে একটি অর্ধ-প্লেন। গ্রাফিক পদ্ধতিঃ (1) সীমানা লাইন 2x + 3y = 12 একটি ড্যাশেড লাইন (কঠোর বৈষম্য) বা কঠিন লাইন (অ-কঠোর) হিসাবে আঁকুন। (2) লাইনে নয় এমন একটি বিন্দু পরীক্ষা করুন (সাধারণত উত্স): 2(0) + 3(0) = 0 <= 12। পরীক্ষার পয়েন্টটি ধারণকারী দিকটি ছায়া করুন। ছায়াযুক্ত অঞ্চলটি বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে সমস্ত (x, y) জোড়া উপস্থাপন করে।
রৈখিক বৈষম্যগুলির সিস্টেমগুলি সম্ভাব্য অঞ্চলগুলি তৈরি করে যা একাধিক অর্ধ-প্লেনের ছেদ হয়। এই কনভেক্স বহুভুজ অঞ্চলগুলি রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের ভিত্তি - একটি সম্ভাব্য অঞ্চলে যে কোনও রৈখিক উদ্দেশ্য ফাংশনের সর্বোত্তম মান সর্বদা একটি শীর্ষে (কোণ পয়েন্ট) ঘটে।
প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী
যখন আপনি একটি অসাম্যের উভয় পক্ষকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার দ্বারা গুণ করেন তখন কি হয়?
বৈষম্যের দিকটি বিপরীত হয়। যদি a > b এবং c < 0 হয়, তবে ac < bc। উদাহরণঃ 3 > 1; -২ দ্বারা গুণ করুনঃ -6 < -2। এটি বৈষম্য বীজগণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম। চিহ্নটি ফ্লিপ করতে ভুলে যাওয়া সবচেয়ে সাধারণ ভুল। একটি নেতিবাচক দ্বারা ভাগ করার সময় (উদাহরণস্বরূপ, একটি নেতিবাচক সহগ সহ x বিচ্ছিন্ন করতে), সর্বদা বৈষম্যটি ফ্লিপ করুন।
অন্তরাল সংকেত কি?
অন্তরাল চিহ্নিতকরণ বন্ধনী এবং বন্ধনী ব্যবহার করে একটি বৈষম্যের সমাধান সেট বর্ণনা করে। বন্ধনী ( ) একটি উন্মুক্ত সীমানা নির্দেশ করে (শেষ বিন্দু বাদ); বন্ধনী [ ] একটি বন্ধ সীমানা নির্দেশ করে (শেষ বিন্দু অন্তর্ভুক্ত) । ইনফিনিটি সর্বদা বন্ধনী ব্যবহার করে। উদাহরণঃ x > 3 -> (3, +∞); x <= 7 -> (-∞, 7); 2 <= x < 9 -> [2, 9]
একটি রৈখিক বৈষম্যের কোন সমাধান থাকতে পারে না?
হ্যাঁ। যদি x এর সহগ 0 হয় এবং ফলস্বরূপ বিবৃতিটি মিথ্যা হয়, তবে কোনও সমাধান নেই। উদাহরণঃ 0·x + 5 < 3 5 < 3 এ সরলীকৃত হয়, যা সর্বদা মিথ্যা - কোনও সমাধান নেই (খালি সেট) । বিপরীতভাবে, যদি সরলীকৃত বিবৃতিটি সর্বদা সত্য হয় (5 > 3), সমস্ত বাস্তব সংখ্যা সমাধান।
সমীকরণ সমাধানের থেকে বৈষম্য সমাধানের পার্থক্য কী?
প্রক্রিয়াটি প্রায় অভিন্ন, ব্যতীতঃ (1) সমাধানটি নির্দিষ্ট মানের পরিবর্তে একটি অন্তর (বা অন্তরগুলির ইউনিয়ন) হয়; (2) একটি নেতিবাচক সংখ্যার দ্বারা গুণিতকরণ / বিভাজন অসাম্য চিহ্নটি উল্টে দেয়। একটি সমীকরণ ax + b = c এর সর্বাধিক একটি সমাধান রয়েছে (a ≠ 0 এর জন্য); একটি অসাম্য ax + b < c এর একটি অন্তর গঠন করে অসীমভাবে অনেক সমাধান রয়েছে।
"কঠোর" বনাম "অ-কঠোর" বৈষম্য বলতে কী বোঝায়?
কঠোর বৈষম্য (<, >) সীমানা মানকে বাদ দেয়; শেষ পয়েন্ট সমাধানের অংশ নয়। অ-কঠোর বৈষম্য (<=, >=) সীমানা মান অন্তর্ভুক্ত করে। একটি সংখ্যা লাইনে, কঠোর -> খোলা বৃত্ত (গহ্বর বিন্দু); অ-কঠোর -> বন্ধ বৃত্ত (পূর্ণ বিন্দু) । অন্তরাল সংকেতে, কঠোর -> বন্ধনী; অ-কঠোর -> বন্ধনী।
আপনি কিভাবে একটি পরম মান বৈষম্য সমাধান করবেন?
A < b -> -b < A < b (সীমাবদ্ধ অন্তর) । A < b OR A > b (দুই রশ্মি) । সর্বদা পরীক্ষা করুন যে b > 0 প্রথমঃ যদি b <= 0, A < b কোন সমাধান আছে (নিরপেক্ষ মান অ ঋণাত্মক হয়); A < b (বি < 0 সঙ্গে) সমাধান হিসাবে সব বাস্তব সংখ্যা আছে।
x2 < 4 এর সমাধান সেট কি?
x2 < 4 মানে "x" < 2, সুতরাং -2 < x < 2. সমাধান: (-2, 2) যাচাই করুনঃ x = 1.5, 1.52 = 2.25 < 4। x = 2, 4 < 4 মিথ্যা (কঠোর বৈষম্য, শেষ পয়েন্ট বাদ দিয়ে) । x = 3, 9 < 4 মিথ্যা।
আপনি কিভাবে বৈষম্য একটি সিস্টেম গ্রাফ?
প্রতিটি বৈষম্যকে পৃথকভাবে চিত্রিত করুন, প্রতিটিটির জন্য কার্যকর অর্ধ-প্লেনকে ছায়া করুন। সিস্টেমের সমাধানটি হ'ল একই সাথে সমস্ত বৈষম্য দ্বারা ছায়াযুক্ত অঞ্চল (সংযোগ) । 3 বা ততোধিক বৈষম্যযুক্ত সিস্টেমের জন্য, কার্যকর অঞ্চলটি সীমানা রেখাগুলির ছেদগুলিতে শীর্ষগুলি সহ একটি বহুভুজ হতে পারে। এই শীর্ষগুলি রৈখিক প্রোগ্রামিং অপ্টিমাইজেশনের জন্য গুরুত্বপূর্ণ।
একটি যুক্তিসঙ্গত বৈষম্য কি এবং আমি কিভাবে এটি সমাধান করব?
একটি যুক্তিসঙ্গত বৈষম্য p(x) / q(x) > 0 (অথবা <, >=, <=) এর আকারে থাকে। সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি হল যেখানে p(x) = 0 (গণনাকারী শূন্য) বা q(x) = 0 (নামক শূন্য - ডোমেন থেকে বাদ দেওয়া হয়েছে) । এই পয়েন্টগুলি সংখ্যার রেখাকে ব্যবধানে বিভক্ত করে। প্রতিটি ব্যবধান পরীক্ষা করুনঃ একটি যুক্তিসঙ্গত অভিব্যক্তির প্রতিটি ব্যবধানের মধ্যে ধ্রুবক চিহ্ন রয়েছে। এমন ব্যবধানগুলি সংগ্রহ করুন যেখানে অভিব্যক্তিটি বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। দ্রষ্টব্যঃ নামক শূন্যগুলি কখনই অন্তর্ভুক্ত করা হয় না, এমনকি >= বা <= সহ।
অসমতার কি কোন সমাধান নেই অথবা অসীম সংখ্যক সমাধান আছে?
একটি রৈখিক বৈষম্য সাধারণত অসীম সংখ্যক সমাধান (একটি অন্তরাল) থাকে। বিশেষ ক্ষেত্রেঃ (1) কোন সমাধান নেইঃ যখন বৈষম্য 3 < 1 এর মতো মিথ্যা বিবৃতিতে সরলীকৃত হয়। এটি বিরোধী যৌগিক এবং বৈষম্যগুলির সাথে ঘটে (x > 5 এবং x < 2 -> খালি সেট) । (2) সমস্ত বাস্তব সংখ্যাঃ যখন এটি 1 < 3 এর মতো সর্বদা সত্য বিবৃতিতে সরলীকৃত হয়। অথবা বৈষম্যগুলি সমস্ত বাস্তবকে কভার করতে পারেঃ x > 1 বা x < 2 -> সমস্ত বাস্তব, যেহেতু প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা কমপক্ষে একটি শর্ত পূরণ করে।