ত্রিভুজ ক্যালকুলেটর - এলাকা, পেরিমিটার এবং কোণ
এই ফ্রি অনলাইন গণিত ক্যালকুলেটরটি আপনাকে তাত্ক্ষণিকভাবে ধাপে ধাপে ফলাফল দেয়।
ত্রিভুজের মৌলিক বিষয়: পাশ, কোণ এবং ১৮০ ডিগ্রি নিয়ম
একটি ত্রিভুজ একটি বহুভুজ যার ঠিক তিনটি পাশ এবং তিনটি অভ্যন্তরীণ কোণ রয়েছে। ইউক্লিডীয় (সমতল) জ্যামিতিতে যে কোনও ত্রিভুজের সবচেয়ে মৌলিক বৈশিষ্ট্য হ'ল এর তিনটি অভ্যন্তরীণ কোণ সর্বদা ঠিক 180 ডিগ্রি যোগ করে। এই নিয়মটি গণনাতে ক্রমাগত ব্যবহৃত হয়ঃ যদি আপনি দুটি কোণ জানেন তবে তৃতীয়টি কেবল 180 ডিগ্রি অন্য দুটি বিয়োগ হয়।
প্রতিটি ত্রিভুজওত্রিভুজ বৈষম্য উপপাদ্য: প্রতিটি পক্ষ অন্য দুই পক্ষের যোগফলের চেয়ে ছোট হতে হবে। যদি আপনি এই নিয়ম লঙ্ঘনকারী পক্ষগুলি প্রদান করেন (যেমন, পক্ষ 1, 2, এবং 10), কোন বাস্তব ত্রিভুজ বিদ্যমান নেই। আমাদের ক্যালকুলেটর এটি সনাক্ত করে এবং একটি ত্রুটি ফেরত দেয়।
| ত্রিভুজ টাইপ | পাশের অবস্থা | কোণ অবস্থা | উদাহরণস্বরূপ |
|---|---|---|---|
| সমান্তরাল | a = b = c | সব 60 ডিগ্রী | ৫, ৫, ৫ |
| আইসোসেলেস | দুই পক্ষ সমান | দুটি সমান বেস কোণ | ৫, ৫, ৭ |
| স্কেলিন | সব পক্ষই আলাদা | সমস্ত কোণ ভিন্ন | ৩, ৫, ৭ |
| ঠিক আছে | a2 + b2 = c2 | এক কোণ = ৯০ ডিগ্রি | ৩, ৪, ৫ |
| ময়নাতদন্ত | c2 > a2 + b2 | এক কোণ > 90 ডিগ্রী | ৪, ৫, ৮ |
| তীব্র | সব: c2 < a2 + b2 | সমস্ত কোণ < 90 ডিগ্রি | ৫, ৬, ৭ |
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের জন্য একাধিক সূত্র রয়েছে, যার প্রত্যেকটি বিভিন্ন উপলব্ধ তথ্যের জন্য উপযুক্ত।
১. বেস এবং উচ্চতা (সবচেয়ে সাধারণ):
আয়তন = 1⁄2 x বেস x উচ্চতা
উচ্চতা অবশ্যই বেসের সাথে উল্লম্ব হতে হবে। উদাহরণঃ বেস = 8, উচ্চতা = 5 -> এলাকা = 1⁄2 x 8 x 5 =২০ বর্গ একক.
২. হেরনের সূত্র (তিনটি দিক পরিচিত):
প্রথমে আধা-পেরিমিটার গণনা করুন: s = (a + b + c) / 2
তারপরঃ এলাকা = √(s(s-a) ((s-b) ((s-c))
উদাহরণঃ পাশ 5, 7, 8 -> s = 10 -> এলাকা = √(10 x 5 x 3 x 2) = √300 ~১৭.৩২ বর্গ একক.
৩. দুই পাশ এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ (এসএএস):
এলাকা = 1⁄2 x a x b x sin ((C)
উদাহরণঃ a = 6, b = 8, C = 30 ডিগ্রি -> এলাকা = 1⁄2 x 6 x 8 x পাপ ((30 ডিগ্রি) = 1⁄2 x 48 x 0.5 =১২ বর্গ একক.
| দেওয়া হয়েছে | সূত্র | নোটস |
|---|---|---|
| বেস + উচ্চতা | 1⁄2 এক্স বি এক্স এইচ | অত্যন্ত স্বজ্ঞাত |
| তিন দিক | √(এসএসএস-এ) | হেরনের সূত্র |
| দুই পাশ + কোণ | 1⁄2ab সাইন সি | এসএএস -- প্রয়োজন ট্রাইগনোমিক্স |
| স্থানাঙ্ক | অর্ধেক x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2) | জুতার দুলের সূত্র |
পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য
পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি একচেটিয়াভাবে ডানদিকের ত্রিভুজগুলিতে প্রযোজ্যঃ একটি ডানদিকের ত্রিভুজে পা a এবং b এবং হাইপোটেনাস c সহ,a2 + b2 = c2. হাইপোটেনাস সর্বদা দীর্ঘতম দিক, যা ৯০ ডিগ্রি কোণের ঠিক বিপরীত।
এই উপপাদ্যটি প্রাচীন ব্যাবিলন এবং মিশরে পাইথাগোরাস এর ১,০০০ বছর আগে পরিচিত ছিল - প্রায় ১৮০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দ থেকে একটি মাটির ট্যাবলেট (প্লিম্পটন ৩২২) পাইথাগোরিয়ান ট্রিপল তালিকাভুক্ত করে। নাম সত্ত্বেও, এটি ইউক্লিডের প্রমাণের মাধ্যমে গ্রিক জ্যামিতির একটি মূল ভিত্তি হয়ে ওঠে।
পাইথাগোরিয়ান ট্রিপলপূর্ণসংখ্যা সেট যা a2 + b2 = c2 পূরণ করেঃ
| a | b | c | চেক |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯ । |
| 8 | 15 | 17 | ৬৪ + ২২৫ = ২৮৯ |
| 7 | 24 | 25 | ৪৯ + ৫৭৬ = ৬২৫ |
| 20 | 21 | 29 | ৪০০ + ৪৪১ = ৮৪১ |
পাইথাগোরিয়ান ট্রিপলগুলি নির্মাণে ব্যবহৃত হয় (৩-৪-৫ পদ্ধতি একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র কোণ নিশ্চিত করে) এবং বিনোদনমূলক গণিতে।
সাইনস আইন এবং কোসাইনস আইন
অ-সঠিক ত্রিভুজগুলির জন্য, দুটি মৌলিক আইন অজানা পক্ষ এবং কোণের সমাধান করতে সক্ষম করে।
পাপের আইন:a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin (C)
এটি প্রযোজ্য যখন আপনি জানেনঃ দুটি কোণ এবং একটি দিক (এএএস বা এএসএ), বা দুটি দিক এবং একটি কোণ তাদের মধ্যে নয় (এসএসএ - দ্ব্যর্থক ক্ষেত্রে) ।
উদাহরণ:ত্রিভুজ ABC তে, কোণ A = 45 ডিগ্রি, কোণ B = 60 ডিগ্রি, পাশ a = 10। পাশ b খুঁজুন।
b / sin ((60 ডিগ্রী) = 10 / sin ((45 ডিগ্রী) -> b = 10 x sin ((60 ডিগ্রী) / sin ((45 ডিগ্রী) = 10 x 0.866 / 0.707 ~১২.২৫
কোসাইনস আইন:c2 = a2 + b2 - 2ab x cos ((C)
এটি প্রযোজ্য যখন আপনি জানেনঃ দুটি দিক এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ (এসএএস), বা তিনটি দিক (এসএসএস - কোণ খুঁজতে) । এটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণঃ যখন সি = 90 ডিগ্রি, কস ((90 ডিগ্রি) = 0 এবং সূত্রটি c2 = a2 + b2 এ হ্রাস পায়।
উদাহরণ:পাশ a = 5, b = 7, C = 120 ডিগ্রী. c খুঁজুন.
c2 = 25 + 49 - 2 (((5) 7) cos ((120 ডিগ্রি) = 74 - 70 ((-0.5) = 74 + 35 = 109 -> c ~১০.৪৪
বিশেষ ত্রিভুজ: বৈশিষ্ট্য এবং সঠিক মান
ত্রিভুজবিজ্ঞান, প্রকৌশল, এবং স্থাপত্যশাস্ত্রে তিনটি বিশেষ ত্রিভুজ ক্রমাগত উপস্থিত হয় কারণ তাদের কোণগুলি সঠিক, পরিষ্কার ত্রিভুজবিজ্ঞান মান প্রদান করে।
৩০-৬০-৯০ ত্রিভুজ:১: √৩: ২ অনুপাতের পাশে যদি সংক্ষিপ্ত পা ১ হয়, দীর্ঘ পা হবে √৩ ~ ১.৭৩২, এবং হাইপোটেনাস হবে ২। এই ত্রিভুজটি একটি সমকোণ ত্রিভুজের অর্ধেক যা তার উচ্চতা বরাবর কাটা হয়।
৪৫-৪৫-৯০ ত্রিভুজউভয় পা সমান; হাইপোটেনাস হল √2 ~ 1.414 গুণ একটি পা। এটি তার ডায়াগোনাল বরাবর কাটা একটি বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক।
সমান্তরাল ত্রিভুজ:সব দিক সমান, সব কোণ ৬০ ডিগ্রি। পাশের দৈর্ঘ্য s এর জন্যঃ এলাকা = (√3/4) x s2; উচ্চতা = (√3/2) x s।
| ত্রিভুজ | কোণ | পাশের অনুপাত | এলাকা (ইউনিট পাশ) |
|---|---|---|---|
| সমান্তরাল | 60-60-60 ডিগ্রী | ১: ১: ১ | √3/4 ~ 0.433 |
| ৩০-৬০-৯০ | 30-60-90 ডিগ্রী | ১ঃ √৩ঃ ২ | √3/4 ~ 0.433 |
| ৪৫-৪৫-৯০ | 45-45-90 ডিগ্রী | ১ঃ ১ঃ √২ | ৫.৫ |
| ডান আইসোসেলস | 45-45-90 ডিগ্রী | ১ঃ ১ঃ √২ | ৫.৫ |
ত্রিভুজ পেরিমিটার এবং সেমি-পেরিমিটার
দ্যপরিধিP = a + b + c. P = a + b + c.আধা-পেরিমিটারs = P/2 এলাকার জন্য হেরনের সূত্র এবং inradius (অঙ্কিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ) এবং circumradius (অঙ্কিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ) এর সূত্রগুলিতে প্রদর্শিত হয়।
- ইনরেডিয়াসr = এলাকা / সেকেন্ড -- বৃহত্তম বৃত্তের ব্যাসার্ধ যা ত্রিভুজের ভিতরে ফিট করে
- পরিধি ব্যাসার্ধR = abc / (4 x এরিয়া) -- বৃত্তের ব্যাসার্ধ যা তিনটি শীর্ষের মধ্য দিয়ে যায়
A, b এবং hypotenuse c সহ একটি ডানদিকের ত্রিভুজের জন্য: inradius r = (a + b - c) / 2; circumradius R = c / 2। একটি ডানদিকের ত্রিভুজের circumcenter সঠিকভাবে hypotenuse এর মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত - একটি দরকারী নির্মাণ ঘটনা।
ত্রিভুজ গণনার বাস্তব-বিশ্বের প্রয়োগ
ইঞ্জিনিয়ারিং এবং প্রকৃতিতে ত্রিভুজ হল সবচেয়ে কাঠামোগত মৌলিক আকৃতি। তাদের কঠোর জ্যামিতি তাদের অনন্যভাবে বিকৃতি প্রতিরোধী করে তোলে - একটি ত্রিভুজকে অন্তত একটি পাশের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন না করে বিকৃত করা যায় না, একটি সম্পত্তি অন্য কোন বহুভুজ ভাগ করে না।
- স্ট্রাকচারাল ইঞ্জিনিয়ারিং:সেতু ও ছাদের কাঠামো সম্পূর্ণরূপে ত্রিভুজ দিয়ে তৈরি। ত্রিভুজাকার কাঠামো লোডগুলিকে দক্ষতার সাথে বিতরণ করে এবং সংকোচনের অধীনে বক্রতা প্রতিরোধ করে।
- ন্যাভিগেশন এবং জরিপঃত্রিভুজ বিশ্লেষণ দুইটি পরিচিত পয়েন্ট থেকে কোণ পরিমাপ করে তৃতীয় পয়েন্টের অবস্থান নির্ণয় করে -- জিপিএস এবং ভূমি জরিপের ভিত্তি।
- স্থাপত্যঃপিরামিড, এ-ফ্রেম ঘর এবং গেবল ছাদগুলি ত্রিভুজ ভিত্তিক। পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি স্থপতিদের যে কোনও ছাদ পিচের জন্য রাফটার দৈর্ঘ্যের গণনা করতে সহায়তা করে।
- কম্পিউটার গ্রাফিক্স:সমস্ত 3 ডি মডেলগুলি ত্রিভুজাকার বহুভুজ (মেশ) থেকে নির্মিত। গেম ইঞ্জিন বা সিএডি মডেলের প্রতিটি মুখ একটি ত্রিভুজ।
- পদার্থবিজ্ঞান:বলের ভেক্টরগুলি ত্রিভুজ বিভাজন ব্যবহার করে উপাদানগুলিতে সমাধান করা হয়। সাইন নিয়ম এবং কোসাইন নিয়ম যান্ত্রিকতা, অপটিক্স এবং স্ফটিকবিদ্যায় উপস্থিত হয়।
- দৌড়ানো/পর্বতারোহণঃপথের দূরত্ব হিসাব করা যখন পথের মধ্য দিয়ে একটি শর্টকাট নেয়া হয় -- সরল-রেখার দূরত্ব হল পূর্ব-পশ্চিম এবং উত্তর-দক্ষিণ স্থানান্তর দ্বারা গঠিত একটি ডান ত্রিভুজের হাইপোটেনাস।
ত্রিভুজ সামঞ্জস্য এবং সাদৃশ্য
দুইটি ত্রিভুজসামঞ্জস্যপূর্ণ(আকার ও আকৃতিতে একই) যদি তারা নিম্নলিখিত কোন শর্ত পূরণ করেঃ
- এসএসএসঃতিনটি সংশ্লিষ্ট পক্ষই সমান
- এসএএস:দুই পাশ এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান
- ASA:দুই কোণ এবং অন্তর্ভুক্ত পাশ সমান
- AAS:দুটি কোণ এবং একটি অন্তর্ভূক্ত নয় পাশ সমান
- HL (শুধুমাত্র ডান ত্রিভুজ):হাইপোটেনাস এবং একটি পা সমান
দুইটি ত্রিভুজঅনুরূপ(একই আকৃতি, ভিন্ন আকার) যদি তাদের সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান হয় (এএ শর্ত যথেষ্ট) । অনুরূপ ত্রিভুজগুলির সমানুপাতিক দিক থাকে, যা ছায়া পরিমাপ, স্কেল অঙ্কন এবং একটি সাধারণ পরিমাপ লাঠি এবং ছায়া ছুঁড়ে উচ্চ ভবনের উচ্চতার গণনার ভিত্তি।
প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী
আমি কিভাবে একটি ত্রিভুজ মধ্যে একটি অনুপস্থিত কোণ খুঁজে পেতে পারি?
যেহেতু সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল 180 ডিগ্রি, তাই 180 ডিগ্রি থেকে পরিচিত কোণগুলি বিয়োগ করুন। উদাহরণঃ কোণ 45 ডিগ্রি এবং 65 ডিগ্রি জানা আছে -> তৃতীয় কোণ = 180 ডিগ্রি - 45 ডিগ্রি - 65 ডিগ্রি = 70 ডিগ্রি। যদি আপনি দুটি পক্ষ এবং একটি কোণ জানেন তবে সাইনস আইন বা কোসাইনস আইন ব্যবহার করুন।
পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য কি এবং আমি কখন এটি ব্যবহার করতে পারি?
শুধুমাত্র সোজা ত্রিভুজগুলির জন্য: a2 + b2 = c2, যেখানে c হ'ল হাইপোটেনাস। এটি ব্যবহার করুন যখন আপনার একটি সোজা ত্রিভুজের দুটি দিক থাকে এবং তৃতীয়টির প্রয়োজন হয়। উদাহরণঃ পা 3 এবং 4 -> হাইপোটেনাস = √(9+16) = √25 = 5।
একটি ত্রিভুজের দুটি ডান কোণ থাকতে পারে?
না। দুটি ডান কোণের যোগফল 180 ডিগ্রি, তৃতীয় কোণের জন্য 0 ডিগ্রি রেখে, যা জ্যামিতিকভাবে অসম্ভব। ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, একটি ত্রিভুজ সর্বাধিক একটি ডান কোণ এবং সর্বাধিক একটি obtuse কোণ থাকতে পারে।
আমি কিভাবে একটি ত্রিভুজের আয়তন গণনা করব যখন আমি কেবল তিনটি দিকই জানি?
হেরনের সূত্র ব্যবহার করুনঃ s = (a+b+c) / 2; এলাকা = √(s-a) ((s-b) ((s-c)). উদাহরণঃ পাশ 6, 8, 10 -> s = 12 -> এলাকা = √(12x6x4x2) = √576 = 24 বর্গ একক।
সাইনস আইন এবং কোসাইনস আইন এর মধ্যে পার্থক্য কি?
সাইনস আইন (a/sinA = b/sinB = c/sinC) তখন ব্যবহার করা হয় যখন আপনি দুটি কোণ এবং একটি পাশ (AAS/ASA) বা দুটি পাশ এবং একটি অন্তর্ভুক্ত কোণ (SSA) জানেন। কোসাইনস আইন (c2 = a2+b2-2ab·cosC) তখন ব্যবহার করা হয় যখন আপনি তিনটি পাশ (SSS) বা দুটি পাশ এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ (SAS) জানেন।
৩-৪-৫ ত্রিভুজ কিসের জন্য ব্যবহৃত হয়?
3-4-5 ডান ত্রিভুজটি নির্মাণে নিখুঁতভাবে বর্গাকার কোণ তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। একটি প্রাচীর বরাবর 3 ইউনিট এবং একটি সংলগ্ন প্রাচীর বরাবর 4 ইউনিট পরিমাপ করুন। যদি এই দুটি পয়েন্টের মধ্যে তির্যকটি ঠিক 5 ইউনিট হয় তবে কোণটি নিখুঁতভাবে 90 ডিগ্রি হয়। মাল্টিপলস (6-8-10, 9-12-15) সমানভাবে ভাল কাজ করে।
দশ নম্বর পাশের সমকোণ ত্রিভুজের আয়তন কত?
এলাকা = (√3/4) x s2 = (√3/4) x 100 = 25√3 ~ 43.30 বর্গ একক। সমকোণ ত্রিভুজের উচ্চতা হল (√3/2) x s = 5√3 ~ 8.66।
আমি কিভাবে একটি ত্রিভুজের উচ্চতা বের করব?
এলাকা সূত্রটি পুনরায় সাজানঃ উচ্চতা = 2 x এলাকা / বেস। প্রথমে হেরনের সূত্র ব্যবহার করে এলাকা গণনা করুন (যদি আপনি তিনটি পক্ষই জানেন), তারপরে বিভক্ত করুনঃ এইচ = 2 এ / বি। সমকোণযুক্ত ত্রিভুজগুলির জন্যঃ এইচ = (√ 3 / 2) এক্স পাশ।
একটি ত্রিভুজের তিনটি পক্ষই কি সমান হতে পারে?
হ্যাঁ, এটি একটি সম-পার্শ্বযুক্ত ত্রিভুজ। তিনটি দিকই সমান, তিনটি কোণই সমান (৬০ ডিগ্রি), এবং এর তিনটি সমান্তরাল রেখা রয়েছে। এটি সবচেয়ে সমান্তরাল ত্রিভুজ এবং এটি প্রাকৃতিকভাবে মধুচক্র, স্ফটিক কাঠামো এবং টাইলিং প্যাটার্নগুলিতে পাওয়া যায়।
ত্রিভুজ বৈষম্য উপপাদ্য কি?
একটি বৈধ ত্রিভুজের জন্য, যেকোন দুটি পক্ষের যোগফল অবশ্যই তৃতীয় পক্ষের চেয়ে কঠোরভাবে বড় হতে হবে। যদি পক্ষগুলি a, b, c হয় তবেঃ a + b > c, a + c > b, এবং b + c > a অবশ্যই সব ধরে রাখতে হবে। পক্ষ 2, 3, 6 ব্যর্থ হয় (2 + 3 = 5 < 6) - কোনও ত্রিভুজ গঠন করা যায় না।
মধ্যমা, উচ্চতা এবং ত্রিভুজ কেন্দ্র
প্রতিটি ত্রিভুজের বেশ কয়েকটি উল্লেখযোগ্য পয়েন্ট (কেন্দ্র) রয়েছে যা শীর্ষ বা মধ্যপয়েন্ট থেকে টানা লাইনগুলির ছেদ দ্বারা গঠিত হয়। এই জ্যামিতিক কেন্দ্রগুলির ইঞ্জিনিয়ারিং এবং ডিজাইনে মার্জিত বৈশিষ্ট্য এবং ব্যবহারিক অ্যাপ্লিকেশন রয়েছেঃ
সেন্ট্রয়েড (জি):তিনটি মিডিয়ানগুলির ছেদ (প্রতিটি শীর্ষ থেকে বিপরীত দিকের মধ্যবিন্দু পর্যন্ত লাইন) । সেন্ট্রয়েড হ'ল জ্যামিতিক ভর কেন্দ্র - অভিন্ন ঘনত্বের সমতল ত্রিভুজাকার প্লেটটি ঠিক সেন্ট্রয়েডে ভারসাম্য বজায় রাখবে। এটি প্রতিটি মিডিয়ানকে 2:1 অনুপাতে শীর্ষ থেকে মধ্যবিন্দুতে বিভক্ত করে।
সার্কুমসেন্টার (ও):তিনটি পক্ষের উল্লম্ব দ্বিভুজগুলির ছেদ। পরিধি কেন্দ্রটি তিনটি শীর্ষ থেকে সমান দূরত্বে রয়েছে - এটি পরিবেষ্টিত বৃত্তের কেন্দ্র। তীক্ষ্ণ ত্রিভুজগুলির জন্য, এটি ভিতরে অবস্থিত; ডান ত্রিভুজগুলির জন্য, হাইপোটেনাসের মধ্যবিন্দুতে; obtuse ত্রিভুজগুলির জন্য, ত্রিভুজের বাইরে।
ইনসেন্টার (আই):তিনটি কোণ বিসেক্টরগুলির ছেদ। ইনসেন্টার হ'ল লিখিত বৃত্তের কেন্দ্র (ইনসার্কেল) - বৃহত্তম বৃত্ত যা ত্রিভুজটির অভ্যন্তরে ফিট করে। এটি সর্বদা ত্রিভুজের অভ্যন্তরে থাকে। ইনরেডিয়াম r = এলাকা / s, যেখানে s আধা-পেরিমিটার।
অরথোসেন্টার (এইচ):তিনটি উচ্চতার ছেদ (প্রতিটি শীর্ষ থেকে বিপরীত দিকে উল্লম্ব লাইন) । তীক্ষ্ণ ত্রিভুজগুলির জন্য এটি ভিতরে; ডান ত্রিভুজগুলির জন্য, ডান কোণ শীর্ষে; obtuse ত্রিভুজগুলির জন্য, বাইরে।
| কেন্দ্র | দ্বারা সংজ্ঞায়িত | অবস্থান | মূল সম্পত্তি |
|---|---|---|---|
| সেন্ট্রয়েড | মিডিয়ান | সবসময় ভিতরে | ভর কেন্দ্র |
| সার্কামসেন্টার | পাশের বিসেক্টর | ভিতরে (তীব্র), বাইরে (মৃত্যু) | বৃত্তের কেন্দ্র |
| ইনসেন্টার | কোণ বিভাজক | সবসময় ভিতরে | ইনসার্কলের কেন্দ্র |
| অরথোসেন্টার | উচ্চতা | ভিতরে (তীব্র), বাইরে (মৃত্যু) | প্রতিফলন বৈশিষ্ট্য |
একটি অসাধারণ সত্য: যে কোন ত্রিভুজের সেন্ট্রয়েড, সার্কিমসেন্টার, এবং অরথোসেন্টার সমান্তরাল -- তারা সবইইউলার লাইনসেন্ট্রয়েড ১ঃ২ অনুপাতে পরিধি কেন্দ্র থেকে অর্থোসেন্টারে বিভাজন করে। তিনটি স্বাধীনভাবে সংজ্ঞায়িত জ্যামিতিক কেন্দ্রের মধ্যে এই গভীর সংযোগটি ক্লাসিক্যাল জ্যামিতির অন্যতম মার্জিত ফলাফল, যা লিওনহার্ড অয়েলার ১৭৬৫ সালে আবিষ্কার করেছিলেন এবং প্রতিটি ত্রিভুজের মধ্যে লুকানো সামঞ্জস্যকে প্রতিফলিত করেন।
ইনসেন্টারটি ইউলারের লাইনে পড়ে না (সমকোণ ত্রিভুজ ব্যতীত যেখানে এটি সিমট্রি অক্ষের কেন্দ্রস্থল এবং পরিধি কেন্দ্রের সাথে মিলিত হয়) । এটি ইনসেন্টারকে চারটি ধ্রুপদী ত্রিভুজ কেন্দ্রের মধ্যে "অদ্ভুত এক" করে তোলে, তবুও এটির সবচেয়ে ব্যবহারিক প্রকৌশলীয় গুরুত্ব রয়েছে - ইনসার্কেলটি বৃহত্তম বর্জ্য-মুক্ত বৃত্তকে সংজ্ঞায়িত করে যা একটি ত্রিভুজাকার উপাদান থেকে কাটা যেতে পারে।
প্রকৃতি ও স্থাপত্যের ত্রিভুজ
ত্রিভুজগুলি একমাত্র বহুভুজ যা স্বতঃস্ফূর্তভাবে শক্ত - একটি শীর্ষে একটি বল প্রয়োগ করা আকার পরিবর্তন করে না যদি না পাশের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন হয়। অন্যান্য সমস্ত বহুভুজ পাশের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন না করে বল প্রয়োগ করে বিকৃত হতে পারে (একটি বর্গক্ষেত্রকে সমান্তরাল হিসাবে ঠেলে দেওয়া যেতে পারে), তবে একটি ত্রিভুজ বিকৃতিকে সম্পূর্ণরূপে প্রতিরোধ করে। এই জ্যামিতিক দৃ rigid়তা হ'ল ত্রিভুজগুলি কাঠামোগত প্রকৌশলের মৌলিক বিল্ডিং ব্লক।
আইফেল টাওয়ার তার ওজন দক্ষতার সাথে বহন করতে হাজার হাজার ত্রিভুজাকার ট্রাস বিভাগ ব্যবহার করে। ইস্পাত সেতু (ওয়ারেন ট্রাস, প্র্যাট ট্রাস) লোডগুলিকে ত্রিভুজাকার প্যানেলে বিভক্ত করে যেখানে শক্তিগুলি বিশুদ্ধভাবে সংকোচন বা প্রসার্য - কোনও নমন নয় - কাঠামোটিকে তার ওজনের জন্য অসাধারণভাবে দক্ষ করে তোলে। বিমানের ফিউজেলাগুলি এবং উইংস একই কারণে ত্রিভুজাকার কাঠামোর উপর নির্ভর করে।
প্রকৃতিতে, ত্রিভুজাকার বিন্যাসগুলি স্ফটিক, সাবান ফিল্মের ন্যূনতম পৃষ্ঠ, পোকামাকড়ের যৌগিক চোখ এবং প্রোটিনের মাধ্যমিক কাঠামোতে উপস্থিত হয়। অনেক স্ফটিক গ্রিডে (যেমন, গ্রাফিন) পরমাণুর ত্রিভুজাকার বিন্যাস হীরা এবং গ্রাফিনের মতো উপকরণগুলিকে ব্যতিক্রমী শক্তি-থেকে-ওজন অনুপাত দেয়।
ত্রিভুজ সমাধানঃ সম্পূর্ণ রেফারেন্স
একটি ত্রিভুজকে "সমাধান" করার অর্থ হল ছয়টি পরিমাণ নির্ধারণ করাঃ তিনটি দিক এবং তিনটি কোণ। একটি অনন্য ত্রিভুজ সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করতে আপনার কমপক্ষে তিনটি তথ্যের প্রয়োজন (যার মধ্যে কমপক্ষে একটি পাশের দৈর্ঘ্য) ।
| দেওয়া হয়েছে | পদ্ধতি | সমাধানের সংখ্যা |
|---|---|---|
| এসএসএস (তিনটি দিক) | কোসাইনস আইন কোণ খোঁজার জন্য | 1 (যদি বৈধ ত্রিভুজ) |
| এসএএস (দুই পক্ষ + অন্তর্ভুক্ত কোণ) | কোসাইনস আইন, তারপর সাইনস আইন | 1 |
| ASA (দুই কোণ + অন্তর্ভুক্ত পাশ) | তৃতীয় কোণের কোণ সমষ্টি, সাইনস আইন | 1 |
| এএএস (দুই কোণ + অন্তর্ভুক্ত নয় পাশ) | তৃতীয় কোণের কোণ সমষ্টি, সাইনস আইন | 1 |
| এসএসএ (দুই পক্ষ + অন্তর্ভুক্ত নয় কোণ) | পাপের আইন - অস্পষ্ট মামলা | 0, 1 বা 2 |
| AAA (শুধুমাত্র তিন কোণ) | আকৃতি জানা, আকার অনির্ধারিত | অসীম সংখ্যক (সমান ত্রিভুজ) |
দ্যএসএসএ অস্পষ্ট কেসবিশেষত গুরুত্বপূর্ণ: দুটি দিক এবং তাদের মধ্যে একটি কোণ না থাকলে, শূন্য, এক বা দুটি বৈধ ত্রিভুজ থাকতে পারে। যদি প্রদত্ত কোণটি obtuse হয় তবে কেবলমাত্র একটি সমাধান সম্ভব (বা কোনটিই নয়) । যদি প্রদত্ত কোণটি তীক্ষ্ণ হয় তবে কোণের বিপরীত দিকটি উচ্চতার সাথে তুলনা করুন (a0 = b x sin A): যদি বিপরীত দিকটি উচ্চতার চেয়ে ছোট হয় তবে কোনও ত্রিভুজ বিদ্যমান নেই; যদি সমান হয় তবে একটি ডানদিকের ত্রিভুজ বিদ্যমান থাকে; যদি উচ্চতার চেয়ে দীর্ঘ তবে সংলগ্ন দিকের চেয়ে ছোট হয় তবে দুটি ত্রিভুজ বিদ্যমান থাকে; যদি সংলগ্ন দিকের চেয়ে দীর্ঘ হয় তবে একটি ত্রিভুজ বিদ্যমান থাকে।