ماشین حساب مثلث - مساحت، محیط و زاویه ها
مساحت، محیط و زاویه یک مثلث را با توجه به اطراف یا ابعاد محاسبه کنید. این ماشین حساب ریاضی آنلاین رایگان به شما نتایج مرحله به مرحله را می دهد.
اصول مثلث: کناره ها، زاویه ها و قانون ۱۸۰ درجه
مثلث یک چند ضلعی است که دقیقاً سه طرف و سه زاویه داخلی دارد. اساسی ترین ویژگی هر مثلث در هندسه ی اقلید (سطح) این است که سه زاویه داخلی آن همیشه دقیقاً 180 درجه است. این قاعده به طور مداوم در محاسبات مورد استفاده قرار می گیرد: اگر دو زاویه را بدانید ، سوم به سادگی 180 درجه منفی دو مورد دیگر است.
هر مثلث همچنین پاسخ بهنظریه نابرابری مثلث: هر طرف باید کوتاه تر از مجموع دو طرف دیگر باشد. اگر طرف هایی را که این قانون را نقض می کنند (به عنوان مثال، طرف 1، 2 و 10) ارائه دهید، هیچ مثلث واقعی وجود ندارد. ماشین حساب ما این را تشخیص می دهد و خطایی را باز می گرداند.
| نوع مثلث | وضعیت جانبی | وضعیت زاویه | قسمت های نمونه |
|---|---|---|---|
| مساوی | a = b = c | تمام 60 درجه | پنج، پنج، پنج |
| هم دستان | دو طرف برابر | دو زاویه پایه مساوی | پنج، پنج، هفت |
| اسکالین | همه طرف ها متفاوتند | همه زاويه ها متفاوت هستن | 3، 5، 7 |
| درسته | a2 + b2 = c2 | یک زاویه = 90 درجه | سه، چهار، پنج |
| کشتن | c2 > a2 + b2 | یک زاویه > 90 درجه | چهار، پنج، هشت |
| حاد | همه: c2 < a2 + b2 | همه زاویه ها < 90 درجه | پنج، شش، هفت |
فرمولهای مساحت مثلث
فرمولهای متعددی برای مساحت مثلث وجود دارد که هر کدام با اطلاعات موجود متفاوت سازگار است.
1. پایه و ارتفاع (معمول):
مساحت = 1⁄2 x پایه x ارتفاع
ارتفاع باید عمودی به پایه باشد. مثال: پایه = 8، ارتفاع = 5 -> مساحت = 1⁄2 x 8 x 5 =20 واحد مربع.
2. فرمول هرون (سه طرف شناخته شده):
اول نصف محوطه را محاسبه کنید: s = (a + b + c) / 2
سپس: مساحت = √(s(s-a) ((s-b) ((s-c))
مثال: اطراف 5، 7، 8 -> s = 10 -> مساحت = 10 × 5 × 3 × 2) = √300 ~17.32 واحد مربع.
3. دو طرف و زاویه شامل (SAS):
مساحت = 1⁄2 x a x b x sin ((C)
مثال: a = 6، b = 8، C = 30 درجه -> مساحت = 1⁄2 x 6 x 8 x sin ((30 درجه) = 1⁄2 x 48 x 0.5 =12 واحد مربع.
| داده شده | فرمول | یادداشت ها |
|---|---|---|
| پایه + ارتفاع | 1⁄2 x b x h | خیلی بصری |
| سه طرفه | √ (((s-a) (((s-b) (((s-c)) | فرمول هیرون |
| دو طرف + زاویه | 1⁄2ab sin C | SAS -- نیاز به تراگونیک |
| مختصات | 1⁄2 از x1 تا y2-y3) + x2 تا y3-y1) + x3 تا y1-y2) | فرمول بند کفش |
قضیه فیثاغورس
قضیه فیثاغورث به طور انحصاری برای مثلث های مستطیل اعمال می شود: در یک مثلث مستطیل با ساق های a و b و هیپوتنوز c،a2 + b2 = c2hypotenuse همیشه طولانی ترین طرف است، دقیقا مقابل زاویه ۹۰ درجه.
این قضیه در بابل باستان و مصر بیش از ۱۰۰۰ سال قبل از فیثاغوراس شناخته شده بود -- یک لوح سفالی از حدود ۱۸۰۰ قبل از میلاد (پلیمپتون ۳۲۲) سه گانه های فیثاغوراس را فهرست می کند. با وجود نام، این قضیه به یک سنگ بنای هندسه یونانی از طریق اثبات اقلیدس در "عناصر" تبدیل شد.
سه گانه های فیثاغورسمجموعه های عدد صحیح هستند که a2 + b2 = c2 را برآورده می کنند:
| a | b | c | چک کن |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
سه گانه های فیثاغورسی در ساخت و ساز (طریقه ۳-۴-۵ یک گوشه کاملاً مربع را تضمین می کند) و در ریاضیات تفریحی استفاده می شود.
قانون سینوس و قانون کوزینوس
برای مثلث های غیر مستطیل، دو قانون اساسی امکان حل جهت ها و زاویه های ناشناخته را فراهم می کند.
قانون گناهان:a/sin ((A) = b/sin ((B) = c/sin ((C)
این مورد زمانی صدق می کند که شما می دانید: دو زاویه و یک طرف (AAS یا ASA) ، یا دو طرف و زاویه ای که بین آنها نیست (SSA - مورد مبهم).
مثال:در مثلث ABC، زاویه A = 45 درجه، زاویه B = 60 درجه، سمت a = 10، سمت b را پیدا کنید.
b / sin ((60 درجه) = 10 / sin ((45 درجه) -> b = 10 x sin ((60 درجه) / sin ((45 درجه) = 10 x 0.866 / 0.707 ~۱۲.۲۵
قانون کوزينوس:c2 = a2 + b2 - 2ab x cos ((C)
این مورد زمانی صدق می کند که شما بدانید: دو طرف و زاویه شامل (SAS) ، یا هر سه طرف (SSS -- برای پیدا کردن زاویه ها). این یک تعمیم از قضیه پیتاگوراس است: هنگامی که C = 90 درجه، cos ((90 درجه) = 0 و فرمول به c2 = a2 + b2 کاهش می یابد.
مثال:جاها a = 5، b = 7، C = 120 درجه. c را پیدا کنید.
c2 = 25 + 49 - 2 (((5) 7) cos ((120 درجه) = 74 - 70 ((-0.5) = 74 + 35 = 109 -> c ~۱۰٫۴۴
مثلث های خاص: خواص و مقادیر دقیق
سه مثلث خاص به طور مداوم در مثلث سنجی، مهندسی و معماری ظاهر می شوند زیرا زاویه های آنها مقادیر دقیق و تمیز مثلث سنجی را تولید می کنند.
مثلث 30-60-90:ضلعی در نسبت 1 : √3 : 2. اگر ضلعی کوتاه 1 باشد، ضلعی بلند √3 ~ 1.732, و ضلعی معکوس 2 است. این مثلث نیمی از یک مثلث مساوی است که در طول ارتفاع آن قطع شده است.
مثلث ۴۵-۴۵-۹۰هر دو پا برابرند؛ فرکانس √2 ~ 1.414 ضرب یک پا است. این نیمی از یک مربع در امتداد قطب نما آن است.
مثلث مساوی:همه ی طرف ها مساوی هستند، همه ی زاویه ها 60 درجه. برای طول طرف s: مساحت = (√3/4) x s2; ارتفاع = (√3/2) x s.
| مثلث | زاویه ها | نسبت های جانبی | مساحت (جانب واحد) |
|---|---|---|---|
| مساوی | 60-60-60 درجه | 1: 1: 1: 1 | √3/4 ~ 0.433 |
| 30-60-90 | 30 تا 60 تا 90 درجه | 1: √3: 2 | √3/4 ~ 0.433 |
| 45 تا 45 تا 90 | 45 تا 45 تا 90 درجه | 1: 1: √2 | 0.5 |
| هم پای راست | 45 تا 45 تا 90 درجه | 1: 1: √2 | 0.5 |
محيط مثلث و نيمه محيط
The محوطهاز یک مثلث به سادگی مجموع سه طرف آن است: P = a + b + c.نیمه محوطهs = P/2 در فرمول هیرون برای مساحت و همچنین در فرمولهای شعاع داخل (شعاع دایره نوشته شده) و شعاع دور (شعاع دایره محصور) ظاهر می شود.
- در شعاعr = مساحت در ثانیه -- شعاع بزرگترین دایره که داخل مثلث قرار دارد
- شعاع دایرهR = abc / (4 x Area) -- شعاع دایره که از هر سه قله عبور می کند
برای یک مثلث راست با ساق های a، b و hypotenuse c: inradius r = (a + b - c) /2; circumradius R = c/2. circumcenter یک مثلث راست دقیقا در نقطه میانی hypotenuse قرار دارد -- یک واقعیت ساختاری مفید.
کاربردهای واقعی محاسبات مثلث
مثلث ها از لحاظ ساختاری اساسی ترین شکل در مهندسی و طبیعت هستند. هندسه سفت و سخت آنها را به طور منحصر به فرد در برابر تغییر شکل مقاوم می کند -- مثلث نمی تواند بدون تغییر طول حداقل یک طرف، یک ویژگی که هیچ چند ضلعی دیگر به اشتراک نمی گذارد، تحریف شود.
- مهندسی ساختاری:سازه های پل ها و سقف ها به طور کامل از مثلث ها تشکیل شده اند. سازه مثلثی بار را به طور کارآمد توزیع می کند و در برابر فشرده شدن مقاومت می کند.
- ناوبری و نقشه برداری:مثلث سنجی از اندازه گیری های زاویه ای از دو نقطه شناخته شده برای محاسبه موقعیت سوم استفاده می کند -- پایه ی GPS و زمین سنجی.
- معماری:هرم ها، خانه های A-frame و سقف های سه گانه مبتنی بر مثلث هستند. تئورم پیتاگوراس به معماران کمک می کند تا طول راستر را برای هر سقف سقف محاسبه کنند.
- گرافیک کامپیوتری:تمام مدل های سه بعدی از چند ضلعی مثلثی (شبکه) ساخته شده اند. هر چهره در موتور بازی یا مدل CAD یک مثلث است.
- فیزیک:وکتورهای نیروی با استفاده از تجزیه مثلث به اجزایی حل می شوند. قانون سینوس و قانون کوسینوس در مکانیک، اپتیک و کریستالوگرافی ظاهر می شوند.
- دویدن / پیاده روی:محاسبه مسافت مسیر زمانی که از یک میانبر عبور می کنید -- مسافت خط مستقیم معکوس مثلث مستطیل است که توسط جابجایی شرق-غرب و شمال-جنوب شکل گرفته است.
هماهنگی و شباهت مثلث
دو مثلثهمسان(در اندازه و شکل یکسان) اگر آنها هر یک از این شرایط را برآورده کنند:
- SSS:هر سه طرف مساوی با هم برابرند
- SAS:دو طرف و زاویه شامل مساوی هستند
- ASA:دو زاویه و یک طرف مساوی هستند
- AAS:دو زاویه و یک طرف غیر شامل مساوی هستند
- HL (فقط مثلث های راست)هیپوتنوز و یک پا مساوی هستند
دو مثلثمشابه(همان شکل، اندازه متفاوت) اگر زاویه های مربوطه آنها برابر باشد (شرط AA کافی است). مثلث های مشابه دارای طرفهای متناسب هستند، که پایه برای اندازه گیری سایه، نقشه های مقیاس و محاسبه ارتفاع ساختمان های بلند با استفاده از یک چوب اندازه گیری ساده و سایه آن است.
سوالات متداول
چگونه یک زاویه گمشده در یک مثلث را پیدا کنم؟
از آنجا که مجموع زاویه های داخلی 180 درجه است، زاویه های شناخته شده را از 180 درجه کم کنید. مثال: زاویه های 45 درجه و 65 درجه شناخته شده اند -> زاویه سوم = 180 درجه - 45 درجه - 65 درجه = 70 درجه. اگر دو طرف و یک زاویه را می دانید، از قانون سینوس یا قانون کوزینوس استفاده کنید.
قضیه فیثاغوراس چیست و چه زمانی می توانم از آن استفاده کنم؟
برای مثلث های راست فقط: a2 + b2 = c2 ، جایی که c هیپوتنوز است. از آن استفاده کنید وقتی که دو طرف مثلث راست دارید و به سومین مورد نیاز هستید. مثال: پاها 3 و 4 -> هیپوتنوز = √(9+16) = √25 = 5.
آیا یک مثلث می تواند دو زاویه راست داشته باشد؟
نه. دو زاویه راست به 180 درجه می رسد و 0 درجه برای زاویه سوم باقی می ماند، که از نظر هندسی غیرممکن است. در هندسه ی اقلید، یک مثلث می تواند حداکثر یک زاویه راست و حداکثر یک زاویه ضعیفی داشته باشد.
چگونه می توانم مساحت مثلث را محاسبه کنم وقتی که فقط سه طرف آن را می دانم؟
از فرمول هیرون استفاده کنید: s = (a+b+c) / 2; Area = √(s-a) ((s-b) ((s-c)). مثال: اطراف 6، 8، 10 -> s = 12 -> Area = √(12x6x4x2) = √576 = 24 واحد مربع.
تفاوت بین قانون سینوس و قانون کوسینوس چیست؟
قانون سینوس (a/sinA = b/sinB = c/sinC) زمانی استفاده می شود که شما دو زاویه و یک طرف (AAS/ASA) یا دو طرف و یک زاویه غیر شامل (SSA) را می شناسید. قانون کوزینوس (c2 = a2+b2-2ab·cosC) زمانی استفاده می شود که شما سه طرف (SSS) یا دو طرف و زاویه شامل (SAS) را می شناسید.
مثلث 3-4-5 براي چي استفاده ميشه؟
مثلث راست 3-4-5 در ساخت و ساز برای ایجاد گوشه های کاملاً مربع استفاده می شود. 3 واحد را در امتداد یک دیوار و 4 واحد را در امتداد یک دیوار مجاور اندازه گیری کنید. اگر قطر بین این دو نقطه دقیقاً 5 واحد باشد ، گوشه کاملاً 90 درجه است. چند برابر (6-8-10 ، 9-12-15) به همان اندازه خوب کار می کنند.
مساحت یک مثلث مساوی با طرف 10 چقدر است؟
مساحت = (√3/4) x s2 = (√3/4) x 100 = 25√3 ~ 43.30 واحد مربع. ارتفاع مثلث مساوی است (√3/2) x s = 5√3 ~ 8.66.
چطور ارتفاع مثلث رو پیدا کنم؟
فرمول مساحت را مرتب کنید: ارتفاع = 2 x مساحت / پایه. ابتدا با استفاده از فرمول هرون (اگر هر سه طرف را می دانید) مساحت را محاسبه کنید ، سپس تقسیم کنید: h = 2A / b. برای مثلث های مساوی: h = (√ 3 / 2) x طرف.
آیا سه طرف مثلث می تواند برابر باشد؟
بله -- این یک مثلث مساوی است. هر سه طرف مساوی هستند، هر سه زاویه مساوی هستند (60 درجه) ، و سه خط تقارن دارد. این تقارن ترین مثلث ممکن است و به طور طبیعی در شانه های عسل، ساختارهای کریستالی و الگوهای کاشی وجود دارد.
نظريه عدم برابري مثلث چيست؟
برای یک مثلث معتبر، مجموع هر دو طرف باید دقیق تر از طرف سوم باشد. اگر طرف ها a، b، c باشند: a+b > c، a+c > b، و b+c > a باید همه درست باشند. طرف های 2، 3، 6 شکست می خورند (2+3 = 5 < 6) - هیچ مثلثی نمی تواند تشکیل شود.
میدیان ها، ارتفاع ها و مراکز مثلث
هر مثلث دارای چندین نقطه قابل توجه (مرکز) است که توسط تقاطع خطوط کشیده شده از قله ها یا نقاط میانی شکل گرفته است. این مراکز هندسی دارای خواص ظریف و کاربردهای عملی در مهندسی و طراحی هستند:
مرکز (G):تقاطع سه میدیان (خط هایی از هر قله تا نقطه میانی طرف مقابل) است. سنتروئید مرکز هندسی جرم است - یک صفحه مثلث مسطح با تراکم یکنواخت دقیقاً در سنتروئید تعادل دارد. هر میدیان را به نسبت 2: 1 از قله تا نقطه میانه تقسیم می کند.
مرکز مدار (O):تقاطع دوقطب های عمودی سه طرف. محور از هر سه قله به طور مساوی فاصله دارد - مرکز دایره محدوده (دوره) است. برای مثلث های حاد ، در داخل است؛ برای مثلث های راست ، در نقطه میانی hypotenuse؛ برای مثلث های کج ، خارج از مثلث.
خروجی (I):تقاطع سه بیسکتور زاویه. مرکز دایره، مرکز دایره ای است که در داخل مثلث قرار دارد. این دایره همیشه در داخل مثلث است. شعاع داخل r = منطقه / s ، جایی که s نیمه محوطه است.
مرکز ارتو (H):تقاطع سه ارتفاع (خط هایی از هر قله عمودی به طرف مقابل). برای مثلث های حاد در داخل است؛ برای مثلث های راست، در قله زاویه راست؛ برای مثلث های ضعیفی، در خارج.
| مرکز | تعریف شده توسط | مکان | ویژگی های کلیدی |
|---|---|---|---|
| سنتروید | میانگین | هميشه داخل | مرکز جرم |
| دایره مرکزی | بیسکتورهای اطراف | در داخل (خطرناک) ، در خارج (خطرناک) | مرکز دایره |
| محرک | تقسیم کننده های زاویه | هميشه داخل | مرکز دایره |
| مرکز ارتو | ارتفاعات | در داخل (خطرناک) ، در خارج (خطرناک) | خواص بازتاب |
یک واقعیت قابل توجه: مرکز، محور و ارتوسنتر هر مثلث هم خط هستند -- همه آنها درخط اویلر. سنتروئید بخش را از مرکز محيط به مرکز ارتو به نسبت 1: 2 تقسیم می کند. این ارتباط عمیق بین سه مرکز هندسی مستقل تعریف شده یکی از ظریف ترین نتایج هندسه کلاسیک است که توسط لئونارد اویلر در سال 1765 کشف شد و نشان دهنده تقارن پنهان در هر مثلث است.
مرکز در خط اویلر قرار ندارد (به جز در مثلث های مساوی با هم که با مرکز و محور در محور تقارن همخوانی دارد). این باعث می شود که مرکز در میان چهار مرکز مثلث کلاسیک "عجیب" باشد ، اما بیشترین اهمیت مهندسی عملی را دارد - این دایره بزرگترین دایره بدون زباله را تعریف می کند که می تواند از یک قطعه مواد مثلثی برش داده شود.
مثلث ها در طبیعت و معماری
مثلث ها تنها چند ضلعی هستند که به طور ذاتی سفت هستند - اعمال نیرویی بر یک قله شکل را تغییر نمی دهد مگر اینکه طول یک طرف تغییر کند. تمام چند ضلعی های دیگر را می توان با اعمال نیروی بدون تغییر طول طرف تغییر داد (یک مربع را می توان به یک موازی فشار داد) ، اما یک مثلث به طور کامل در برابر تغییر شکل مقاومت می کند. این سفتی هندسی دلیل آن است که مثلث ها بلوک اساسی مهندسی سازه هستند.
برج ایفل از هزاران بخش تراسه مثلثی برای حمل وزن خود به طور کارآمد استفاده می کند. پل های فولادی (Warren truss ، Pratt truss) بارها را به پانل های مثلثی تجزیه می کنند که در آن نیروهای کاملا فشرده یا کششی هستند - بدون خم شدن - ساختاری را برای وزن خود فوق العاده کارآمد می کند. بدنه ها و بال های هواپیما به همین دلیل به چارچوب های مثلثی تکیه می کنند.
در طبیعت ، ترتیبات مثلثی در کریستال ها ، سطوح حداقل فیلمی صابون ، چشم های ترکیبی حشرات و ساختارهای ثانویه پروتئین ظاهر می شوند. ترتیبات مثلثی اتم ها در بسیاری از شبکه های کریستالی (به عنوان مثال ، گرافن) به مواد مانند الماس و گرافن نسبت قدرت به وزن استثنایی می دهد.
حل مثلث ها: مرجع کامل
"حل" یک مثلث به معنی تعیین تمام شش مقدار است: سه طرف و سه زاویه. شما حداقل به سه قطعه اطلاعات نیاز دارید (حداقل یکی از آنها طول یک طرف است) تا یک مثلث منحصر به فرد را به طور کامل تعیین کنید:
| داده شده | روش | تعداد راه حل ها |
|---|---|---|
| SSS (سه طرف) | قانون کوزینوس برای پیدا کردن زاویه ها | 1 (اگر مثلث معتبر باشد) |
| SAS (دو طرف + شامل زاویه) | قانون کوزینوس، سپس قانون سینوس | 1 |
| ASA (دو زاویه + شامل طرف) | مجموع زاویه برای زاویه سوم، قانون سینس | 1 |
| AAS (دو زاویه + غیر شامل طرف) | مجموع زاویه برای زاویه سوم، قانون سینس | 1 |
| SSA (دو طرف + زاویه شامل نشده) | قانون گناهان - مورد مبهم | 0، 1 یا 2 |
| AAA (فقط سه زاویه) | شکل شناخته شده، اندازه نامشخص | بی نهایت زیاد (مثلث های مشابه) |
The SSA مورد مبهمبه طور خاص مهم است: با توجه به دو طرف و زاویه ای که بین آنها وجود ندارد، ممکن است صفر، یک یا دو مثلث معتبر وجود داشته باشد. اگر زاویه داده شده تیره باشد، تنها یک راه حل ممکن است (یا هیچ کدام). اگر زاویه داده شده حاد باشد، طرف مقابل زاویه را با ارتفاع (a0 = b x sin A) مقایسه کنید: اگر طرف مقابل کوتاه تر از ارتفاع باشد، مثلث وجود ندارد؛ اگر برابر باشد، یک مثلث راست وجود دارد؛ اگر طولانی تر از ارتفاع باشد اما کوتاه تر از طرف مجاور باشد، دو مثلث وجود دارد؛ اگر طولانی تر از طرف مجاور باشد، یک مثلث وجود دارد.