ঢাল হিসাবক

ঢাল কি এবং কিভাবে এটি গণনা করা যায়

ঢাল (m) একটি রেখার তির্যকতা এবং দিক নির্ণয় করে। দুটি বিন্দু (x1,y1) এবং (x2,y2) এর জন্য ঢালের সূত্রটি হল:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = উত্থান / চালান

একটি ধনাত্মক ঢাল মানে লাইনটি বাম থেকে ডানে যায়। একটি নেতিবাচক ঢাল মানে এটি নিচে যায়। শূন্য ঢাল একটি অনুভূমিক লাইন সমান। একটি অনির্ধারিত ঢাল একটি উল্লম্ব লাইন নির্দেশ করে (শূন্য দ্বারা বিভাজন যখন x1 = x2) ।

কাজ করা উদাহরণঃপয়েন্ট (2, 3) এবং (6, 11) ।

• Rise = y2 - y1 = 11 - 3 = 8
• চালান = x2 - x1 = 6 - 2 = 4
• ঢাল m = 8 ÷ 4 =2
• ঢালের কোণ θ = আর্কটান ((2) ~৬৩.৪৩ ডিগ্রি

একটি রেখার ঢাল-বিভাজক আকৃতি হলy = mx + b, যেখানে b হল y-intercept. b খুঁজে পেতে, যে কোন বিন্দু প্রতিস্থাপন করুনঃ (2, 3) ব্যবহার করে m = 2: 3 = 2(2) + b -> b = -1. সম্পূর্ণ সমীকরণঃ y = 2x - 1. আপনি দ্বিতীয় বিন্দু ব্যবহার করে যাচাই করতে পারেনঃ y = 2(6) - 1 = 11।

ঢাল হচ্ছে বীজগণিত এবং ক্যালকুলাসের সবচেয়ে মৌলিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি। এটি বর্ণনা করে যে একটি পরিমাণ অন্যটির তুলনায় কত দ্রুত পরিবর্তিত হয় - ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের ভিত্তি, যেখানে একটি বিন্দুতে একটি বক্ররেখার "তাত্ক্ষণিক ঢাল"কে ডেরিভেটিভ বলা হয়।

রৈখিক সমীকরণের রূপ

একটি রেখার সমীকরণ লিখতে বেশ কয়েকটি সমতুল্য উপায় রয়েছে, প্রত্যেকটি বিভিন্ন প্রসঙ্গে দরকারীঃ

ফর্মগুলির মধ্যে রূপান্তর করা একটি মূল বীজগণিত দক্ষতা। ঢাল-বিভাজন ফর্মটি গ্রাফিংয়ের জন্য সেরা (ওয়াই-বিভাজনে শুরু করুন, তারপরে রাইজ / রান হিসাবে ঢাল ব্যবহার করুন) । সমীকরণগুলির সিস্টেমে স্ট্যান্ডার্ড ফর্মটি কার্যকর। পয়েন্ট-ডাল ফর্মটি সবচেয়ে সরাসরি যখন আপনাকে একটি ঢাল এবং একটি একক বিন্দু দেওয়া হয়।

ঢালের ধরন এবং বিশেষ লাইন

বিভিন্ন প্রকারের ঢাল মান এবং তাদের জ্যামিতিক অর্থ বোঝা বীজগণিত, জ্যামিতি এবং ক্যালকুলাসের জন্য অপরিহার্যঃ

ধনাত্মক ঢাল (m > 0):লাইনটি বাম থেকে ডানে উঠে যায়। খাড়া রেখাগুলির বৃহত্তর ঢালের মান রয়েছে। 10 এর একটি ঢাল 0.1 এর একটি ঢালের চেয়ে অনেক বেশি খাড়া।

নেগেটিভ ঢাল (m < 0):লাইনটি বাম থেকে ডানে পড়ে। -3 এর একটি ঢাল ডান দিকে চলাচলের প্রতি 1 ইউনিটের জন্য 3 ইউনিট পড়ে।

শূন্য ঢাল (m = 0):সমীকরণটি হল y = b (শুধুমাত্র y-intercept) । বাস্তব জীবনেঃ একটি নিখুঁত সমতল রাস্তা, একটি ধ্রুবক তাপমাত্রা রিডিং, বা একটি স্ট্যাটিক আর্থিক ভারসাম্য।

অনির্ধারিত ঢালঃউল্লম্ব রেখা। x-মান ধ্রুবক; সমীকরণটি হল x = a। শূন্য দ্বারা বিভাজন ঢাল সূত্রে ঘটে যেহেতু x2 - x1 = 0। একটি উল্লম্ব রেখা ঢাল-বিচ্ছেদ আকারে লিখতে পারে না।

সমান্তরাল লাইনসমান ঢাল (m1 = m2) কিন্তু ভিন্ন y-intercepts আছে। তারা কখনোই ছেদ করে না।উল্লম্ব রেখাm1 x m2 = -1, বা m2 = -1/m1। যদি লাইন 1 এর ঢাল 3 হয়, তাহলে একটি উল্লম্ব রেখার ঢাল -1/3 হয়। এই সম্পর্কটি উচ্চতা, tangents এবং স্বাভাবিক লাইন নির্মাণের জন্য জ্যামিতিতে মৌলিক।

ঢাল শতাংশ, গ্রেড, এবং কোণ রেফারেন্স

ঢাল বিভিন্ন ক্ষেত্রে ভিন্নভাবে প্রকাশ করা হয়। ঢাল (অনুপাত), গ্রেড (শতাংশ), এবং কোণ (ডিগ্রী) মধ্যে রূপান্তর নির্মাণ, প্রকৌশল, এবং বহিরঙ্গন কার্যক্রম মধ্যে অপরিহার্যঃ

গ্রেড শতাংশ = (উত্থান ÷ রান) এক্স 100. 5% গ্রেডের অর্থ হল 5 ফুট উচ্চতার পরিবর্তন প্রতি 100 ফুট অনুভূমিক দূরত্ব। এডিএ (আমেরিকানস উইথ ডিসএবিলিটিস অ্যাক্ট) হুইলচেয়ার র্যাম্পগুলির সর্বাধিক ঢাল 1:12 (1 ইঞ্চি প্রতি 12 ইঞ্চি রান = 8.33% গ্রেড) থাকতে হবে। সিঁড়ি উত্থানকারীরা সাধারণত স্থান দক্ষতার জন্য 100% (45 ডিগ্রি) এর আশেপাশে একটি গ্রেড থাকে।

ক্যালকুলাসের ঢালঃ ডেরিভেটিভস এবং পরিবর্তনের হার

বীজগণিতে, ঢাল একটি ধ্রুবক যা একটি সম্পূর্ণ সরলরেখা বর্ণনা করে। ক্যালকুলেশনে, ধারণাটি কার্ভগুলিতে প্রসারিত হয়, যেখানে ঢাল প্রতিটি পয়েন্টে পরিবর্তিত হয়।ডেরাইভেটিভএকটি বিন্দু x এ একটি ফাংশন f (x) এর তাত্ক্ষণিক ঢাল (ট্যাঙ্গেন্ট লাইন ঢাল) সেই বিন্দুতে প্রদান করে।

ডেরিভেটিভ সংজ্ঞাটি ঢাল সূত্রের সীমা ব্যবহার করে যখন অনুভূমিক দূরত্ব শূন্যের কাছাকাছি আসেঃ

f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x) ] / h

এটি সঠিকভাবে ঢাল সূত্র (উত্থান / রান) কিন্তু রান (এইচ) একটি অসীমভাবে ছোট মান সঙ্কুচিত। ফলাফলটি x এ বক্ররেখার স্পর্শ রেখার ঢাল দেয়।

ব্যবহারিক উদাহরণ:

• পদার্থবিজ্ঞান:যদি অবস্থান x (((t) হয়, তাহলে বেগ = dx/dt (অবস্থান বনাম সময় গ্রাফের ঢাল) । ত্বরণ = dv/dt (গতি বনাম সময়ের ঢাল) । একজন রানারের গতি দূরত্ব-সময় বক্ররেখার ঢাল।
• অর্থনীতি:প্রান্তিক ব্যয় = ডিসি / ডিকিউ (মোট ব্যয় বনাম পরিমাণের ঢাল) প্রান্তিক রাজস্ব = ডিআর / ডিকিউ প্রান্তিক রাজস্বের ঢাল প্রান্তিক ব্যয়ের ঢালের সমান হলে লাভ সর্বাধিক হয়।
• অর্থায়নএকটি শেয়ারের "বিটা" বাজার থেকে তার ঢাল পরিমাপ করে - ১.৫ এর একটি বিটা মানে শেয়ার প্রতি ১% বাজার গতির জন্য ১.৫% সরে যায়।

ক্যালকুলাসের শক্তি হল যে এটি ঢাল ধারণাটিকে সরলরেখা থেকে যেকোন ক্রমাগত বক্ররেখায় নিয়ে আসে, যা পদার্থবিজ্ঞান, অর্থনীতি, প্রকৌশল এবং বিজ্ঞানে পরিবর্তিত হারের বিশ্লেষণকে সক্ষম করে।

রিয়েল-ওয়ার্ল্ড অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ঢাল

ঢাল গণিতের ক্লাসরুমের বাইরে অনেক ব্যবহারিক ডোমেইনে উপস্থিত হয়:

নির্মাণ ও স্থাপত্যঃছাদ পিচ উত্থানঃ রান (4: 12 = ঢাল 0.333 = 18.4 ডিগ্রি) হিসাবে প্রকাশ করা হয়। আবাসিক ছাদগুলির জন্য 4:12 পিচ সাধারণ - জল / তুষার ছড়িয়ে দেওয়ার জন্য যথেষ্ট খাড়া, হাঁটার জন্য যথেষ্ট কম। অ্যাক্সেসযোগ্যতার জন্য র্যাম্প ডিজাইনঃ এডিএ হুইলচেয়ার র্যাম্পগুলির জন্য সর্বোচ্চ 1:12 প্রয়োজন। বিল্ডিং কোডগুলি নিকাশের জন্য সর্বোচ্চ তল ঢাল (সাধারণত 1 - 2%) নির্দিষ্ট করে।

সড়ক ও মহাসড়ক প্রকৌশলঃরাস্তার গ্রেড শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। আন্তঃরাজ্য মহাসড়কের সর্বাধিক গ্রেড 6 - 7%; পাহাড়ী রাস্তাগুলিতে 10 - 12% গ্রেড থাকতে পারে (ট্রাক রুটগুলি বিশেষভাবে ড্রাইভারদের সতর্ক করে দেয়) । জল জমে যাওয়া রোধ করতে যথাযথ নিকাশের জন্য সর্বনিম্ন 0.5 - 1% গ্রেডের প্রয়োজন। ব্রেকিংয়ের দূরত্ব বাড়ার কারণে কখনও কখনও খাড়া গ্রেডগুলিতে গতির সীমা হ্রাস করা হয়।

দৌড়ানো এবং সাইকেল চালানো পারফরম্যান্সঃহিল গ্রেডিয়েন্ট (স্লোপ %) সরাসরি শক্তি ব্যয়কে প্রভাবিত করে। দৌড়ের জন্য, গ্রেডের প্রতিটি 1% বৃদ্ধি প্রতি কিলোমিটারে প্রায় 3 - 4% দ্বারা শক্তি ব্যয় বৃদ্ধি করে। একই গতিতে সমতল ভূখণ্ডের তুলনায় 10% ঊর্ধ্বমুখী গ্রেডিয়েন্ট প্রায় 30 - 40% দ্বারা প্রচেষ্টা বৃদ্ধি করে। এই কারণেই নেট উচ্চতা লাভের সাথে রেস কোর্সগুলি বিশ্ব অ্যাথলেটিক্সের নিয়ম অনুসারে বিশ্ব রেকর্ডের জন্য যোগ্য নয়।

ভূগোল ও মানচিত্রাঙ্কনঃটপোগ্রাফিক মানচিত্রগুলি কনট্যুর লাইনের মাধ্যমে ঢাল দেখায়। কনট্যুর লাইন যত কাছাকাছি, ঢাল তত বেশি। জিওগ্রাফিক ইনফরমেশন সিস্টেম (জিআইএস) ডিজিটাল উচ্চতা মডেল (ডিইএম) থেকে ডিগ্রি বা শতাংশে ঢাল গণনা করে - বন্যা ঝুঁকি মডেলিং, কৃষি নিকাশী পরিকল্পনা এবং ট্রেইল ডিজাইনের জন্য প্রয়োজনীয়।

দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব

ঢাল সূত্র এবং দূরত্ব সূত্র ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত - উভয়ই দুটি পয়েন্টের মধ্যে x এবং y কোঅর্ডিনেটের পার্থক্য ব্যবহার করে।দূরত্ব সূত্রপাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করেঃ

d = √[(x2-x1) 2 + (y2-y1) 2)

পয়েন্ট (2, 3) এবং (6, 11) এর জন্যঃ d = √[(6-2) 2 + (11-3) 2) = √[16 + 64] = √80 = 4√5 ~ 8.944।

ঢাল এবং দূরত্ব স্বাধীন - দুটি জোড়া পয়েন্টের একই ঢাল কিন্তু ভিন্ন দূরত্ব, বা একই দূরত্ব কিন্তু ভিন্ন ঢাল থাকতে পারে। যাইহোক, ঢাল সূত্রের উপাদানগুলি (Δy এবং Δx) ডানদিকের ত্রিভুজের পা যার হাইপোটেনাসটি সোজা-রেখা দূরত্ব।

এই সংযোগটি জিপিএস সিস্টেমে ব্যবহৃত হয়ঃ দুটি জিপিএস কোঅর্ডিনেটের মধ্যে সোজা-রেখা দূরত্ব খুঁজে পেতে, অক্ষাংশ এবং দ্রাঘিমাংশের পার্থক্য (পৃথিবীর বক্রতা অনুসারে সামঞ্জস্য করা) একটি পাইথাগোরিয়ান গণনায় "উত্থান" এবং "চালান" হিসাবে কাজ করে। স্বল্প দূরত্বের জন্য, এই সমতল আনুমানিক সঠিক; বিশ্বব্যাপী দূরত্বের জন্য, হভারসাইন সূত্রটি পৃথিবীর গোলাকার জ্যামিতির জন্য দায়ী।

ডেটা সায়েন্স এবং লিনিয়ার রিগ্রেশন এ ঢাল

পরিসংখ্যান এবং ডেটা সায়েন্সে, ঢাল হল লিনিয়ার রিগ্রেশনের মূল ভিত্তি। যখন আপনি ডেটা পয়েন্টের একটি বিক্ষিপ্ত প্লটে একটি লাইন ফিট করেন, তখন সেই সেরা ফিট লাইনের ঢাল দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্ককে পরিমাপ করেঃ এক্স-এর প্রতিটি ইউনিট বৃদ্ধির জন্য Y গড় কত পরিবর্তন করে?

রিগ্রেশন ঢালের জন্য সাধারণ সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র (ওএলএস) সূত্রটি হলঃ m = [n(ΣXY) - (ΣX) ((ΣY) ] / [n(ΣX2) - (ΣX) 2। এটি ডেটা পয়েন্ট এবং লাইনের মধ্যে বর্গক্ষেত্রের উল্লম্ব দূরত্বের যোগফলকে হ্রাস করে। ফলস্বরূপ ঢালটি ডেটাতে গড় রৈখিক প্রবণতা ক্যাপচার করে।

রিগ্রেশন ঢালের ব্যবহারিক উদাহরণ: অর্থনীতিতে, বেতন-শিক্ষা রিগ্রেশন স্কুলে পড়ার প্রতি অতিরিক্ত বছরে 3,200 ডলার ঢাল দেখাতে পারে - যার অর্থ প্রতিটি অতিরিক্ত বছরের শিক্ষার সাথে গড়ে 3,200 ডলার বেশি বার্ষিক মজুরি যুক্ত হয়। ফিটনেস ট্র্যাকিংয়ে, হার্ট রেট বনাম চলমান গতির একটি রিগ্রেশন প্রতি কিলোমিটারে 8 বিপিএম / ঘন্টা একটি ঢাল দেখাতে পারে - প্রতি কিলোমিটার প্রতি ঘন্টা দ্রুত হার্ট রেট 8 বিপিএম / ঘন্টা উচ্চতর সাথে যুক্ত হয়। রিয়েল এস্টেটে, মূল্য-আকারের রিগ্রেশন 200 ডলার / বর্গফুট দেখাতে পারে - প্রতিটি অতিরিক্ত বর্গফুট আনুমানিক বাজার মূল্যের 200 ডলার যোগ করে। ঢালগুলি বিভিন্ন ডেটা সেট এবং সময়কালের মধ্যে প্রবণতা পরিমাপযোগ্য এবং তুলনাযোগ্য করে তোলে।