বর্গমূল ক্যালকুলেটর

বর্গমূল কি?

একটি সংখ্যা x এর বর্গমূল হল y এর মান যাতে y2 = x। √x বা x^(1/2 হিসাবে লেখা হয়, বর্গমূল হ'ল বর্গক্ষেত্রের বিপরীত অপারেশন।

√২৫ = ৫কারণ 52=25
√১৪৪ = ১২কারণ ১২২ = ১৪৪।
√২ ~ ১.৪১৪২১-- অযৌক্তিক, দশমিক কখনো শেষ হয় না বা পুনরাবৃত্তি হয় না।

বর্গমূলের মূল বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্যঃ

• √(a x b) = √a x √b (পণ্য সম্পত্তি -- radicals সরল করতে ব্যবহৃত হয়)
• √(a/b) = √a ÷ √b (কোসিয়েন্ট সম্পত্তি)
• √(a2) = a।"
• (√a) 2 = a for a >= 0 (বর্গক্ষেত্র এবং বর্গমূল বিপরীত ক্রিয়াকলাপ)
• √a + √b ≠ √(a + b) (সাধারণ ভুল -- মূলের নীচে যোগ করা যায় না)

প্রতিটি ধনাত্মক সংখ্যার দুটি বর্গমূল থাকে: +√x এবং -√x। প্রধান বর্গমূল ফাংশন √x শুধুমাত্র ধনাত্মক মূলটি ফেরত দেয়। উদাহরণস্বরূপ, √9 = 3 (প্রধান মূল নোটেশন ব্যবহার করার সময় +/-3) । নেতিবাচক সংখ্যার কোন বাস্তব বর্গমূল নেই - √(-4) = 2i, জটিল সংখ্যা ব্যবস্থায় প্রবেশ করে।

পারফেক্ট স্কোয়ার রেফারেন্স টেবিল

1 থেকে 25 পর্যন্ত নিখুঁত বর্গক্ষেত্রগুলি মনে রাখা মানসিক গণিতের জন্য, বর্গমূলের অনুমান এবং বীজগণিতের র্যাডিকালগুলিকে সরলীকরণের জন্য অত্যন্ত কার্যকর:

এই নিখুঁত বর্গক্ষেত্রগুলি জানা আপনাকে অবিলম্বে বলে যে √50 √49 = 7 এবং √64 = 8 এর মধ্যে রয়েছে, যা 7.07 একটি যুক্তিসঙ্গত প্রথম অনুমান করে। √200 = √(100 x 2) = 10√2 ~ 14.14। নিখুঁত বর্গক্ষেত্রের জ্ঞান √72 = √(36 x 2) = 6√2 এর মতো অভিব্যক্তিগুলিকে সরল করতে সহায়তা করে।

কিভাবে একটি ক্যালকুলেটর ছাড়া বর্গমূল অনুমান

দ্যবাবিলীয় পদ্ধতি(স্কয়ার রুটের জন্য নিউটনের পদ্ধতিও বলা হয়) √N এর আনুমানিকীকরণের জন্য একটি প্রাচীন পুনরাবৃত্তিমূলক অ্যালগরিদম যা অত্যন্ত দ্রুত সংযুক্ত হয়ঃ

অ্যালগরিদম:প্রাথমিক অনুমান x0 দিয়ে শুরু করুন। পুনরাবৃত্তি করুনঃ xn+1 = (xn + N/xn) ÷ 2. পছন্দসই নির্ভুলতা না পাওয়া পর্যন্ত চালিয়ে যান।

উদাহরণঃ √৫০

• প্রাথমিক অনুমানঃ x0 = 7 (যেহেতু √49 = 7, √50 এর কাছাকাছি)
• x1 = (7 + 50/7) ÷ 2 = (7 + 7.1429) ÷ 2 = 7.0714
• x2 = (7.0714 + 50/7.0714) ÷ 2 = (7.0714 + 7.0711) ÷ 2 = 7.07107
• x3 হল √50 ~৭.০৭১০৭-- ইতোমধ্যে ৫ টি দশমিক স্থানে সঠিক

ব্যাবিলনিয়ান পদ্ধতি প্রতিটি পুনরাবৃত্তির সাথে সঠিক অঙ্কের সংখ্যা দ্বিগুণ করে - এটিকে চতুর্ভুজীয় ঘনিষ্ঠতা বলা হয়, যা এটিকে অত্যন্ত দক্ষ করে তোলে। এটি 1800 খ্রিস্টপূর্বাব্দে ব্যাবিলনিয়ান গণিতবিদদের কাছে পরিচিত ছিল এবং ক্লে ট্যাবলেটগুলিতে √ 2 এর একটি আনুমানিক অ্যালগরিদম হিসাবে উপস্থিত হয়।

দ্রুত লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন পদ্ধতিঃ√৫০ এর জন্য, লক্ষ্য করুন যে ৭২ = ৪৯ এবং ৮২ = ৬৪। √৫০ ~ ৭ + (৫০ - ৪৯) / (৬৪ - ৪৯) = ৭ + ১/১৫ ~ ৭.০৭। এটি এক ধাপে একটি শালীন ২-ডিজিটের আনুমানিক প্রদান করে। ভাল পদ্ধতিঃ ৭ + (৫০ - ৪৯) / (২ এক্স ৭) = ৭ + ১/১৪ ~ ৭.০৭১ (ডিফারেনশিয়াল আনুমানিক ব্যবহার করে) ।

সরলীকৃত র্যাডিক্যালসঃ সঠিক ফর্মগুলি সন্ধান করা

যখন একটি সংখ্যা একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র নয়, তখন এর বর্গমূলটি প্রায়শই নিখুঁত বর্গক্ষেত্রগুলিকে বিভাজন করে সরল করা যায়। এটি একটি সঠিক ফর্ম দেয় (একটি দশমিক আনুমানিক নয়):

পদ্ধতি:র্যাডিকানডকে ফ্যাক্টর করে পারফেক্ট স্কোয়ার ফ্যাক্টর বের করুন, তারপর র্যাডিকানডের বাইরের ফ্যাক্টরগুলোর স্কোয়ার রুট নিন।

সরলীকৃত রূপ (উদাহরণস্বরূপ, 6√2) বীজগণিতে পছন্দ করা হয় কারণ এটি সঠিক এবং অভিব্যক্তিগুলিকে সহজ রাখে। দশমিক আনুমানিকতা গোলাকার ত্রুটি প্রবর্তন করে এবং প্রতীকী ম্যানিপুলেশনকে কঠিন করে তোলে। র্যাডিকাল যোগ করার সময়ঃ আপনি কেবল "র্যাডিকালের মতো" (একই র্যাডিক্যান্ড) একত্রিত করতে পারেনঃ 3√2 + 5√2 = 8√2, তবে 3√2 + 5√3 আরও সরল করা যায় না।

জ্যামিতিতে বর্গমূল এবং পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য

যখনই পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয় তখনই বর্গমূলগুলি প্রাকৃতিকভাবে উপস্থিত হয়ঃ a2 + b2 = c2। হাইপোটেনাস বা একটি পা সমাধানের জন্য সর্বদা একটি বর্গমূল জড়িত থাকে।

সাধারণ পাইথাগোরিয়ান ট্রিপল(পুরো সংখ্যা সমাধান, কোন বর্গমূল প্রয়োজন):

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বাস্তব-বিশ্বের প্রয়োগঃ

• নেভিগেশনঃএকজন দৌড়াদৌড়ি যিনি 3 কিমি পূর্ব এবং 4 কিমি উত্তর যান √(9 + 16) = 5 কিমি একটি সরলরেখায় শুরু থেকে
• পর্দার আকারঃএকটি 16:9 আকারের অনুপাত এবং 55 ইঞ্চি ডায়াগনালের একটি টিভি প্রস্থ = 55 x 16/√ ((162+92) = 55 x 16/18.36 ~ 47.9 ইঞ্চি, উচ্চতা ~ 26.9 ইঞ্চি
• দূরত্ব সূত্রঃসমন্বয় (x1,y1) এবং (x2,y2) এর মধ্যে জিপিএস দূরত্ব = √((x2-x1) 2 + (y2-y1) 2)
• বৈদ্যুতিক প্রকৌশল:প্রতিবন্ধকতা Z = √(R2 + X2) যেখানে R হল প্রতিরোধ এবং X হল প্রতিক্রিয়াশীলতা

ঘনক মূল এবং উচ্চতর ক্রমের মূল

বর্গমূল হল n-তম মূলের একটি বিশেষ ঘটনা।ঘনমূল( x) একটি মান y প্রদান করে যাতে y3 = x। উচ্চতর শিকড়গুলি n√x বা x ^ ^ 1 / n দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

কি কিউবিক রুট জানতে হবে:

• 1 = 1; 8 = 2; 27 = 3; 64 = 4; 125 = 5; 216 = 6; 1000 = 10
• 2 ~ 1.2599; 3 ~ 1.4422; 5 ~ 1.7100

বর্গমূলের বিপরীতে, নেতিবাচক সংখ্যার ঘনমূলগুলি বাস্তবঃ (-8) = -2 কারণ (-2) 3 = -8। এর কারণ হ'ল এমনকি শক্তি বনাম অদ্ভুত শক্তিকে ঘনক করা বিভিন্ন চিহ্নের আচরণ দেয়।

চতুর্থ শিকড়(4√x = (x^(1/2)) ^(1/2)): 4√16 = 2; 4√81 = 3; 4√256 = 4. চতুর্থ শিকড়টি বর্গমূলের বর্গমূল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে।

অ্যাপ্লিকেশনঃ

• অর্থায়ন4 বছরের জন্য যৌগিক বার্ষিক বৃদ্ধির হার (সিএজিআর): সিএজিআর = (ফাইনাল / প্রাথমিক) ^ 1 / 4) - 1. যদি বিনিয়োগ 4 বছরে 100 ডলার থেকে 200 ডলারে বৃদ্ধি পায়ঃ সিএজিআর = (200/100) ^ 0.25) - 1 = 2 ^ 0.25 - 1 = 1.1892 - 1 = 18.92% প্রতি বছর
• পদার্থবিজ্ঞান:একটি গ্রহ থেকে পালানোর বেগ v = √(2GM/r) একটি বর্গমূল ব্যবহার করে; Schwarzschild ব্যাসার্ধ r = 2GM/c2 কোন মূল ব্যবহার করে না কিন্তু কক্ষপথের সময়কাল T r^(3/2) ভগ্নাংশ শক্তি ব্যবহার করে
• জ্যামিতিঃএকটি গোলকের আয়তনঃ r = (3V/4π) আয়তন থেকে ব্যাসার্ধ খুঁজে পেতে একটি ঘনমূল প্রয়োজন

অযৌক্তিক সংখ্যা ও মৌলিক সংখ্যা

বেশিরভাগ বর্গমূল হল অকার্যকর সংখ্যা -- তাদের দশমিক সম্প্রসারণ শেষ হয় না বা পুনরাবৃত্তি হয় না, এবং তারা দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যায় না।

√২ এর অযৌক্তিকতা প্রাচীন গ্রিকদের দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল (পাইথাগোরিয়ান স্কুলের জন্য দায়ী) বিপরীতে প্রমাণ ব্যবহার করেঃ অনুমান করুন √২ = p/q সর্বনিম্ন পদগুলিতে, তারপর p2 = 2q2, অর্থ p2 এমনকি, তাই p এমনকি (p = 2k), প্রদান (2k) 2 = 2q2 -> q2 = 2k2 -> q এছাড়াও এমনকি, অনুমানের বিপরীতে যে p/q সর্বনিম্ন পদগুলিতে রয়েছে।

মূল অযৌক্তিক মূলের দশমিক সম্প্রসারণঃ

• √2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694...
• √3 = 1.73205080756887729352744634150587236694280525381038...
• √5 = 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152...
• √7 = 2.64575131106459059050161575667572514151032065870077...

একটি বর্গমূল যদি এবং কেবলমাত্র যদি র্যাডিক্যান্ড একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র হয় তবে তা যুক্তিসঙ্গত। √4 = 2 (যুক্তিসঙ্গত), √9 = 3 (যুক্তিসঙ্গত), কিন্তু √(4.41) = 2.1 (যুক্তিসঙ্গত! কারণ 4.41 = (2.1) 2 = 21/10 বর্গক্ষেত্র = 441/100) । মূল অন্তর্দৃষ্টিঃ √(p/q) যুক্তিসঙ্গত যখন সংখ্যাসূচক এবং গুণক উভয়ই নিখুঁত বর্গক্ষেত্র।

পরিসংখ্যান ও বিজ্ঞানে বর্গমূল

বর্গমূলগুলি পরিসংখ্যান এবং বিজ্ঞান জুড়ে প্রদর্শিত হয়, প্রায়শই সূত্রগুলিতে যা ছড়িয়ে পড়া, দূরত্ব বা অনিশ্চয়তা পরিমাপের সাথে জড়িত। এই চেহারাগুলিকে স্বীকৃতি দেওয়া আপনাকে বেসিক গাণিতিকের বাইরে বাস্তব বিশ্বের সমস্যার জন্য বর্গমূল ক্যালকুলেটর প্রয়োগ করতে সহায়তা করে।

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিঃσ = √(বিকৃতি) = √[Σ(xi - μ) 2 / N]। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হ'ল গড় থেকে বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির বর্গমূল। বর্গমূলটি গ্রহণ করলে পরিমাপটি মূল ডেটা হিসাবে একই ইউনিটগুলিতে ফিরে আসে - যদি উচ্চতা সেন্টিমিটারে হয় তবে বৈকল্পিকতা সেন্টিমিটারে হয় এবং মান বিচ্যুতি সেন্টিমিটারে হয়। একজন রানারের গতির বৈকল্পিকতা 9 (সেকেন্ড / কিলোমিটার) 2 হতে পারে, যার ফলে √9 = 3 সেকেন্ড / কিলোমিটার মান বিচ্যুতি হয়।

রুট মিডেন স্কোয়ার (আরএমএস):RMS = √ ((গড় বর্গক্ষেত্র) পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশলে বিভিন্ন পরিমাণের কার্যকর মাত্রা পরিমাপ করতে ব্যবহৃত হয়। এসি ভোল্টেজকে RMS হিসাবে প্রকাশ করা হয়ঃ "120V এসি" আউটলেটটির সর্বোচ্চ ভোল্টেজ 120 x √2 ~ 170 ভি, তবে RMS মান (120V) বিদ্যুৎ সরবরাহের জন্য সমতুল্য ডিসি ভোল্টেজকে উপস্থাপন করে। সাউন্ড চাপের মাত্রা, কম্পন মাত্রা এবং সংকেত গোলমালগুলি সাধারণত RMS মান হিসাবে প্রকাশ করা হয়।

অনিশ্চয়তার বিস্তারঃস্বাধীন পরিমাপের অনিশ্চয়তা একত্রিত করার সময়, সমন্বিত অনিশ্চয়তা = √(σ12 + σ22। যদি একটি জিপিএস +/-5 মিটার অনিশ্চয়তার সাথে দূরত্ব পরিমাপ করে এবং একটি স্টপওয়াচ +/-0.5 সেকেন্ডের অনিশ্চয়তার সাথে সময় পরিমাপ করে, সমন্বিত গতির অনিশ্চয়তা ভগ্নাংশ অনিশ্চয়তার সমষ্টির বর্গমূলের উপর নির্ভর করে।

কোয়ান্টাম মেকানিক্স:হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতিতে বর্গমূল অন্তর্ভুক্ত রয়েছে: Δx x Δp >= ħ/2. কোয়ান্টাম কণার তরঙ্গ ফাংশনগুলিতে জটিল বর্গমূল এবং এক্সপোনেন্সিয়াল অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। একটি অবস্থানে একটি কণা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হ'ল ∆ψΰ2 (তরঙ্গ ফাংশন মাত্রার বর্গক্ষেত্র), এবং অবস্থানের অনিশ্চয়তার মধ্যে রয়েছে √ (x2 - x 2) - অবস্থানের সম্ভাব্যতা বন্টনের মান বিচ্যুতি।