不等式計算器
式 ax + b > c の線形不等式を解く.解のセットとグラフの記述を取得する.即時結果のためにこの無料の数学計算機を使用する.登録不要です.
線形不等式を解く: ステップ・バイ・ステップ・メソッド
線形不等式は線形方程式に似ているが,不等式記号 (>, <, >=, <=) を用いる.解は単一の値ではなく,値の範囲 (区間) である.線形不等式の解は,一つの重要な例外を除いて,方程式と同じ代数法則に従っている.
シグナル・フリップのルール不等式の両辺を 負数で掛けたり 分けたりすると 不等式の方向が逆になります これが一番重要なルールで 間違いの最も一般的な原因です
例1: 2x + 3 <= 11 を解く
- 2x <= 8 と同じです.
- 2で割る (x <=4)
- 解:x <= 4 区間記号は (-∞, 4]
例2: -3x + 1 > 7 を解く
- 両辺から 1 を引く: -3x > 6
- 記号をひっくり返します. x < -2
- 解:x < -2, (-∞, -2) として記述される
インターバル記号参照表
不等式の解は間隔記号を用いて表される.この記号は括弧と括弧を用いて,エンドポイントが含まれているか除外されているかを示す.
| 不平等 | インターバル記号 | ナンバーライン | エンドポイントは含まれますか? |
|---|---|---|---|
| x < 5 について | (- ∞, 5) | 5で開いた円,左に矢印 | ない (5を除く) |
| x <= 5 について | (-∞, 5] | 5で閉じた円,左に矢印 | はい (5本含む) |
| x > -2 | (−2, +∞) | 右に矢印をクリックします. | ノー (-2を除く) |
| x >=−2 | [−2, +∞) とする. | 右に矢印をクリックします. | はい (-2を含む) |
| -3 < x < 7 について | (−3,7) について | オープンな円,その間に影が付いている | いずれのエンドポイントも |
| -3 <= x <= 7 となる | [−3, 7] | 閉ざされた円,その間の影 | 両方のエンドポイント |
| x < 0 または x > 4 | (-∞, 0) (4, +∞) | 2つの別々の光線 | 0でも4でもない |
記号は"結合" (両セットを組み合わせる) を意味する.正方括弧 [ ] は閉じた間隔 (エンドポイントを含む) を示す.括弧 ( ) は開いた間隔 (エンドポイントを除く) を示す.無限は常に括弧を使用する.なぜなら,無限は実際の到達可能な値ではないからである.
複合不等式: AND と OR
複合不等式は2つの別々の不等式を"and"または"or"で組み合わせて,2つの間隔の交差点または結合である解を作成します.
"そして"の複合不等式(結合) は,両方の条件が同時に満たされることを要求する. 解は,両方の解集合の交点である. 例: -2 < x + 1 <= 5. すべての部分から 1 を引く: -3 < x <= 4. 解: (-3, 4).
"または"複合不等式(解離) は少なくとも1つの条件を満たす必要があります.解は結合です.例: 2x - 1 < 3 または 3x + 1 > 10.それぞれ解く: x < 2 または x > 3.解: (-∞, 2) (3, +∞).
| 化合物の種類 | 例 について | 解決方法 | グラフの形 |
|---|---|---|---|
| AND (両方の条件) | x > -1 と x < 4 | (−1,4) について | 制限されたセグメント |
| OR (いずれかの条件) | x < -2 または x > 3 | (-∞,-2) (3,+∞) | 2つの光線を外へ |
| AND (重複しない) | x > 5 と x < 2 | (空のセット) | 解決法はない |
| OR (完全な重複) | x > 1 または x < 8 | (-∞, +∞) | すべての実数 |
絶対値の不平等
絶対値の不等式は,基本規則を用いて複合不等式に変換されます.
- "A"は"B"より小さい(b > 0) -> -b < A < b (AND型 -> 制限区間)
- "A"は"B"より小さい(b > 0) -> A < -b または A > b (OR型 -> 2本の線)
- A は b に等しい.-> -b <= A <= b
- "A"は"B"に等しい-> A <= -b または A >= b
例1:x - 3 乗数 < 5. 規則を適用する: -5 < x - 3 < 5. 3 を足す: -2 < x < 8. 解: (-2, 8).
例2: 2x + 1 ≠ 0 = 7. 2x + 1 <= -7 OR 2x + 1 >= 7. ケース1: 2x <= -8 -> x <= -4. ケース2: 2x >= 6 -> x >= 3. 解: (-∞, -4) [3, +∞).
絶対値不等式は,誤差解析 (数値測定 - 真の数値 <= 許容度),距離問題 (数値x - 中央数値 <半径),制御システム (数値誤差信号 < 値) に現れます.それらを理解することは,応用数学と工学にとって不可欠です.
平方不等式と多項式不等式
x2以上の不等式の場合,アプローチは異なる.ax2 + bx + c > 0のような二次不等式は,単純な代数操作で解くことはできず,根を見つけ,間隔をテストする必要があります.
二次方程式の解法:
- すべてを片側に移動する式 ax2 + bx + c > 0 (または <, >=, <=) を取得する.
- 根元を探して素因数分解,二次方程式,あるいは正方形を完成させることで
- 標識チャートを作成:根は数直線を間隔に分けます.各間隔の1点をテストします.
- 不等式を満たす間隔を特定する.
例:x2 - x - 6 > 0.因数: (x - 3) (((x + 2) > 0.根:x = 3 と x = -2.3つの間隔:x < -2, -2 < x < 3, x > 3.テストx = -3: (-6) ((-1) = 6 > 0 .テストx = 0: (-3) ((2) = -6 < 0 .テストx = 4: (1) ((6) = 6 > 0 .解: (-∞, -2) (3, +∞).
| 不平等の種類 | 方法 | 例 について | 解決方法 |
|---|---|---|---|
| 線形: ax + b > c | 直接解決 (マインド・サイン・フリップ) | 2x - 4 > 6 | x > 5 -> (5, +∞) |
| 平方: ax2 + bx + c > 0 | ルーツ + サインチャート | x2 - 4 > 0 | x < -2 または x > 2 |
| 合理的:p (x) /q (x) > 0 | クリティカルポイント + シグネチャーチャート | (x+1) / (x-2) > 0 | x < -1 または x > 2 |
実生活における不平等:応用とモデル化
不等式は ほぼすべての定量的な領域の 制約をモデル化します 正確な条件を記述する方程式とは異なり 不等式は実行可能な領域 -- 許容される値の範囲を記述します
個人財政:"私 の 借金 総 額 が 総 収入 の 36% 未満 で ある なら,毎月 車 代 を 払う こと が でき ます". 総 収入 = 月 5,000 ドル,その他 の 借金 = 月 800 ドル の 場合: 車 代 + 800 <= 0.36 x 5000 = 1800 車 代 <= 1,000 ドル.
エンジニアリングデザイン:橋梁梁は,負荷Lを故障することなく処理しなければならない.安全因子は,負荷 σ <= σ_yield/1.5 を要求する.この不等式は,最低必要な梁横断を決定する.
薬と用量:薬剤は,血中濃度が10~20mg/Lである場合に安全である: 10 <= C(t) <= 20. 投与スケジュールは,この治療ウィンドウで濃度を維持する必要があります. 低すぎると無効で,高すぎると有毒です.
品質管理:測定値が目標値の +/-2σ の範囲内にある場合,製造プロセスは許容される: 〇x - μの値 <= 2σ . この範囲外の部品は拒否される. 統計的プロセス制御は不平等モニタリングを常に使用する.
線形プログラミング:企業は,P = 3x + 5yの利潤を最大化するために,以下のような制約に従います:x >= 0, y >= 0, 2x + y <= 100, x + 3y <= 90. 最適な解決策は,常に実行可能な領域の頂点 (すべての制約を満たす領域) で発生します. これは,オペレーションリサーチと物流最適化の基礎です.
数直線と座標平面の不等式をグラフ化する
不等式を視覚化することで,その解に対する直感を構築するのに役立ちます.数直線上では,一変数不等式の解は次のように表されます.
- オープン・サークル厳格な不等式 (< または >) のエンドポイントで -- エンドポイントは含まれていません.
- 閉じた円 (満点)厳格でない不等式 (<= または >=) の場合 -- 終点が含まれています.
- シャドードリージョンすべての溶液値を示す (矢印または行)
2変数の線形不等式 (2x + 3y <= 12) の解は,座標平面上の半平面である.グラフ化方法: (1) 境界線 2x + 3y = 12 を dashed line (strict inequality) または solid line (non-strict) として描画する. (2) 線上にない点をテストする (通常は原点): 2(0) + 3(0) = 0 <= 12. テストポイントを含む側をシェードする. シェードされた領域は,不等式を満たすすべての (x, y) ペアを表す.
線形不等式のシステムは,複数の半平面の交差点である可能な領域を作成します.これらの凸多角形領域は,線形プログラミングの基礎です - 可能な領域上の任意の線形客観関数の最適な値は,常に頂点 (角点) の1つで発生します.
よく 聞かれる 質問
両辺をマイナス数で掛けるとどうなるでしょうか?
不等式の方向は逆になります.a > b と c < 0 の場合,ac < bc です.例: 3 > 1; -2: -6 < -2 で掛けます.これは不等式代数学の最も重要な規則です.記号の逆転を忘れてしまうのが最も一般的なエラーです.マイナスで割り切るとき (例えば,マイナス係数でxを分離するには),常に不等式を逆転します.
インターバル記号とは何か?
区間記号は,括弧と括弧を用いて不等式の解集を記述する.括弧 ( ) は開いた境界 (エンドポイントを除く) を示し,括弧 [ ] は閉じた境界 (エンドポイントを含む) を示します.無限は常に括弧を使用します.例: x > 3 -> (3, +∞); x <= 7 -> (-∞, 7); 2 <= x < 9 -> [2, 9).
線形不等式は解がないのでしょうか?
はい.x の係数が 0 で,結果として得られる命題が偽である場合,解はありません.例: 0·x + 5 < 3 は 5 < 3 に簡素化されます.これは常に偽です.解はありません (空集合).逆に,簡素化された命題が常に真である場合 (5 > 3),すべての実数は解です.
不等式を解くことは 方程式を解くこととはどう違いますか?
このプロセスはほぼ同じである.ただし, (1) 解は特定の値ではなく間隔 (または間隔の結合) である. (2) 負数で掛け算/除算すると不等式記号が反転する. 方程式 ax + b = c には,最多 1 つの解 (a≠0 に対して) があり,不等式 ax + b < c には,間隔を形成する無限多くの解がある.
"厳格な"対"非厳格な"不平等とはどういう意味ですか?
厳格な不等式 (<, >) は境界値を除外し,エンドポイントは解の一部ではない.非厳格な不等式 (<=, >=) は境界値を含む.数直線上では,厳格 -> オープンサークル (ホロードット);非厳格 -> 閉鎖サークル (充填ドット).区間記号では,厳格 -> 括弧;非厳格 -> 括弧.
絶対値の不等式はどのように解くのですか?
A < b -> -b < A < b (限定区間). A < -b OR A > b (二線). b > 0であることを常に確認してください. b <= 0の場合,A < b は解がない (絶対値は負でない). A < b (b < 0の場合) はすべての実数で解である.
x2 < 4 の解の集合は何でしょうか?
x2 < 4 は 20x < 2 ですので -2 < x < 2 解: (-2, 2) 確認:x = 1.5, 1.52 = 2.25 < 4 で.x = 2, 4 < 4 は偽 (厳格な不等式,エンドポイントを除く) で.x = 3, 9 < 4 は偽です.
不等式をグラフ化するには?
各不等式を別々にグラフに描き,それぞれの可行半平面をシェーディングする.システムの解は,すべての不等式が同時にシェーディングした領域 (交差点) である. 3 つ以上の不等式を持つシステムでは,可行領域は,境界線の交差点にある頂点を持つ多角形である可能性がある.これらの頂点は,線形プログラミングの最適化に不可欠である.
理性不等式とは何か? どうやって解くのか?
理数不等式は,p(x) /q(x) > 0 (または <, >=, <=) の形である. 臨界点は,p(x) = 0 (数値ゼロ) またはq(x) = 0 (代数ゼロ - 領域から除外される) である. これらの点は数直線を区間に分割する. 各区間をテストする. 理数式は各区間内に定数記号を有する. 式が不等式を満たす区間を収集する. 注:代数ゼロは, >= または <= の場合でも決して含まれません.
不平等には 解決法がないか 解決法が無限にあるのか?
線形不等式は,通常無限に多くの解 (間隔) を有する.特殊な例: (1) 解がない:不等式が3<1のような虚偽の命題に簡素化される場合.これは矛盾する複合AND不等式 (x > 5 AND x < 2 -> 空集合) で起こります. (2) すべての実数: 1<3のような常に真である命題に簡素化される場合. OR不等式は,すべての実数:x > 1 OR x < 2 -> すべての実数を含むことができます. なぜなら,すべての実数は少なくとも1つの条件を満たすからです.