Calculator Inegalități
Rezolvă inegalități liniare de forma ax + b > c. Obții mulțimea soluție și descrierea graficului. Calculator de matematică gratuit cu rezultate instant. Fără înregistrare.
Rezolvarea inegalităților liniare: Metodă pas cu pas
O inegalitate liniară seamănă cu o ecuație liniară, dar folosește semne de inegalitate (>, <, ≥, ≤) în loc de egalitate. Soluția nu este o valoare singulară ci un interval de valori. Rezolvarea urmează aceleași reguli algebrice ca ecuațiile, cu o excepție critică.
Regula inversării semnului: Când înmulțești sau împarți ambii membri ai unei inegalități cu un număr negativ, direcția inegalității se inversează. Aceasta este regula cea mai importantă — și sursa cea mai frecventă de erori.
Exemplu 1: Rezolvă 2x + 3 ≤ 11.
- Scade 3 din ambii membri: 2x ≤ 8
- Împarte la 2 (pozitiv, deci fără inversare): x ≤ 4
- Soluție: x ≤ 4, în notație interval: (−∞, 4]
Exemplu 2: Rezolvă −3x + 1 > 7.
- Scade 1: −3x > 6
- Împarte la −3 (negativ! inversează semnul): x < −2
- Soluție: x < −2, scris ca (−∞, −2)
Tabel de referință pentru notația interval
| Inegalitate | Notație interval | Axă numerică | Capătul inclus? |
|---|---|---|---|
| x < 5 | (−∞, 5) | Cerc deschis la 5, săgeată stânga | Nu (5 exclus) |
| x ≤ 5 | (−∞, 5] | Cerc plin la 5, săgeată stânga | Da (5 inclus) |
| x > −2 | (−2, +∞) | Cerc deschis la −2, săgeată dreapta | Nu (−2 exclus) |
| x ≥ −2 | [−2, +∞) | Cerc plin la −2, săgeată dreapta | Da (−2 inclus) |
| −3 < x < 7 | (−3, 7) | Cercuri deschise, hașurat între | Niciun capăt |
| −3 ≤ x ≤ 7 | [−3, 7] | Cercuri pline, hașurat între | Ambele capete |
| x < 0 sau x > 4 | (−∞, 0) ∪ (4, +∞) | Două raze separate | Nici 0, nici 4 |
Simbolul ∪ înseamnă "reuniune" (combinarea ambelor mulțimi). Parantezele drepte [ ] indică intervale închise (capătul inclus). Parantezele rotunde ( ) indică intervale deschise (capătul exclus). Infinitul folosește întotdeauna paranteze rotunde.
Inegalități compuse: ȘI și SAU
Inegalitățile compuse combină două inegalități separate cu "și" sau "sau", creând soluții care sunt intersecții sau reuniuni a două intervale.
Inegalități compuse cu "și" (conjuncție) necesită satisfacerea simultană a ambelor condiții. Soluția este intersecția ambelor mulțimi de soluție. Exemplu: −2 < x + 1 ≤ 5. Scade 1 din toate: −3 < x ≤ 4. Soluție: (−3, 4].
Inegalități compuse cu "sau" (disjuncție) necesită satisfacerea cel puțin a unei condiții. Soluția este reuniunea. Exemplu: 2x − 1 < 3 sau 3x + 1 > 10. Rezolvă fiecare: x < 2 sau x > 3. Soluție: (−∞, 2) ∪ (3, +∞).
Inegalități cu valoare absolută
Inegalitățile cu valoare absolută se transformă în inegalități compuse:
- |x| < a (a > 0) devine −a < x < a (inegalitate "și")
- |x| > a (a > 0) devine x < −a SAU x > a (inegalitate "sau")
- |x| ≤ a devine −a ≤ x ≤ a
- |x| ≥ a devine x ≤ −a SAU x ≥ a
Exemplu: |2x − 3| < 7 → −7 < 2x − 3 < 7 → −4 < 2x < 10 → −2 < x < 5 → Soluție: (−2, 5)
Întrebări frecvente
Cum rezolvi o inegalitate liniară?
Izolează variabila adăugând, scăzând, înmulțind sau împărțind ambii membri. Regulă cheie: când înmulțești sau împarți cu un număr negativ, inversează semnul inegalității. Soluția este un interval, nu un singur număr.
Când inversezi semnul inegalității?
Inversezi semnul inegalității NUMAI când înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ. Adăugarea sau scăderea nu inversează semnul. Exemplu: dacă ai −2x > 6, împărțind la −2 inversezi: x < −3.
Ce este notația interval?
Notația interval exprimă mulțimile soluție folosind paranteze rotunde (capăt exclus) și paranteze drepte (capăt inclus). Exemplu: x ≥ 3 devine [3, +∞); −1 < x < 5 devine (−1, 5).
Care este diferența dintre o inegalitate strictă și una slabă?
Inegalitățile stricte (< și >) exclud valoarea de la capăt; inegalitățile slabe (≤ și ≥) o includ. Pe axă: strict = cerc deschis; slab = cerc plin (sau punct). În notația interval: strict = paranteze rotunde; slab = paranteze drepte.
Cum graficezi o inegalitate pe axă?
Marchează valoarea de la capăt cu un cerc deschis (pentru < sau >) sau un cerc plin (pentru ≤ sau ≥). Trasează o săgeată sau o linie hașurată în direcția soluției. Pentru inegalități compuse cu "sau", ai doi segmente sau raze separate.