Kalkulator Ketaksamaan
Selesaikan ketaksamaan linear dalam bentuk ax + b > c. Dapatkan set penyelesaian dan penerangan graf. Gunakan kalkulator matematik percuma ini untuk keputusan segera. Tiada pendaftaran.
Solving Linear Inequalities: Kaedah Langkah demi Langkah
Sebuah ketidaksetaraan linear menyerupai sebuah persamaan linear tetapi menggunakan tanda ketidaksetaraan (>, <, ≥, ≤) daripada sama. Jawaban bukanlah nilai tunggal tetapi rentang (interval) nilai. Menyelesaikan ketidaksetaraan linear mengikuti aturan aljabar yang sama seperti persamaan, dengan satu pengecualian kritis.
Aturan ubah tandanya: Ketika Anda mengalikan atau membagi kedua sisi ketidaksetaraan dengan sebuah bilangan negatif, arah ketidaksetaraan berubah. Ini adalah aturan yang paling penting — dan sumber kesalahan yang paling umum.
Contoh 1: Selesaikan 2x + 3 ≤ 11.
- Anggap 3 dari kedua sisi: 2x ≤ 8
- Bagi dengan 2 (positif, jadi tidak perlu ubah): x ≤ 4
- Jawaban: x ≤ 4, ditulis dalam notasi interval sebagai (−∞, 4]
Contoh 2: Selesaikan −3x + 1 > 7.
- Anggap 1 dari kedua sisi: −3x > 6
- Bagi dengan −3 (negatif! ubah tandanya): x < −2
- Jawaban: x < −2, ditulis sebagai (−∞, −2)
Tabel Referensi Notasi Interval
Jawaban ketidaksetaraan dilambangkan menggunakan notasi interval, yang menggunakan tanda kurung dan kurung untuk menunjukkan apakah titik akhir termasuk atau tidak.
| Ketidaksetaraan | Notasi Interval | Garis Bilangan | Titik Akhir Termasuk? |
|---|---|---|---|
| x < 5 | (−∞, 5) | Bulatan terbuka di 5, panah ke kiri | Tidak (5 tidak termasuk) |
| x ≤ 5 | (−∞, 5] | Bulatan tertutup di 5, panah ke kiri | Ya (5 termasuk) |
| x > −2 | (−2, +∞) | Bulatan terbuka di −2, panah ke kanan | Tidak (−2 tidak termasuk) |
| x ≥ −2 | [−2, +∞) | Bulatan tertutup di −2, panah ke kanan | Ya (−2 termasuk) |
| −3 < x < 7 | (−3, 7) | Bulatan terbuka, terisi antara | Tidak titik akhir |
| −3 ≤ x ≤ 7 | [−3, 7] | Bulatan tertutup, terisi antara | Titik akhir keduanya |
| x < 0 atau x > 4 | (−∞, 0) ∪ (4, +∞) | Dua garis yang berbeda | Tidak 0 atau 4 |
Simbol ∪ berarti "persatuan" (menggabungkan kedua set). Kurung kotak [ ] menunjukkan interval tertutup (titik akhir termasuk). Kurung ( ) menunjukkan interval terbuka (titik akhir tidak termasuk). Kekurangan selalu menggunakan kurung karena kekuran tidak merupakan nilai yang dapat dicapai.
Ketidaksetaraan Gabungan: DAN dan ATAU
Ketidaksetaraan gabungan menggabungkan dua ketidaksetaraan yang berbeda dengan "dan" atau "atau", menciptakan solusi yang merupakan interseksi atau persatuan dari dua interval.
Ketidaksetaraan gabungan "dan" (konjungsi) memerlukan kedua kondisi untuk dipenuhi secara bersamaan. Solusi adalah interseksi dari kedua set solusi. Contoh: −2 < x + 1 ≤ 5. Anggap 1 dari semua bagian: −3 < x ≤ 4. Solusi: (−3, 4].
Ketidaksetaraan gabungan "atau" (disjungsi) memerlukan setidaknya satu kondisi untuk dipenuhi. Solusi adalah persatuan. Contoh: 2x − 1 < 3 atau 3x + 1 > 10. Selesaikan masing-masing: x < 2 atau x > 3. Solusi: (−∞, 2) ∪ (3, +∞).
| Tipe Gabungan | Contoh | Solusi | Bentuk Grafik |
|---|---|---|---|
| DAN (kedua kondisi) | x > −1 DAN x < 4 | (−1, 4) | Segmen terbatas |
| ATAU (satu kondisi) | x < −2 ATAU x > 3 | (−∞,−2) ∪ (3,+∞) | Dua garis yang berbeda |
| DAN (tidak ada overlap) | x > 5 DAN x < 2 | ∅ (set kosong) | Tidak ada solusi |
| ATAU (overlap penuh) | x > 1 ATAU x < 8 | (−∞, +∞) | Semua bilangan real |
Nilai Absolut Inequaliti
Nilai absolut inegaliti bertukar kepada inegaliti campuran menggunakan peraturan asas:
- |A| < b (b > 0) → −b < A < b (AND jenis → rentang terikat)
- |A| > b (b > 0) → A < −b OR A > b (OR jenis → dua garis)
- |A| ≤ b → −b ≤ A ≤ b
- |A| ≥ b → A ≤ −b OR A ≥ b
Contoh 1: |x − 3| < 5. Terapkan peraturan: −5 < x − 3 < 5. Tambah 3: −2 < x < 8. Jawapan: (−2, 8).
Contoh 2: |2x + 1| ≥ 7. Terapkan peraturan: 2x + 1 ≤ −7 OR 2x + 1 ≥ 7. Kes 1: 2x ≤ −8 → x ≤ −4. Kes 2: 2x ≥ 6 → x ≥ 3. Jawapan: (−∞, −4] ∪ [3, +∞).
Nilai absolut inegaliti muncul dalam analisis kesilapan (|ukuran − benar| ≤ toleransi), masalah jarak (|x − pusat| < radius), dan sistem kawalan (|isyarat kesalahan| < had). Memahami mereka adalah penting untuk matematik yang digunakan dan kejuruteraan.
Inegaliti Kuadratik dan Polinomial
Untuk inegaliti yang melibatkan x² dan kuasa yang lebih tinggi, pendekatan berbeza. Inegaliti kuadratik seperti ax² + bx + c > 0 tidak dapat diselesaikan dengan manipulasi aljabar yang mudah — ia memerlukan mencari akar dan menguji rentang.
Cara untuk inegaliti kuadratik:
- Gerakkan semua ke satu sisi: Dapatkan bentuk ax² + bx + c > 0 (atau <, ≥, ≤).
- Cari akar dengan menyelesaikan ax² + bx + c = 0 menggunakan faktor, formula kuadratik, atau melengkapi kuadrat.
- Buat carta tanda: Akar memisahkan garis nombor menjadi rentang. Uji satu titik dalam setiap rentang.
- Identify rentang yang memuaskan inegaliti.
Contoh: x² − x − 6 > 0. Faktor: (x − 3)(x + 2) > 0. Akar: x = 3 dan x = −2. Tiga rentang: x < −2, −2 < x < 3, x > 3. Uji x = −3: (−6)(−1) = 6 > 0 ✓. Uji x = 0: (−3)(2) = −6 < 0 ✗. Uji x = 4: (1)(6) = 6 > 0 ✓. Jawapan: (−∞, −2) ∪ (3, +∞).
| Jenis Inegaliti | Metod | Contoh | Jawapan |
|---|---|---|---|
| Linear: ax + b > c | Pemecahan langsung (mengambil kira perubahan tanda) | 2x − 4 > 6 | x > 5 → (5, +∞) |
| Kuadratik: ax² + bx + c > 0 | Akar + carta tanda | x² − 4 > 0 | x < −2 atau x > 2 |
| Rasional: p(x)/q(x) > 0 | Punca kritikal + carta tanda | (x+1)/(x−2) > 0 | x < −1 atau x > 2 |
Perbezaan dalam Kehidupan Sebenar: Aplikasi dan Model
Perbezaan modelkan keterbatasan dalam setiap bidang kuantitatif. Berbandingan dengan persamaan yang menggambarkan keadaan tepat, perbezaan menggambarkan kawasan yang boleh dipertimbangkan — rentang nilai yang diterima.
Keuangan peribadi: "Saya boleh bayar bayaran bulanan kereta jika bayaran hutang jumla saya tetap di bawah 36% daripada pendapatan gaji." Jika pendapatan gaji = $5,000/bulan dan hutang lain-lain = $800/bulan: bayaran kereta + 800 ≤ 0.36 × 5000 = 1800. Bayaran kereta ≤ $1,000.
Reka bentuk kejuruteraan: Sebatang jambatan mesti menanggung beban L tanpa kegagalan. Faktor keselamatan memerlukan tekanan σ ≤ σ_yield/1.5. Inequaliti ini menentukan saiz minimum reka bentuk bingkai.
Perubatan dan dos: Dadah selamat apabila konsentrasi darah berada dalam antara 10 dan 20 mg/L: 10 ≤ C(t) ≤ 20. Jadual dosing mesti memastikan konsentrasi dalam jangkamasa terapeutik — terlalu rendah tidak berkesan, terlalu tinggi berbahaya.
Kawalan kualiti: Proses pengeluaran adalah terima jika pengukuran jatuh dalam ±2σ daripada sasaran: |x − μ| ≤ 2σ. Bahagian luar kawasan ini ditolak. Kawalan proses statistik menggunakan pemantauan perbezaan secara berterusan.
Program linear: Syarikat maksimumkan keuntungan P = 3x + 5y subjek kepada keterbatasan: x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 100, x + 3y ≤ 90. Pada penyelesaian optimum selalu berlaku di salah satu sudut kawasan yang boleh dipertimbangkan (kawasan yang memenuhi semua keterbatasan). Ini adalah asas penyelidikan operasi dan pengoptimuman logistik.
Menyatakan Perbezaan pada Garis Bilangan dan Peta Koordinat
Menyatakan perbezaan membantu membina kefahaman tentang penyelesaian mereka. Pada garis bilangan, penyelesaian untuk satu variabel perbezaan mewakili:
- Bulatan terbuka di hujung untuk perbezaan ketat (< atau >) — hujung tidak termasuk
- Bulatan tertutup (titik berisi) untuk perbezaan tidak ketat (≤ atau ≥) — hujung termasuk
- Wilayah yang diberi warna (panah atau garis) menunjukkan semua nilai penyelesaian
Untuk perbezaan linear dua-variabel (2x + 3y ≤ 12), penyelesaian adalah separuh bidang pada peta koordinat. Kaedah grafik: (1) Lukiskan garis sempadan 2x + 3y = 12 sebagai garis dash (perbezaan ketat) atau garis padu (perbezaan tidak ketat). (2) Uji titik bukan pada garis (biasanya asal): 2(0) + 3(0) = 0 ≤ 12 ✓. Warnai sisi yang mengandungi titik ujian. Kawasan yang diberi warna mewakili semua pasang (x, y) yang memenuhi perbezaan.
Sistem perbezaan linear mencipta kawasan yang boleh dipertimbangkan yang merupakan interaksi beberapa separuh bidang. Kawasan poligon yang padu ini adalah asas program linear — nilai optimum bagi setiap fungsi objektif linear atas kawasan yang boleh dipertimbangkan selalu berlaku di salah satu sudut (titik sudut).
Soalan Lazim
Apakah yang berlaku apabila anda menggandaikan kedua-dua pihak sebarang ketidaksetaraan dengan nombor negatif?
Ketetapan ketidaksetaraan bertukar. Jika a > b dan c < 0, maka ac < bc. Contoh: 3 > 1; gandaikan dengan -2: -6 < -2 ✓. Ini adalah peraturan yang paling penting dalam algebra ketidaksetaraan. Mengabaikan untuk membalikkan tanda adalah kesalahan yang paling biasa. Apabila membagi dengan nombor negatif (contohnya, untuk mengasingkan x dengan koefisien negatif), selalu balikkan ketetapan ketidaksetaraan.
Apakah notasi interval?
Notasi interval menggambarkan set penyelesaian sebarang ketidaksetaraan menggunakan tanda kurung dan kurungan. Kurungan ( ) menunjukkan batasan terbuka (titik akhir tidak termasuk); kurungan [ ] menunjukkan batasan tertutup (titik akhir termasuk). Kekeluaran selalu menggunakan kurungan. Contoh: x > 3 → (3, +∞); x ≤ 7 → (−∞, 7]; 2 ≤ x < 9 → [2, 9).
Adakah sebarang ketidaksetaraan linear boleh tiada penyelesaian?
Ya. Jika koefisien x adalah 0 dan pernyataan yang dihasilkan adalah palsu, tiada penyelesaian. Contoh: 0·x + 5 < 3 disederhanakan menjadi 5 < 3, yang selalu palsu — tiada penyelesaian (set kosong). Sebaliknya, jika pernyataan yang disederhanakan selalu benar (5 > 3), semua nombor real adalah penyelesaian.
Bagaimana menyelesaikan sebarang ketidaksetaraan berbeza dengan menyelesaikan sebarang persamaan?
Prosesnya hampir sama, kecuali: (1) penyelesaian adalah interval (atau gabungan interval) daripada nilai khusus; (2) menggandaikan/membagi dengan nombor negatif membalikkan tanda ketetapan ketidaksetaraan. Sebarang persamaan ax + b = c mempunyai maksimum satu penyelesaian (untuk a ≠ 0); sebarang ketidaksetaraan linear ax + b < c mempunyai penyelesaian yang tidak terhingga membentuk interval.
Apakah yang dimaksudkan dengan "ketidaksetaraan ketat" vs. "ketidaksetaraan tidak ketat"?
Ketidaksetaraan ketat (<, >) mengesahkan nilai batasan; nilai batasan tidak termasuk dalam penyelesaian. Ketidaksetaraan tidak ketat (≤, ≥) termasuk nilai batasan. Pada garis nombor, ketat → bulatan terbuka (titik kosong); tidak ketat → bulatan tertutup (titik penuh). Dalam notasi interval, ketat → kurungan; tidak ketat → kurungan.
Bagaimana menyelesaikan ketidaksetaraan nilai mutlak?
|A| < b → −b < A < b (interval terikat). |A| > b → A < −b ATAU A > b (dua garis). Sentiasa periksa jika b > 0 terlebih dahulu: jika b ≤ 0, |A| < b tiada penyelesaian (nilai mutlak tidak boleh negatif); |A| > b (dengan b < 0) mempunyai semua nombor real sebagai penyelesaian.
Apakah set penyelesaian x² < 4?
x² < 4 bermaksud |x| < 2, jadi −2 < x < 2. Penyelesaian: (−2, 2). Periksa: pada x = 1.5, 1.5² = 2.25 < 4 ✓. Pada x = 2, 4 < 4 adalah palsu ✗ (ketidaksetaraan ketat, titik akhir tidak termasuk). Pada x = 3, 9 < 4 adalah palsu ✗.
Bagaimana graf sebarang sistem ketidaksetaraan?
Graf setiap ketidaksetaraan secara berasingan, mewarna separuh bidang yang sesuai untuk setiap satu. Penyelesaian sistem adalah kawasan yang diberi warna oleh SEMUA ketidaksetaraan secara serentak (persilangan). Untuk sistem 3 atau lebih ketidaksetaraan, kawasan yang sesuai mungkin merupakan poligon dengan titik-titik sudut di persilangan garis-garis batasan. Titik-titik ini kritikal untuk pengoptimuman pengaturcaraan linear.
Apakah sebarang ketidaksetaraan rasional dan bagaimana menyelesaian?
Ketidaksetaraan rasional mempunyai bentuk p(x)/q(x) > 0 (atau <, ≥, ≤). Poin kritikal adalah di mana p(x) = 0 (nominator sifar) atau q(x) = 0 (denominator sifar — tidak termasuk dalam domain). Poin-poin ini memisahkan garis nombor menjadi interval. Uji setiap interval: sebarang ekspresi rasional mempunyai tanda yang tetap dalam setiap interval. Kumpulkan interval di mana ekspresi memenuhi ketidaksetaraan. Perhatikan: sifar denominator tidak termasuk, walaupun dengan ≥ atau ≤.
Adakah ketidaksetaraan boleh tiada penyelesaian atau mempunyai penyelesaian yang tidak terhingga?
Ya kepada kedua-dua. Sebarang ketidaksetaraan linear biasanya mempunyai penyelesaian yang tidak terhingga (interval). Kes-kes khas: (1) Tiada penyelesaian: apabila ketidaksetaraan disederhanakan menjadi pernyataan palsu seperti 3 < 1. Ini berlaku dengan ketidaksetaraan gabungan yang bertentangan (x > 5 DAN x < 2 → set kosong). (2) Semua nombor real: apabila disederhanakan menjadi pernyataan yang selalu benar seperti 1 < 3. ATAU ketidaksetaraan boleh menutupi semua reals: x > 1 ATAU x < 2 → semua reals, kerana setiap nombor real memenuhi sekurang-kurangnya satu syarat.