Tasa-arvon laskin
Ratkaise lineaariset epätasa-arvot muodosta ax + b > c. Hanki ratkaisujärjestelmä ja kaavion kuvaus. Käytä tätä ilmaista matemaattista laskinta välittömiä tuloksia varten.
Linearisten epätasa-arvojen ratkaiseminen: vaiheittainen menetelmä
Lineaarinen epätasa-arvo muistuttaa lineaarista yhtälöä, mutta siinä käytetään epätasa-arvon merkkejä (>, <, >=, <=) yhtälöiden sijasta.
Kääntykääntö:Kun kerrotaan tai jaetaan epätasa-arvon molemmat puolet negatiivisella luvulla, epätasa-arvon suunta kääntyy.
Esimerkki 1: Ratkaise 2x + 3 <= 11.
- Poista 3 molemmilta puolilta: 2x <= 8
- Jaetaan kahdella (positiivinen, joten ei käännettä): x <= 4
- Ratkaisu: x <= 4, kirjoitetaan intervallin merkinnällä (-∞, 4]
Esimerkki 2: Ratkaise -3x + 1 > 7.
- Poista 1 molemmilta puolilta: -3x > 6
- Jaetaan -3 (negatiivinen! käännä merkki): x < -2
- Ratkaisu: x < -2, kirjoitetaan (-∞, -2)
Intervallin merkintötaulukko
Eriarvoisuuksien ratkaisut ilmaistaan intervallikirjoituksella, jossa käytetään sulkijoita ja sulkimia osoittamaan, sisältyvätkö loppupisteet vai eivät.
| Eriarvoisuus | Intervallin merkintä | Numerolinja | Sisältääkö se loppupisteen? |
|---|---|---|---|
| x < 5 | (-∞, 5) | Avaa ympyrä viidellä, nuoli vasemmalle. | Ei (5 lukuun ottamatta) |
| x <= 5 | (-∞, 5] | Suljettu ympyrä 5, nuoli vasemmalle | Kyllä (mukaan lukien 5) |
| x > -2 | (−2, +∞) | Avaa ympyrä -2, nuoli oikealle | Ei (pois lukien -2) |
| x >= -2 | [-2, +∞) | Suljettu ympyrä -2, nuoli oikealle | Kyllä (mukaan lukien -2) |
| - 3 < x < 7 | (-3, 7) | avoimet ympyrät, varjostetut | Kumpikaan päätepisteistä |
| - 3 <= x <= 7 | [-3, 7] | Suljetut ympyrät, varjostetut | Molemmat päätepisteet |
| x < 0 tai x > 4 | (-∞, 0) (4, +∞) | Kaksi erillistä säteilyä | Ei 0 eikä 4 |
Symboli tarkoittaa "liitto" (yhdistää molemmat joukot). Neljäsparentseilla [ ] ilmaistaan suljetut välit (loppupiste mukaan lukien). Suljetut välit ( ) ilmaisevat avoimet välit (loppupiste pois lukien). Äärettömyys käyttää aina suljettuja merkkejä, koska äärettömyys ei ole todellinen saavutettavissa oleva arvo.
Yhdistetyt epätasa-arvot: AND ja OR
Yhdistetyt epätasa-arvot yhdistävät kaksi erillistä epätasa-arvoa "ja" tai "tai", luoden ratkaisuja, jotka ovat kahden väliajan leikkauksia tai liittoja.
"Ja" yhdistepoikkeamatRatkaisu on molempien ratkaisujärjestelmien leikkauspiste. Esimerkki: -2 < x + 1 <= 5. Poista 1 kaikista osista: -3 < x <= 4. Ratkaisu: (-3, 4).
"Tai" yhdistetyt epätasa-arvot(disjunktio) edellyttää vähintään yhden edellytyksen täyttymistä. Ratkaisu on union. Esimerkki: 2x - 1 < 3 tai 3x + 1 > 10. Ratkaise jokainen: x < 2 tai x > 3. Ratkaisu: (-∞, 2) (3, +∞).
| Yhdisteen tyyppi | Esimerkki | Ratkaisu | Kuvan muoto |
|---|---|---|---|
| AND (molemmat edellytykset) | x > -1 JA x < 4 | (-1, 4) | Rajoitettu segmentti |
| Tai (jokainen ehto) | x < -2 tai x > 3 | (-∞,-2) (3,+∞) | Kaksi säteilyä ulospäin |
| ja (ei päällekkäisyyksiä) | x > 5 JA x < 2 | (tyhjä joukko) | Ei ratkaisua |
| OR (täysi päällekkäisyys) | x > 1 tai x < 8 | (-∞, +∞) | Kaikki reaalilukuja |
Absoluuttisen arvon epätasa-arvot
Absoluuttisen arvon epätasa-arvot muunnetaan yhdistyneiksi epätasa-arvoiksi käyttäen perussääntöjä:
- "A" ja "b"(b > 0) -> -b < A < b (AND-tyyppi -> rajattu jakso)
- "A" ja "b"(b > 0) -> A < -b tai A > b (OR-tyyppi -> kaksi säteilyä)
- "A" on "B"-> -b <= A <= b
- "Mitä sinä teet?"-> A <= -b tai A >= b
Esimerkki 1: x - 3 x < 5. Soveltaa sääntöä: -5 < x - 3 < 5. Lisää 3: -2 < x < 8. Ratkaisu: (-2, 8).
Esimerkki 2: 2x + 1 x >= 7. Soveltaa sääntöä: 2x + 1 <= -7 OR 2x + 1 >= 7. Tapaus 1: 2x <= -8 -> x <= -4. Tapaus 2: 2x >= 6 -> x >= 3. Ratkaisu: (-∞, -4) [3, +∞).
Absoluuttisten arvojen epätasa-arvot esiintyvät virheanalyysissä (hankettu arvo - todellinen arvo <= suvaitsevaisuus), etäisyysongelmissa (hankettu arvo - keskus arvo < säde) ja ohjausjärjestelmissä (hankettu arvo = signaali < kynnys). Niiden ymmärtäminen on välttämätöntä sovellettuun matematiikkaan ja tekniikkaan.
Kvadraattiset ja polynomiaaliset epätasa-arvot
Neljänneksen epätasa-arvon, kuten ax2 + bx + c > 0 ei voida ratkaista yksinkertaisella algebrallisella manipuloinnilla - se vaatii juurten löytämisen ja väliajojen testaamisen.
Kvadraattisen epätasa-arvon menetelmä
- Siirrä kaikki sivuun .Saadaan muoto ax2 + bx + c > 0 (tai <, >=, <=).
- Etsi juuretRatkaisemalla ax2 + bx + c = 0 käyttämällä kertoimia, neliömuotoa tai täydentämällä neliö.
- Luoda merkki- kaavio:Alkuperät jakavat lukuviivan väliajoiksi.
- Määritä, mitkä väliajat täyttävät epätasa-arvon.
Esimerkki: x2 - x - 6 > 0. Faktori: (x - 3) (((x + 2) > 0. Juuret: x = 3 ja x = -2. Kolme väliaikaa: x < -2, -2 < x < 3, x > 3. Test x = -3: (-6) ((-1) = 6 > 0 . Test x = 0: (-3) ((2) = -6 < 0 . Test x = 4: (1) ((6) = 6 > 0 . Ratkaisu: (-∞, -2) (3, +∞).
| Eriarvoisuuden tyyppi | Menetelmä | Esimerkki | Ratkaisu |
|---|---|---|---|
| Linjaarinen: ax + b > c | Suora ratkaiseminen (mielen merkki käännös) | 2x - 4 > 6 | x > 5 -> (5, +∞) |
| Kvadraattinen: ax2 + bx + c > 0 | Roots + merkki kaavio | x2 - 4 > 0 | x < -2 tai x > 2 |
| Rationaalinen: p (x) /q (x) > 0 | Kriittiset kohdat + merkkitaulukko | (x+1)/(x-2) > 0 | x < -1 tai x > 2 |
Eriarvoisuus todellisessa elämässä: sovellukset ja mallinnus
Eriarvoisuudet kuvaavat rajoituksia käytännöllisesti katsoen jokaisessa määrällisessä kentässä. Toisin kuin yhtälöt, jotka kuvaavat tarkkoja olosuhteita, eriarvoisuudet kuvaavat toteutettavia alueita - hyväksyttävien arvojen vaihteluvälejä.
Henkilökohtainen talous:"Minulla on varaa maksaa kuukausittain autonmaksu, jos velka on alle 36 prosenttia bruttotuloistani". Jos bruttotulo = 5000 dollaria kuukaudessa ja muut velat = 800 dollaria kuukaudessa: autonmaksu + 800 <= 0,36 x 5000 = 1800. Autonmaksu <= 1000 dollaria.
Tekninen suunnittelu:Siltavalon on kestettävä kuormitus L ilman vikaa. Turvallisuuskerroin edellyttää rasitusta σ <= σ_yield/1.5. Tämä epätasa-arvo määrittää vähimmäisvaatimuksen valon poikkileikkaukselle.
Lääke ja annostus:Lääke on turvallinen, kun sen pitoisuus veressä on välillä 10 ja 20 mg/l: 10 <= C(t) <= 20. Annostusohjelman on ylläpidettävä pitoisuutta tässä terapeuttisessa ikkunassa - liian alhainen on tehotonta, liian korkea on myrkyllistä.
Laadunvalvonta:Valmistusprosessi on hyväksyttävä, kun mittaukset ovat +/-2σ:n sisällä tavoitetasosta. x - μI <= 2σ. Tämän alueen ulkopuoliset osat hylätään. Tilastollinen prosessiohjaus käyttää jatkuvasti epätasa-arvon seurantaa.
Lineaarinen ohjelmointi:Yritykset maksimoivat voiton P = 3x + 5y rajoituksilla: x >= 0, y >= 0, 2x + y <= 100, x + 3y <= 90. Optimaalinen ratkaisu tapahtuu aina toteutettavan alueen huipulla (alue, joka täyttää kaikki rajoitukset). Tämä on toiminnan tutkimuksen ja logistiikan optimoinnin perusta.
Numerolinjan ja koordinaattiaseman epätasa-arvojen kaaviointi
Epäyhtälöiden visualisointi auttaa rakentamaan intuitiota niiden ratkaisuihin.
- Avoin ympyräloppupisteessä tiukkojen epätasa-arvojen (< tai >) osalta -- loppupiste ei sisälly
- Suljettu ympyrä (täytetty piste)muilla kuin tiukoilla epätasa-arvoilla (<= tai >=) -- lopputulos sisältyy
- Varjostettu alue(nuoli tai viiva), joka osoittaa kaikki liuosarvot
Kaksi muuttujaa sisältävien lineaaristen epätasa-arvojen (2x + 3y <= 12) ratkaisuna on puolipinta koordinaattitasolla. Kuviointimenetelmä: (1) Piirrä rajaviiva 2x + 3y = 12 pisteviivaana (pikainen epätasa-arvo) tai kiinteänä viivaana (ei-pikainen). (2) Testaa piste, joka ei ole suoralla (tyypillisesti alkuperä): 2(0) + 3(0) = 0 <= 12. Varjokaa puoli, jossa on testipiste. Varjostettu alue edustaa kaikkia epätasa-arvoa täyttäviä (x, y) pareja.
Lineaaristen epätasa-arvojen järjestelmät luovat toteutettavia alueita, jotka ovat useiden puolikerrosten leikkauksia. Nämä kuperaiset polygonaaliset alueet ovat lineaarisen ohjelmoinnin perusta - minkä tahansa lineaarisen objektiivisen funktion optimaalinen arvo toteutettavalla alueella esiintyy aina yhdellä huipulla (kulmapiste).
Usein kysyttyjä kysymyksiä
Mitä tapahtuu, kun kerrot epätasa-arvon molemmat puolet negatiivisella luvulla?
Jos a > b ja c < 0, niin ac < bc. Esimerkki: 3 > 1; kerrotaan -2: -6 < -2. Tämä on tärkein sääntö epätasa-arvon algebrassa.
Mikä on väliaikainen merkintä?
Välillinen merkintä kuvaa epätasa-arvon ratkaisujoukkoa käyttämällä sulkijoita ja sulkijoita. Sulkijat ( ) merkitsevät avoimen rajan (loppupiste pois lukien); sulkijat [ ] merkitsevät suljetun rajan (loppupiste mukaan lukien). Äärettömyys käyttää aina sulkijoita. Esimerkkejä: x > 3 -> (3, +∞); x <= 7 -> (-∞, 7); 2 <= x < 9 -> [2, 9).
Voiko lineaarisella epätasa-arvoisuudella olla ratkaisua?
Jos x:n kerroin on 0 ja tuloksena oleva lauseke on väärä, ei ole ratkaisua. Esimerkki: 0·x + 5 < 3 yksinkertaistaa 5 < 3, joka on aina väärä - ei ratkaisua (tyhjä joukko). Päinvastoin, jos yksinkertaistettu lauseke on aina totta (5 > 3), kaikki reaaliluvut ovat ratkaisu.
Miten epätasa-arvon ratkaiseminen eroaa yhtälön ratkaisemisesta?
Prosessi on lähes identtinen, lukuun ottamatta seuraavaa: (1) ratkaisu on aikaväli (tai aikavälien yhdistys) eikä tiettyjä arvoja; (2) negatiivisella luvulla kertominen/jaottaminen kääntää epätasa-arvon merkkiä.
Mitä tarkoittavat "pitävä" vs. "ei-pitävä" epätasa-arvo?
Tiukat epätasa-arvot (<, >) eivät sisällä raja-arvoa; loppupiste ei ole osa ratkaisua. Ei-tiukat epätasa-arvot (<=, >=) sisältävät raja-arvon. Numerolinjassa, tiukka -> avoin ympyrä (kuoppa piste); ei-tiukka -> suljettu ympyrä (täytetty piste).
Miten ratkaiset absoluuttisen arvon epätasa-arvon?
A < b -> -b < A < b (rajoitettu intervalli). A < b OR A > b (kaksi säde). Tarkista aina ensin, että b > 0: jos b <= 0, A < b ei ole ratkaisu (absoluuttiset arvot ovat ei-negatiivisia); A < b (jossa b < 0) on kaikki reaalilukuja ratkaisuina.
Mikä on x2 < 4:n ratkaisujoukko?
x2 < 4 tarkoittaa, että x x < 2, joten -2 < x < 2. Ratkaisu: (-2, 2). Tarkista: kun x = 1,5, 1,52 = 2,25 < 4. Kun x = 2, 4 < 4 on väärä (pitävä epätasaisuus, lopputulos pois lukien). Kun x = 3, 9 < 4 on väärä.
Miten epätasa-arvojärjestelmän kaavioidaan?
Graafikoida jokainen epätasa-arvo erikseen, varjostamalla jokaisen toteutettavissa oleva puolikerrostus. Järjestelmän ratkaisu on alue, jota varjostetaan KAIKILLA epätasa-arvoilla samanaikaisesti (leikkaus). Kolmen tai useamman epätasa-arvon järjestelmässä toteutettavissa oleva alue voi olla monikulmio, jonka huiput ovat rajaviivojen leikkauksissa. Nämä huiput ovat kriittisiä lineaarisen ohjelmoinnin optimoinnissa.
Mikä on rationaalinen epätasa-arvo ja miten ratkaisen sen?
Rationaalisen epätasa-arvon muoto on p(x) /q(x) > 0 (tai <, >=, <=). Kriittiset pisteet ovat ne, joissa p(x) = 0 (laskija nolla) tai q(x) = 0 (nimittäjä nolla - poissuljettu alueelta). Nämä pisteet jakavat lukujonon väliajoiksi. Kokeile jokaista väliaikaa: rationaalisella ilmaisulla on vakio merkki jokaisen väliajan sisällä. Kerää väliajat, joissa ilmaisu tyydyttää epätasa-arvoa. Huomautus: nimittäjän nollat eivät koskaan sisälly, vaikka >= tai <=.
Voiko epätasa-arvoilla olla mitään ratkaisuja tai loputtomiin monia ratkaisuja?
Kyllä molempiin. Lineaarisella epätasaisuudella on tyypillisesti äärettömän monta ratkaisua (välialue). Erityistapauksia: (1) Ei ratkaisua: kun epätasaisuus yksinkertaistetaan vääriin lausuntoihin, kuten 3 < 1. Tämä tapahtuu ristiriitaisten yhdiste- ja epätasa-arvojen kanssa (x > 5 JA x < 2 -> tyhjä joukko). (2) Kaikki reaalilukuja: kun se yksinkertaistetaan aina tosi lausuntoon, kuten 1 < 3. Tai epätasa-arvot voivat kattaa kaikki reaalit: x > 1 tai x < 2 -> kaikki reaalit, koska jokainen reaaliluku täyttää vähintään yhden ehdon.