🔬 Advanced ✨ New

حاسبة المتباينات

حل المتباينات الخطية من الشكل ax + b > c. احصل على مجموعة الحل ووصف الرسم البياني. استخدم هذه الحاسبة الرياضية المجانية للحصول على نتائج فورية.

حل المعادلات غير الخطية: طريقة خطوة بخطوة

تتشابه المعادلات غير الخطية مع المعادلات الخطية ولكن تستخدم علامات عدم المساواة (>, <, ≥, ≤) بدلاً من المساواة. لا تكون الحلول هي قيمة واحدة بل مجموعة من القيم (فاصل). حل المعادلات غير الخطية يتبع نفس القواعد الجبرية للمعادلات، مع استثناء واحد مهم.

قاعدة التغيير في الإشارة: عندما تُضاعف أو تُقسم طرفي المعادلة غير الخطية بالعدد السالب، يُغير اتجاه المعادلة. هذه هي القاعدة الأكثر أهمية - وأكثر مصدراً للخطأ.

مثال 1: حل 2x + 3 ≤ 11.

ألغي 3 من كلا الطرفين: 2x ≤ 8
قسم على 2 (سالب، لا تغيير في الإشارة): x ≤ 4
الحل: x ≤ 4، مكتوب في صيغة الفاصل (−∞, 4]

مثال 2: حل −3x + 1 > 7.

ألغي 1 من كلا الطرفين: −3x > 6
قسم على −3 (سالب! تغيير الإشارة): x < −2
الحل: x < −2، مكتوب ك (−∞, −2)

جدول مرجعي لصياغة الفاصل

يتم تعبير حلول المعادلات غير الخطية باستخدام صيغة الفاصل، التي تستخدم رموز القوس والخنجر لتحديد ما إذا كانت النقاط النهائية مضمونة أو مرفوضة.

عدم المساواة	صيغة الفاصل	خط مستقيم	هل يُشمل النهاية؟
x < 5	(−∞, 5)	دائرة مفتوحة عند 5، حاشية إلى اليسار	لا (5 مرفوض)
x ≤ 5	(−∞, 5]	دائرة مغلقة عند 5، حاشية إلى اليسار	نعم (5 مضمون)
x > −2	(−2, +∞)	دائرة مفتوحة عند −2، حاشية إلى اليمين	لا (−2 مرفوض)
x ≥ −2	[−2, +∞)	دائرة مغلقة عند −2، حاشية إلى اليمين	نعم (−2 مضمون)
−3 < x < 7	(−3, 7)	دائرتان مفتوحتان، ملونة بينهما	لا النهايتان
−3 ≤ x ≤ 7	[−3, 7]	دائرتان مغلقتان، ملونة بينهما	النهايتان
x < 0 أو x > 4	(−∞, 0) ∪ (4, +∞)	أربعة أطراف	لا 0 ولا 4

رمز ∪ يعني "اتحاد" (تجميع كلا المجموعتين). يتم استخدام الأقواس المربعة [ ] لتحديد الفترات المغلقة (يُشمل النهاية). يتم استخدام القوس ( ) لتحديد الفترات المفتوحة (يُرفض النهاية). لا يتم استخدام الألفية أبداً لأنها لا تُعد قيمة يمكن الوصول إليها.

المعادلات المركبة: و أو

تجمع المعادلات المركبة معادلتين منفصلتين ب "و" أو "أو"، مما يؤدي إلى حلول هي تقاطع أو اتحاد فترات.

المعادلات المركبة "و" (الانضباط) تتطلب أن تتوافق كلتا الشروطين في نفس الوقت. الحل هو تقاطع كلا مجموعتي الحلول. مثال: −2 < x + 1 ≤ 5. أزل 1 من كلا الجانبين: −3 < x ≤ 4. الحل: (−3, 4].

المعادلات المركبة "أو" (الانفصال) تتطلب أن تكون واحدة من الشروط مكتملة. الحل هو الاتحاد. مثال: 2x − 1 < 3 أو 3x + 1 > 10. حل كلتا المعادلتين: x < 2 أو x > 3. الحل: (−∞, 2) ∪ (3, +∞).

نوع المعادلة المركبة	مثال	الحل	شكل الرسم
و (كلتا الشروط)	x > −1 و x < 4	(−1, 4)	فاصل محصور
أو (أحد الشروط)	x < −2 أو x > 3	(−∞,−2) ∪ (3,+∞)	أربعة أطراف
و (لا توجد تزامن)	x > 5 و x < 2	مجموعة فارغة	لا حل
أو (التزامن الكامل)	x > 1 أو x < 8	(−∞, +∞)	جميع الأرقام الحقيقية

العدلات غير المتكافئة absolute value inequalities

العدلات غير المتكافئة absolute value inequalities تحول إلى compound inequalities باستخدام القواعد الأساسية:

|A| < b (b > 0) → −b < A < b (AND type → interval محدودة)
|A| > b (b > 0) → A < −b OR A > b (OR type → two rays)
|A| ≤ b → −b ≤ A ≤ b
|A| ≥ b → A ≤ −b OR A ≥ b

مثال 1: |x − 3| < 5. تطبيق القاعدة: −5 < x − 3 < 5. إضافة 3: −2 < x < 8. الحل: (−2, 8).

مثال 2: |2x + 1| ≥ 7. تطبيق القاعدة: 2x + 1 ≤ −7 OR 2x + 1 ≥ 7. حالة 1: 2x ≤ −8 → x ≤ −4. حالة 2: 2x ≥ 6 → x ≥ 3. الحل: (−∞, −4] ∪ [3, +∞).

العدلات المربعة والجبرية

للعلاقات التي تشمل x² و الأعداد العالية، يختلف النهج. العدلات المربعة مثل ax² + bx + c > 0 لا يمكن حلها عن طريق التعديل الجبري البسيط — تحتاج إلى العثور على الجذور واختبار الفترات.

طريقة العدلات المربعة:

إعادة ترتيب كل شيء إلى جانب واحد: الحصول على الشكل ax² + bx + c > 0 (أو <, ≥, ≤).
عثور على الجذور عن طريق حل ax² + bx + c = 0 باستخدام التمثيل الجبري أو الصيغة القطرية أو الانتهاء من المربع.
إنشاء مخطط العلامة: الجذور تفرق الخطوط العمودية إلى فترات. اختبار نقطة في كل فترة.
تحديد الفترات التي تفي بالعدلة.

مثال: x² − x − 6 > 0. تمثيل: (x − 3)(x + 2) > 0. الجذور: x = 3 و x = −2. ثلاث فترات: x < −2، −2 < x < 3، x > 3. اختبار x = −3: (−6)(−1) = 6 > 0 ✓. اختبار x = 0: (−3)(2) = −6 < 0 ✗. اختبار x = 4: (1)(6) = 6 > 0 ✓. الحل: (−∞, −2) ∪ (3, +∞).

نوع العدلة	طريقة	مثال	الحل
الخطية: ax + b > c	الحل المباشر (تذكر تغيير الإشارة)	2x − 4 > 6	x > 5 → (5, +∞)
المربعة: ax² + bx + c > 0	الجذور + مخطط العلامة	x² − 4 > 0	x < −2 أو x > 2
النسبية: p(x)/q(x) > 0	نقاط النقطة الحرجة + مخطط العلامة	(x+1)/(x−2) > 0	x < −1 أو x > 2

الفرق في الحياة الواقعية: التطبيقات والنمذجة

يصف العلاقات غير المتساوية القيود في كل مجال كمي تقريبًا. تختلف عن المعادلات التي توصف الظروف الدقيقة، حيث يصف العلاقات غير المتساوية المناطق المسموح بها - نطاق القيم المقبولة.

المالية الشخصية: "يمكنني تحمل دفع قسط شهرية للسيارة إذا بقيت دفع ديون أخرى أقل من 36% من الدخل الصافي." إذا كان الدخل الصافي = 5000 دولار/شهر وديون أخرى = 800 دولار/شهر: دفع السيارة + 800 ≤ 0.36 × 5000 = 1800. دفع السيارة ≤ 1000 دولار.

تصميم الهندسة: يجب أن يتحمل عارض الجسر حمل L دون الفشل. يتطلب عامل السلامة أن يكون التوتر σ ≤ σ_yield/1.5. هذه العلاقة تحدد الحد الأدنى للقطر المطلوب للعرض.

الطب والدواء: يكون الدواء آمنًا عندما يكون تركيز الدم بين 10 و 20 ملغم/لتر: 10 ≤ C(t) ≤ 20. يجب أن يبقى جدول التدوير في هذا النطاق العلاجي - منخفض جدًا غير فعال، مرتفع جدًا سام.

التحكم على الجودة: يكون عملية الإنتاج مقبولًا عندما تسقط القياسات في ±2σ من الهدف: |x − μ| ≤ 2σ. يتم رفض الأجزاء خارج هذا النطاق. يستخدم التحكم الإحصائي على أساس العلاقات المستمرة مراقبة دائمة.

البرمجة الخطية: ي максимم الشركات الربح P = 3x + 5y مع قيود: x ≥ 0، y ≥ 0، 2x + y ≤ 100، x + 3y ≤ 90. تحدث الحل الأمثل دائمًا في أحد الزوايا للمنطقة المسموح بها (المساحة التي تفي بجميع القيود). هذا هو أساس البحث العملياتي وتحسين التخطيط اللوجستي.

رسم العلاقات غير المتساوية على خط العدد والطائرة الإحداثية

تساعد رؤية العلاقات غير المتساوية في بناء الفهم لل حلولها. على خط العدد، حل العلاقة غير المتساوية ذات متغير واحد يُ temsil بواسطة:

دائرة مفتوحة في النهاية للعلاقات غير المتساوية الصارمة (< أو >) - لا يتم احتساب النهاية
دائرة مغلقة (نقطة ممتلئة) للعلاقات غير المتساوية غير الصارمة (≤ أو ≥) - يتم احتساب النهاية
منطقة مظللة (سهم أو خط) تشير إلى جميع القيم الحل

للعلاقات الخطية غير المتساوية ذات المتغيرين (2x + 3y ≤ 12)، الحل هو نصف المكان على الطائرة الإحداثية. طريقة الرسم: (1) رسم خط الحدود 2x + 3y = 12 كخط مائل (علاقة غير صارمة) أو خط صلب (غير صارمة). (2) اختبار نقطة غير على الخط (عادةً نقطة الأصل): 2(0) + 3(0) = 0 ≤ 12 ✓. تظلل المنطقة المحيطة بالنقطة المحددة. تمثل المنطقة المظللة جميع الزوجات (x، ي) التي تفي بالعلاقة.

نظم العلاقات الخطية غير المتساوية تؤدي إلى مناطق قابلة للتحقق تتمثل في تقاطع مناطق نصف المكان المتعددة. هذه المناطق المثلثية المكونة من زوايا هي أساس البرمجة الخطية - تحدث القيمة الأمثل ل bấtلغة الوظيفة الخطية في أي منطقة قابلة للتحقق دائمًا في أحد الزوايا (نقاط الزوايا).

أسئلة شائعة

ماذا يحدث عندما تُضاعف طرفي عدم المساواة من قبل رقم سالب؟

يتغير اتجاه عدم المساواة. إذا كان a > b و c < 0، فإن ac < bc. مثال: 3 > 1؛ ضربها في -2: -6 < -2 ✓. هذا هو القاعدة الأكثر أهمية في عدم المساواة الجبرية. إن نسيان قلب العلامة هو الخطأ الأكثر شيوعًا. عند القسمة على رقم سالب (مثل العزل عن x مع معامل سالب)، دائمًا قلب العلامة.

ما هو التمثيل المتراوح؟

يتصفح التمثيل المتراوح مجموعة الحلول للعدم المساواة باستخدام قوسين وفراغين. الفراغ ( ) يشير إلى حدود مفتوحة (النهاية غير مدرجة); القوس [ ] يشير إلى حدود مغلقة (النهاية مدرجة). تستخدم الألف و الياء دائمًا فراغين. أمثلة: x > 3 → (3, +∞); x ≤ 7 → (−∞, 7]; 2 ≤ x < 9 → [2, 9).

هل يمكن أن يكون عدم المساواة الخطي بدون حل؟

نعم. إذا كان معامل x هو 0 وتصبح الإشارة الخاطئة، فلا حل. مثال: 0·x + 5 < 3 يختصر إلى 5 < 3، وهو دائمًا خاطئًا - لا حل (مجموعة فارغة). بالعكس، إذا كانت الإشارة الخاطئة دائمًا (5 > 3)، فإن جميع الأرقام الحقيقية هي الحل.

كيف يختلف حل عدم المساواة عن حل المعادلة؟

الPROCESS هو تقريبًاidentical، باستثناء: (1) الحل هو فترة (أو اتحاد فترات) بدلاً من قيم محددة؛ (2) ضرب/قسمة على رقم سالب يقلب علامة عدم المساواة. المعادلة ax + b = c لها حل واحد على الأكثر (لأنه ≠ 0); عدم المساواة الخطي ax + b < c لها حلين كثيرة تشكل فترة.

ماذا يعني عدم المساواة "صارم" مقابل "غير صارم"؟

عدم المساواة الصارمة (<, >) excludes النهاية الحدودية؛ لا تكون النهاية جزءًا من الحل. عدم المساواة غير الصارمة (≤، ≥) تشمل النهاية الحدودية. على خط العدد، الصارمة → دائرة مفتوحة (نقطة خالية); غير الصارمة → دائرة مغلقة (نقطة ممتلئة). في التمثيل المتراوح، الصارمة → فراغ؛ غير الصارمة → قوس.

كيف تحل عدم المساواة القيمة الصحيحة؟

|A| < b → -b < A < b (فترة محددة). |A| > b → A < -b أو A > b (أربعة أطراف). دائمًا تحقق أولاً أن b > 0: إذا كانت b ≤ 0، فإن |A| < b لا يوجد حل (القيم الصحيحة غير سالبة); |A| > b (مع b < 0) جميع الأرقام الحقيقية هي الحل.

ما هو مجموعة الحلول ل x² < 4؟

x² < 4 يعني |x| < 2، لذا -2 < x < 2. حل: (−2، 2). التحقق: عند x = 1.5، 1.5² = 2.25 < 4 ✓. عند x = 2، 4 < 4 خاطئ ✗ (عدم المساواة الصارمة، النهاية الحدودية غير مدرجة). عند x = 3، 9 < 4 خاطئ ✗.

كيف تُرسِم نظام عدم المساواة؟

رسِم كل عدم مساواة بشكل منفصل، وصبغ النصف المجال المسموح له لكل منها. حل النظام هو المنطقة المصبغة من قبل جميع عدم المساواة بشكل متزامن (التحالف). في حالة نظام من 3 أو أكثر من عدم المساواة، قد يكون المنطقة المسموحة منطقة متعدد حدود مع حدود عند تقاطعات خطوط الحدود. هذه النقاط الحدودية هي نقطة حاسمة لتحسين البرمجة الخطية.

ما هو عدم المساواة العقلاني وكيفية حلها؟

عدم المساواة العقلانية لها الشكل p(x)/q(x) > 0 (أو <، ≥، ≤). النقاط الحرجة هي حيث p(x) = 0 (صفر النumerator) أو q(x) = 0 (صفر النumerator - من غير المدرجة في المجال). هذه النقاط تنقسم خط العدد إلى فترات. اختبار كل فترة: التعبير العقلاني له علامة ثابتة داخل كل فترة. جمع الفترات التي تفي بالعدم المساواة. ملاحظة: صفرات النumerator من غير المدرجة حتى مع ≥ أو ≤.

هل يمكن أن يكون عدم المساواة بدون حل أو له حلين كثيرة؟

نعم للاسف. عدم المساواة الخطي عادة ما يكون له حلين كثيرة (فترة). حالات خاصة: (1) بدون حل: عندما يختصر إلى إشارة خاطئة مثل 3 < 1. يحدث هذا مع عدم المساواة المتضافرة compound (x > 5 و x < 2 → مجموعة فارغة). (2) جميع الأرقام الحقيقية: عندما يختصر إلى إشارة خاطئة دائمًا مثل 1 < 3. أو يمكن أن تغطي عدم المساواة جميع الأرقام الحقيقية: x > 1 أو x < 2 → جميع الأرقام الحقيقية، لأن كل رقم حقيقي يفي بحد أدنى واحد من الشروط.