円 体積計算器

円 の 式: 容量,斜面 高さ,表面 面積

円 (コーン) は,円形の底と,右の円 の底の中央の直上にある単一の頂点を持つ三次元固体である.主要測定:半径 (r)ベース高さ (h)底から頂点まで (垂直),および傾き高さ (l)ベースサークル上の任意のポイントまで.

斜面の高さ:l = √(r2 + h2) は,ピタゴラスの定理による.半径,高さ,傾き高さは,斜辺として l を持つ直角三角形を形成する.

ボリューム:V = (1/3) πr2h. 同じ底と高さのシリンダの体積のちょうど3分の1です. 円 から同じ寸法のシリンダに水を注ぐと,それはちょうど3分の1を満たします.

横面面積:A_lateral = πrl. これは,カーブされた側面表面のみの面積 (ベースではない) です. 直感的に: 横面を展開すると,半径 l と弧長 2πr の円のセクターが得られます.

総表面積:A_total = πrl + πr2 = πr(l + r) 最初の項は横面; 2番目の項は基面.

容量の1/3の因子は任意ではない - 微積分がそれを確認する: V = ∫0h π(rz/h) 2 dz = πr2/h2 x h3/3 = πr2h/3. 高さ z で,円形の横断面は半径 rxz/h (頂点の 0 から底辺の r までの線形スケール) を有する.これらの円形の切片を 0 から h までの整合すると,正確な 1/3 の結果が得られる.

円 計算の例と参考表

様々な次元での一般的な円 計算.すべての値は π = 3.14159265 を使用する.

3−4−5直角三角形 (r=3, h=4, l=5) は典型的な例です.これらの次元を持つ円 は,傾斜の高さはまったく整数です. 同様に,r=6, h=8, l=10は2でスケールされた3−4−5の三角形です.円 形のコンポーネントを設計する際には,ピタゴラスの三倍数を構成する次元を選択することで,計算を簡素化します.

円 の 種類 と 関連 し た 形

異なる種類の円 と 関連する固体を理解することで 現実世界の幾何学的な問題を 解く能力が向上します

A 右コーン(標準型) の頂点は基底の真ん中にあります. すべての傾斜の高さは等しいです. 私たちの計算機は右円 を仮定します.

An 傾いた円 横面は非対称である.カヴァリエリの原理では,体積は (1/3) πr2h (h は垂直の高さ) であるが,横面面積の計算はより複雑になる.

A 切り取られた円 (frustum)円 は,頂点を底に平行する平面で切断し,半径R (下) とr (上) の2つの平行円面を残す円 である.体積 = (πh/3) ((R2 + Rr + r2).斜面高 = √ ((h2 + (R-r) 2).横面面積 = π ((R+r) l.一般的な形状:バケツ,カップ,ファネル,花 ,スピーカーキャビネット.

A ダブルコーン (バイコーン)形状は,基部で結合した2つの円 である.体積 = 2 x (1/3) πr2h = (2/3) πr2h.砂時計の形状は,およそ二角形である.スピニングトップと特定の航空機の鼻の形状は,二角形幾何学を使用する.

フルストムの体積式 (πh/3) ((R2 + Rr + r2) は,古代エジプトのモスクワパピルス (紀元前1850年) に見られる.問題14は,特定の寸法を持つフルストムの体積を計算する.これは古代の最も顕著な数学的成果の1つである:4,000年前に高度な3Dボリュームの正確な計算.

エンジニアリング,デザイン,自然界 の 円

円 の形状は,機能的および数学的な理由から,工学と自然全体に現れます.実際のオブジェクトで円 の幾何学を認識することは,公式を適切に適用するのに役立ちます.

交通コンベース半径15cm,高さ70cmのトラフィックコーンは,体積 = (1/3) π ((0.15) 2 ((0.70) ~ 0.0165 m3 = 16.5リットルである.体積を知ることは,製造者が材料の使用と重量を決定するのに役立ちます.

アイスクリームコーン:標準的なワッフルコーンは約フルーストム (底から上まで少し収縮し,底は閉じています). ベース半径5cm,高さ12cmのコーンはV = (1/3)π(5)2(12) ~ 314cm3 = 314mLのアイスクリームを保持します. ダブルスクープはデリートの2倍以上を意味します.

フンネルとホッパー:穀物,砂,または粉末のための産業用ホッパーは,逆転したフルーストムである. 容量は,体積計算によって決定される. 傾斜の角度は,フリーフローを確保するために,材料の静止の角度を超えなければならない. 乾燥砂 (静止の角度 ~ 35 度) の場合,コーン半角は35 度を超えなければならない,つまり h/r < 1 / 〜 35 度) ~ 1.43.

ロケットおよび航空機の鼻 :ロケットまたは超音速航空機の鼻は,空力摩擦を最小限に抑えるために円 形 (またはオジブ形) を使用します.超音速では,円 形の鼻は,先端に付着する斜面衝撃波を生み出し,摩擦を軽減します.最適の円 半角はマッハ数に依存します.通常はクルーズミサイルでは7〜15度です.

スピーカーコーン:ラウンドスピーカーの 膜は,剛性と方向周波数応答を改善するために円 形である.円 の角度と材料は,異なる周波数で音をどれだけ放射するかに影響する.より大きなウーファー円 (25 - 38 cm 直径) は低周波を再現し,小さなツイッタードームは高周波を処理する.

自然のコーン:火山灰の円 は,溶岩の断片が噴出口の周りに蓄積すると形成され,ほぼ完璧な直角円 の形を作り出します.緩い火山物質の休憩の角度 (~ 30 ~ 35 度) が円 の傾斜を決定します.富士山は,ベース半径 ~ 25 km,高さ 3.776 km の約円 状です.

円 体積と幾何学の三分の一の法則

1/3の法則は,基礎の形に関係なく,すべてのピラミッドと円 に適用されます.体積 = (1/3) x 基礎面積 x 高さ.これは,基本的な幾何学の最もエレガントな一般化の一つです.

平方ピラミッド: V = (1/3) s2h. 直角ピラミッド: V = (1/3) lwh. 三角ピラミッド (四面体): V = (1/3) x 底辺三角形面積 x h. 正規多角ピラミッド: V = (1/3) x 正規多角形面積 x h. 右円 : V = (1/3) πr2 x h (円は,無限の側面を持つ正規多角形の制限ケースである).

アルキメデスは,円筒に刻まれた球の体積は円筒の2/3と,同じ円筒に刻まれた円 の体積は1/3であることを証明しました. したがって,球=2x円 (同じ基礎の円と直径に等しい高さ).アルキメデスは,この結果に非常に誇りを持ち,彼の墓に円筒の中の球を彫ることを要求しました.

カヴァリエリの原理は1/3のルールを正当化します. 横断面の各断片が同じ高さで同じ面積を持つ場合,2つの固体は同じ体積を持つ. 高さ h と基底半径 R のコーンの場合:高さ z で,半径は R ((h-z) / h で,横断面面積 π R2 ((h-z) / h 2 を得ます.適切な基底を持つピラミッドは,高さで二乗的にスケールし,同じ体積式を与えます.

高次元へのエレガントな一般化:n次元シンプレックスには,体積 (1/n!) x 底^(n-1) x 高さ (約) がある. 3Dでは,1/3! = 1/6は四面体の特定の式ですが,ピラミッド結果1/3は少し異なる導出から来ます. 1/n!因子は,ハイパーピラミッドのn次元体積式に現れる.

円 は 円 断面 と し て: 全体 的 な 見方

円 は単なる幾何学的な固体ではなく 数学で最も重要な曲線の源です 4つの円 の断面は 二重円 と平面を異なる角度で交差させることで生まれます

パラボリック反射器は,並行して入射する光線を単一点 (焦点) に集中させ,衛星アンテナ,無線望遠鏡,自動車のヘッドライト,太陽光濃縮器で使用する.パラボラの方程式 y = x2/{4f}は,与えられた焦点距離 f の形を決定する.アレシボのような大きな無線望遠鏡 (崩壊する前に) は,アクティブフィード修正で球形の近似を使用した.円 形は,光学,軌道力学,そして音響の物理学の円 の幾何学を非常にエレガントな方法で統一した.

惑星の軌道は,太陽が1つの焦点にある 円である (ケプラーの第1法則, 1609). 円の離心度は,その長さであるかを決定する: 円は0で,非常に長さのある 円は1に近づく. 地球の軌道は,離心度は0.017 (ほぼ円形),ハレー彗星は,離心度は0.967 (非常に長さ) である.