Υπολογιστής κλάσεων

Κατανόηση των κλάσεων: Τα βασικά

Ένα κλάσμα αντιπροσωπεύει ένα μέρος ενός συνόλου.αριθμητής / παρονομαστής, όπου ο αριθμητής είναι πόσα μέρη έχετε και ο παρονομαστής είναι πόσα ίσα μέρη αποτελούν το σύνολο.

Τύποι κλάσεων:

• Ορθό κλάσμα:Αριθμητής < παρονομαστής (π.χ. 3/4).
• Ακατάλληλο κλάσμα:Αριθμητής >= παρονομαστής (π.χ. 7/4).
• Μεικτός αριθμός:Ολόκληρος αριθμός + σωστό κλάσμα (π.χ. 13⁄4).
• Αντίστοιχα κλάσματα:Διαφορετικά κλάσματα που αντιπροσωπεύουν την ίδια τιμή (π.χ. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100).

Μετατροπή μεταξύ μορφών:

• Ακατάλληλο προς μικτό: Διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. 7 ÷ 4 = 1 υπόλοιπο 3 -> 13⁄4
• Αναμειγνύεται με ακατάλληλο: (Ονομαστής ολόκληρου x) + αριθμητής. 13⁄4 = (1 x 4) + 3 = 7/4
• Κλάσμα σε δεκαδικό: Διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. 3/8 = 0,375
• Από δεκαδική μονάδα σε κλάσμα: Γράψτε δεκαδική μονάδα πάνω από την αξία της θέσης της. 0,375 = 375/1000 = 3/8 (μετά απλοποίηση)

Πώς να προσθέτεις και να αφαιρείς κλάσματα

Η πρόσθεση και η αφαίρεση κλάσεων απαιτείκοινός παρονομαστής-- και τα δύο κλάσματα πρέπει να εκφράζουν μέρη του ίδιου μεγέθους ολόκληρου πριν μπορείτε να τα συνδυάσετε.

Βήμα προς βήμα: Προσθήκη κλάσεων με διαφορετικούς παρονομαστές

1. Βρείτε τον μικρότερο κοινό παρονομαστή (LCD) - τον μικρότερο αριθμό διαιρούμενο και από τους δύο παρονομαστές
2. Μετατρέψτε κάθε κλάσμα σε ένα ισοδύναμο κλάσμα με το LCD
3. Προσθέστε (ή αφαιρέστε) τους αριθμητές· κρατήστε τον παρονομαστή
4. Απλοποιήστε διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους (GCD)

Παράδειγμα: 2/3 + 3/4

• LCD των 3 και 4 = 12
• 2/3 = 8/12 (πολλαπλασιάστε και τα δύο με το 4), 3/4 = 9/12 (πολλαπλασιάστε και τα δύο με το 3)
• 8/12 + 9/12 = 17/12
• Απλοποίηση: 17 και 12 δεν έχουν κοινούς παράγοντες -> 17/12 (ή 1 5/12 ως μικτός αριθμός)

Παράδειγμα: 5/6 - 1/4

• LCD 6 και 4 = 12
• 5/6 = 10/12· 1/4 = 3/12
• 10/12 - 3/12 = 7/12 (επίσης σε χαμηλότερους όρους)

Αναζήτηση της οθόνης LCD αποτελεσματικά:Αν οι παρονομαστές δεν έχουν κοινούς συντελεστές, η LCD = το γινόμενο τους (3 x 4 = 12). Αν έχουν κοινούς συντελεστές, χρησιμοποιήστε τον τύπο: LCD = (a x b) ÷ GCD ((a, b).

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλάσεων

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση των κλάσεων είναι στην πραγματικότητα πιο απλή από την πρόσθεση - δεν απαιτούν έναν κοινό παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός:Πολλαπλασιάζουμε αριθμητές μαζί, πολλαπλασιάζουμε παρονομαστές μαζί.

Φόρμουλα: (a/b) x (c/d) = (a x c) / (b x d)

Παράδειγμα: 3/5 x 2/7= (3 x 2) / (5 x 7) = 6/35

Παράδειγμα: 4/9 x 3/8

• Ναϊβώς: (4 x 3) / (9 x 8) = 12/72
• Καλύτερα: Ακυρώστε πρώτα τους κοινούς συντελεστές (διασταυρούμενη ακύρωση): 4 και 8 μερίδιο συντελεστή 4; 3 και 9 μερίδιο συντελεστή 3. Απλοποίηση: (1/3) x (1/2) = 1/6
• Διασταυρούμενη ακύρωση πρώτα αποφεύγει την εργασία με μεγάλους αριθμούς

Τμήμα:Πολλαπλασιάστε με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Φόρμουλα: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) x (d/c) = (a x d) / (b x c)

Παράδειγμα: 5/6 ÷ 2/3= 5/6 x 3/2 = 15/12 = 5/4 = 11⁄4

Γιατί λειτουργεί το "πέρνα και πολλαπλασίασε";Η διαίρεση με ένα κλάσμα είναι πολλαπλασιασμός με το αμοιβαίο του, επειδή το αμοιβαίο x το κλάσμα = 1. Η διαίρεση με (2/3) είναι το ίδιο με το πολλαπλασιασμό με (3/2).

Απλοποιώντας κλάσματα: Βρίσκοντας το GCD

Ένα κλάσμα είναι στοαπλούστερη μορφή(ονομάζεται επίσης χαμηλότερος όρος) όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν μοιράζονται άλλους κοινούς παράγοντες εκτός από 1.

Παράδειγμα: Απλοποίηση 48/72

Μέθοδος 1 - Παράγοντας και τα δύο: 48 = 24 x 3; 72 = 23 x 32. GCD = 23 x 3 = 24.

Μέθοδος 2 -- Ευκλείδειος αλγόριθμος (πιο αποτελεσματικός για μεγάλους αριθμούς):

1. Διαιρέστε τον μεγαλύτερο αριθμό με τον μικρότερο: 72 ÷ 48 = 1, υπόλοιπο 24
2. Αντικαταστήστε το μεγαλύτερο με το μικρότερο, το μικρότερο με το υπόλοιπο: GCD ((48, 24)
3. Διαίρεση: 48 ÷ 24 = 2, υπόλοιπο 0
4. Όταν το υπόλοιπο = 0, το GCD είναι ο τελευταίος διαιρέτης: GCD = 24

Ο Ευκλείδιος αλγόριθμος είναι ένας από τους παλαιότερους αλγόριθμους στα μαθηματικά (από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, ~ 300 π.Χ.) και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στη σύγχρονη πληροφορική.

Γρήγορος έλεγχος πρώτων για απλοποίηση:Αν και οι δύο αριθμοί είναι ζευγάρι, διαιρέστε και τους δύο με 2. Αν και οι δύο τελειώνουν στο 0 ή στο 5, διαιρέστε και τους δύο με 5. Αν και οι δύο ψηφία αθροίζονται σε πολλαπλάσιο του 3, διαιρέστε με 3. Επαναλάβετε μέχρι να μην μείνει κανένας κοινός παράγοντας.

Πρακτικά παραδείγματα - κοινά κλάσματα σε χαμηλότερους όρους:

Τμήματα στην Πραγματική Ζωή: Πρακτικές Εφαρμογές

Τα κλάσματα εμφανίζονται συνεχώς στην καθημερινή ζωή -- το μαγείρεμα, η κατασκευή, η οικονομία και η ιατρική όλα βασίζονται στην ακριβή κατανόηση των κλάσεων.

Μαγείρεμα και συνταγές:Η κλίμακα μιας συνταγής προς τα πάνω ή προς τα κάτω απαιτεί πολλαπλασιασμό με κλάσματα. Μια συνταγή απαιτεί 2/3 φλιτζάνι αλεύρι και θέλετε να κάνετε 1,5 φορές τη συνταγή: 2/3 x 3/2 = 6/6 = 1 φλιτζάνι.

Κατασκευή και μέτρηση:Η ξυλεία και το υλικό στις ΗΠΑ μετρούνται σε κλάσματα ίντσες. Προσθέτοντας τα πλαίσια: 35⁄8 " + 43⁄4" = 3 5/8 + 4 6/8 = 7 11/8 = 8 3/8 ίντσες. Αφαιρώντας την καθαρότητα: ένας σωλήνας 21⁄4 "σε ένα κενό 21⁄2" αφήνει 2/4 " = 1/4" καθαρότητα.

Χρηματοοικονομικά:Τα επιτόκια εκφράζονται σε κλάσματα: επιτόκιο στεγαστικών δανείων 63⁄8% = 6.375%.

Ιατρική δοσολογία:Μια δόση 1/4 δισκίου, ή 0,5 mg/kg σωματικού βάρους, απαιτεί αριθμητική κλάσεων για υπολογισμούς κρίσιμων για την ασφάλεια.

Πιθανότητα:Η πιθανότητα είναι εγγενώς κλασματική. Αν 5 από τα 12 widgets είναι ελαττωματικά, η πιθανότητα να επιλέξουμε ένα ελαττωματικό είναι 5/12 ~ 0.417 ή 41.7%.