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Calculateur de Fractions

Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions. Résultats en fractions et décimales. Simplification automatique. Calculateur mathématique gratuit.

Comprendre les fractions : Les bases

Une fraction représente une partie d'un tout. Elle est écrite sous la forme numérateur / dénominateur, où le numérateur est le nombre de parties que vous avez et le dénominateur est le nombre de parties égales qui composent le tout.

Types de fractions :

Fraction propre : Numérateur < dénominateur (par exemple, 3/4). Valeur inférieure à 1.
Fraction impropre : Numérateur ≥ dénominateur (par exemple, 7/4). Valeur supérieure ou égale à 1.
Nombre mixte : Nombre entier + fraction propre (par exemple, 1¾). Équivalent à 7/4.
Fractions équivalentes : Différentes fractions qui représentent la même valeur (par exemple, 1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100).

Conversion entre formes :

Impropre à mixte : Divisez le numérateur par le dénominateur. 7 ÷ 4 = 1 reste 3 → 1¾
Mixte à impropre : (Nombre entier × dénominateur) + numérateur. 1¾ = (1 × 4) + 3 = 7/4
Fraction à décimal : Divisez le numérateur par le dénominateur. 3/8 = 0,375
Décimal à fraction : Écrivez le décimal sur sa valeur de place. 0,375 = 375/1000 = 3/8 (après simplification)

Comment ajouter et soustraire des fractions

La somme et la soustraction de fractions nécessitent un numérateur commun — les deux fractions doivent exprimer des parties du même tout avant de pouvoir les combiner.

Étape par étape : Ajouter des fractions avec des dénominateurs différents

Trouvez le plus petit dénominateur commun (LCD) — le plus petit nombre divisible par les deux dénominateurs
Convertissez chaque fraction en une fraction équivalente avec le LCD
Adding (ou soustraire) les numérateurs ; gardez le dénominateur
Simplifiez en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD)

Exemple : 2/3 + 3/4

PGCD de 3 et 4 = 12
2/3 = 8/12 (multipliez les deux par 4) ; 3/4 = 9/12 (multipliez les deux par 3)
8/12 + 9/12 = 17/12
Simplifiez : 17 et 12 n'ont pas de facteurs communs → 17/12 (ou 1 5/12 sous forme de nombre mixte)

Exemple : 5/6 − 1/4

PGCD de 6 et 4 = 12
5/6 = 10/12 ; 1/4 = 3/12
10/12 − 3/12 = 7/12 (déjà sous sa forme la plus simple)

Recherche du LCD de manière efficace : Si les dénominateurs n'ont pas de facteurs communs, le LCD = leur produit (3 × 4 = 12). Si ils ont des facteurs communs, utilisez la formule : LCD = (a × b) ÷ PGCD(a, b). Pour 6 et 4 : PGCD = 2, LCD = (6 × 4) ÷ 2 = 12.

Multiplier et diviser des fractions

La multiplication et la division des fractions sont en réalité plus simples que l'addition — elles n'exigent pas un numérateur commun.

Multipliez : Multipliez les numérateurs ensemble, multipliez les dénominateurs ensemble.

Formule : (a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)

Exemple : 3/5 × 2/7 = (3 × 2) / (5 × 7) = 6/35

Exemple : 4/9 × 3/8

Naïvement : (4 × 3) / (9 × 8) = 12/72
Mieux : Annulez les facteurs communs d'abord (annulation croisée) : 4 et 8 partagent le facteur 4 ; 3 et 9 partagent le facteur 3. Simplifiez : (1/3) × (1/2) = 1/6
Annuler d'abord évite de travailler avec de grands nombres

Division : Multipliez par le réciproque du diviseur. "Tenez, changez, renversez."

Formule : (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d) / (b × c)

Exemple : 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4 = 1¼

Pourquoi "renversez et multipliez" fonctionne-t-il ? La division par une fraction est la même chose que la multiplication par sa réciproque, car la réciproque × la fraction = 1. Diviser par (2/3) est la même chose que multiplier par (3/2). Cette identité rend la division des fractions aussi simple que la multiplication.

Simplifier les fractions : trouver le PGCD

Une fraction est en forme la plus simple (appelée également les termes les plus bas) lorsque le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs autres que 1. Simplifier signifie diviser les deux par leur Diviseur Commun le Plus Élevé (PGCD).

Exemple : Simplifier 48/72

Méthode 1 — Factoriser les deux : 48 = 2⁴ × 3 ; 72 = 2³ × 3². PGCD = 2³ × 3 = 24. 48/24 = 2 ; 72/24 = 3. Simplifié : 2/3.

Méthode 2 — Algorithme d'Euclide (le plus efficace pour de grands nombres) :

Divisez le nombre le plus grand par le plus petit : 72 ÷ 48 = 1, reste 24
Remplacez le plus grand par le plus petit, le plus petit par le reste : PGCD(48, 24)
Divisez : 48 ÷ 24 = 2, reste 0
Lorsque le reste = 0, le PGCD est le dernier diviseur : PGCD = 24

L'algorithme d'Euclide est l'un des anciens algorithmes de la mathématique (d'Euclide, ~300 avant JC) et est toujours utilisé dans le calcul moderne.

Contrôle rapide de la primalité pour la simplification : Si les deux nombres sont pairs, divisez les deux par 2. Si les deux se terminent par 0 ou 5, divisez les deux par 5. Si les deux chiffres totalisent un multiple de 3, divisez par 3. Répétez jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de facteur commun.

Exemples pratiques — fractions communes en termes les plus bas :

Original	Simplifié	PGCD Utilisé
6/9	2/3	3
12/16	3/4	4
25/100	1/4	25
36/48	3/4	12
7/13	7/13 (déjà simplifié)	1 (relation première)

Les fractions dans la vie réelle : applications pratiques

Les fractions apparaissent constamment dans la vie quotidienne — la cuisine, la construction, la finance et la médecine dépendent toutes d'une compréhension précise des fractions.

Cuisine et recettes : L'échelle d'une recette ou la diminuer nécessite la multiplication de fractions. Une recette demande 2/3 de tasse de farine et vous voulez faire 1,5 fois la recette : 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1 tasse. Diviser : 2/3 × 1/2 = 2/6 = 1/3 tasse.

Construction et mesure : Les bois et les matériaux de construction aux États-Unis sont mesurés en pouces fractionnaires. Additionner des planches : 3⅝" + 4¾" = 3 5/8 + 4 6/8 = 7 11/8 = 8 3/8 pouces. Soustraire la marge : un tuyau de 2¼" dans un trou de 2½" laisse 2/4" = 1/4" de marge.

Finance : Les actions fractionnaires sont désormais standard dans les comptes d'investissement. Les taux d'intérêt sont exprimés en fractions : un taux d'intérêt de 6⅜% = 6,375%. Les décisions de taux de la Réserve fédérale utilisent des fractions de point de pourcentage (25 points de base = 1/4 pour cent).

Administration médicale : La médication est souvent dosée en fractions de milligrammes ou de millilitres. Une dose de 1/4 de comprimé, ou 0,5 mg/kg de poids corporel, nécessite des calculs d'arithmétique de fraction pour des calculs critiques de sécurité.

Probabilité : La probabilité est inhérente aux fractions. Si 5 des 12 widgets sont défectueux, la probabilité de choisir un défectueux est de 5/12 ≈ 0,417 ou 41,7 %. La somme de toutes les probabilités = 1 (le tout), ce qui fait que l'arithmétique des fractions est fondamentale aux statistiques.

Questions Fréquentes

Comment ajoutez-vous des fractions avec des dénominateurs différents ?

Trouvez le plus petit dénominateur commun (LCD) des deux fractions. Convertissez chaque fraction en une fraction équivalente avec le LCD en multipliant le numérateur et le dénominateur par le facteur approprié. Ajoutez ensuite les numérateurs et gardez le LCD comme dénominateur. Enfin, simplifiez. Exemple : 1/3 + 1/4 : LCD = 12 ; 4/12 + 3/12 = 7/12.

Comment multipliez-vous des fractions ?

Multipliez les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Simplifiez le résultat. Exemple : 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2. Vous pouvez également annuler les croisements avant de multiplier pour garder les nombres plus petits : divisez 2 et 4 par 2, et 3 et 3 par 3, pour obtenir (1/1) × (1/2) = 1/2.

Comment divisez-vous des fractions ?

Conservez la première fraction, changez la division en multiplication et inversez (trouvez le réciproque) de la deuxième fraction. Multipliez ensuite normalement. Exemple : 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1⅞.

Comment convertissez-vous une fraction en décimal ?

Divisez le numérateur par le dénominateur. Exemple : 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75. Certaines fractions produisent des décimales répétitives : 1/3 = 0,333... (répétitif), 1/7 = 0,142857142857... (répétitif 6 chiffres).

Comment simplifiez-vous une fraction au plus bas terme ?

Trouvez le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur, puis divisez les deux par lui. Exemple : 18/24 — PGCD de 18 et 24 est 6 — 18÷6=3, 24÷6=4 → simplifié à 3/4. Si PGCD = 1, la fraction est déjà au plus bas terme.

Qu'est-ce qu'un nombre mixte et comment le convertissez-vous ?

Un nombre mixte combine un nombre entier et une fraction (par exemple, 2⅓). Pour convertir en fraction impropre : multipliez le nombre entier par le dénominateur, ajoutez le numérateur : 2⅓ = (2×3+1)/3 = 7/3. Pour convertir une fraction impropre en nombre mixte : divisez le numérateur par le dénominateur ; quotient est le nombre entier, reste est le nouveau numérateur. 7/3 : 7÷3=2 reste 1 → 2⅓.

Quelle est la différence entre le PGCD et le LCD ?

Le plus grand diviseur commun (PGCD) est le plus grand nombre qui divise de manière égale deux ou plusieurs nombres — utilisé pour simplifier les fractions. Le plus petit dénominateur commun (LCD) est le plus petit nombre que les deux dénominateurs divisent de manière égale — utilisé pour ajouter ou soustraire des fractions. Ils sont liés : LCD(a,b) = (a × b) / PGCD(a,b).

Pourquoi inversez-vous et multipliez-vous lors de la division de fractions ?

Diviser par un nombre est la même chose que multiplier par son réciproque (la version inversée). C'est parce que (a/b) × (b/a) = 1 — une fraction multipliée par sa réciproque toujours égale 1. Ainsi, diviser par 2/3 est identique à multiplier par 3/2. Cette règle simplifie la division à un processus que vous connaissez déjà (multiplication).

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