Fraction Calculator

Giải thích về phân số: Cơ bản

Phân số đại diện cho một phần của một toàn thể. Nó được viết dưới dạng số trên / số dưới, nơi số trên là số phần bạn có và số dưới là số phần bằng nhau tạo nên toàn thể.

Loại phân số:

Phân số hợp lệ: Số trên < số dưới (ví dụ: 3/4). Giá trị nhỏ hơn 1.
Phân số không hợp lệ: Số trên ≥ số dưới (ví dụ: 7/4). Giá trị lớn hơn hoặc bằng 1.
Phân số hỗn hợp: Số nguyên + phân số hợp lệ (ví dụ: 1¾). Tương đương với 7/4.
Phân số tương đương: Các phân số khác nhau đại diện cho cùng một giá trị (ví dụ: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100).

Chuyển đổi giữa các hình thức:

Không hợp lệ sang hỗn hợp: Chia số trên cho số dưới. 7 ÷ 4 = 1 dư 3 → 1¾
Đã trộn: (Số nguyên × số dưới) + số trên. 1¾ = (1 × 4) + 3 = 7/4
Phân số sang thập phân: Chia số trên cho số dưới. 3/8 = 0,375
Đềm đến phân số: Viết thập phân trên giá trị vị trí của nó. 0,375 = 375/1000 = 3/8 (sau khi đơn giản hóa)

Những cách thêm và trừ phân số

Thêm và trừ phân số đòi hỏi một lớn nhất chung — cả hai phân số đều phải biểu diễn các phần của cùng kích thước toàn thể trước khi bạn có thể kết hợp chúng.

Bước-by-bước: Thêm phân số có các ước khác nhau

Tìm số lớn nhất chung (LCD) — số nhỏ nhất chia hết cho cả hai ước
Chuyển mỗi phân số thành một phân số tương đương với LCD
Thêm (hoặc trừ) các số trên; giữ số dưới
Đơn giản hóa bằng cách chia số trên và số dưới bằng ước số chung lớn nhất (GCD)

Trường hợp: 2/3 + 3/4

LCD của 3 và 4 = 12
2/3 = 8/12 (bội số cả hai); 3/4 = 9/12 (bội số cả hai)
8/12 + 9/12 = 17/12
Đơn giản: 17 và 12 không có ước chung nào → 17/12 (hoặc 1 5/12 như một số hỗn hợp)

Trường hợp: 5/6 − 1/4

LCD của 6 và 4 = 12
5/6 = 10/12; 1/4 = 3/12
10/12 − 3/12 = 7/12 (đã ở dạng thấp nhất)

Tìm LCD một cách hiệu quả: Nếu các ước chia sẻ không có ước chung, LCD = sản phẩm của chúng (3 × 4 = 12). Nếu chúng chia sẻ ước, sử dụng công thức: LCD = (a × b) ÷ GCD(a, b). Đối với 6 và 4: GCD = 2, LCD = (6 × 4) ÷ 2 = 12.

Nhân đôi và chia phân số

Nhân đôi và chia phân số thực sự đơn giản hơn so với cộng — chúng không yêu cầu một ước chung.

Nhân đôi: Nhân số trên cùng nhau, nhân số dưới cùng nhau.

Phương trình: (a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)

Trường hợp: 3/5 × 2/7 = (3 × 2) / (5 × 7) = 6/35

Trường hợp: 4/9 × 3/8

Ngây thơ: (4 × 3) / (9 × 8) = 12/72
Giỏi hơn: Hủy bỏ các ước chung trước (hủy bỏ ngang): 4 và 8 chia sẻ ước 4; 3 và 9 chia sẻ ước 3. Đơn giản: (1/3) × (1/2) = 1/6
Hủy bỏ ngang trước tránh làm việc với các số lớn

Chia: Nhân với nghịch đảo của chia. "Giữ, Thay đổi, Lật."

Phương trình: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d) / (b × c)

Trường hợp: 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4 = 1¼

Tại sao "lật và nhân" hoạt động? Chia một phân số bằng một phân số là nhân với nghịch đảo của nó, vì nghịch đảo × phân số = 1. Chia (2/3) bằng cùng một việc nhân (3/2). Điều này làm cho việc chia phân số đơn giản như nhân.

Giảm phân số: Tìm GCD

Phân số nằm trong hình thức đơn giản (còn gọi là thấp nhất) khi mẫu số và tử số không có ước chung nào khác ngoài 1. Giảm nghĩa là chia cả hai bằng ước chung lớn nhất (GCD).

Ví dụ: Giảm 48/72

Phương pháp 1 — Tìm ước số của cả hai: 48 = 2⁴ × 3; 72 = 2³ × 3². GCD = 2³ × 3 = 24. 48/24 = 2; 72/24 = 3. Giảm: 2/3.

Phương pháp 2 — Thuật toán Euclid (hiệu quả nhất cho các số lớn):

Chia số lớn hơn cho số nhỏ hơn: 72 ÷ 48 = 1, số dư 24
Thay số lớn hơn bằng số nhỏ hơn, số nhỏ hơn bằng số dư: GCD(48, 24)
Chia: 48 ÷ 24 = 2, số dư 0
Khi số dư = 0, GCD là số chia: GCD = 24

Thuật toán Euclid là một trong những thuật toán cổ xưa nhất trong toán học (từ các yếu tố của Euclid, ~300 TCN) và vẫn được sử dụng trong tính toán hiện đại.

Kiểm tra số nguyên tố nhanh cho giảm phân số: Nếu cả hai số đều là số chẵn, chia cả hai cho 2. Nếu cả hai kết thúc bằng 0 hoặc 5, chia cả hai cho 5. Nếu tổng các chữ số là một số nguyên tố của 3, chia cả hai cho 3. Lặp lại cho đến khi không còn ước chung nào.

Ví dụ thực tế — phân số thông dụng ở dạng thấp nhất:

Phân số gốc	Giảm	GCD Sử dụng
6/9	2/3	3
12/16	3/4	4
25/100	1/4	25
36/48	3/4	12
7/13	7/13 (đã giảm)	1 (quan hệ nguyên tố)

Phân số trong Cuộc sống hàng ngày: Ứng dụng thực tế

Phân số xuất hiện liên tục trong cuộc sống hàng ngày — nấu ăn, xây dựng, tài chính và y tế đều phụ thuộc vào hiểu biết về phân số chính xác.

Nấu ăn và công thức: Kích thước công thức lên hoặc xuống đòi hỏi nhân phân số. Một công thức yêu cầu 2/3 cốc bột mì và bạn muốn làm 1,5× công thức: 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1 cốc. Giảm: 2/3 × 1/2 = 2/6 = 1/3 cốc.

Xây dựng và đo lường: Ván gỗ và vật liệu xây dựng ở Mỹ được đo bằng phân số inch. Thêm ván gỗ: 3 ⅝" + 4 ¾" = 3 5/8 + 4 6/8 = 7 11/8 = 8 3/8 inch. Trừ bỏ khoảng cách: một ống 2 ¼" trong một khoảng cách 2 ½" để lại 2/4" = 1/4" khoảng cách.

Tài chính: Số cổ phần phân số bây giờ là tiêu chuẩn trong tài khoản đầu tư. Tỷ lệ lãi suất được biểu thị bằng phân số: lãi suất 6 ⅜% = 6,375%. Quyết định lãi suất của Ngân hàng Trung ương sử dụng phân số của một điểm phần trăm (25 điểm cơ bản = 1/4 phần trăm).

Liệu pháp: Liệu pháp thường được liều lượng bằng phân số của miligam hoặc mililít. Một liều 1/4 viên thuốc, hoặc 0,5 mg/kg trọng lượng cơ thể, đòi hỏi toán học phân số cho các tính toán an toàn-critical.

Khả năng: Khả năng là bản chất phân số. Nếu 5 trong 12 widget bị hỏng, khả năng chọn một widget bị hỏng là 5/12 ≈ 0,417 hoặc 41,7%. Tổng của tất cả các khả năng = 1 (tất cả), làm cho toán học phân số là cơ bản cho thống kê.

Câu hỏi thường gặp

Như thế nào là cách thêm phân số có các tử số khác nhau?

Tìm số chung nhỏ nhất (LCD) của cả hai phân số. Chuyển mỗi phân số thành một phân số tương đương với LCD bằng cách nhân tử số và mẫu số bằng nhân tử số và mẫu số phù hợp. Sau đó, cộng các tử số và giữ lại LCD làm mẫu số. Cuối cùng, giản ước. Ví dụ: 1/3 + 1/4: LCD = 12; 4/12 + 3/12 = 7/12.

Như thế nào là cách nhân phân số?

Nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số lại với nhau. Giản ước kết quả. Ví dụ: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2. Bạn cũng có thể xóa bỏ trước khi nhân để giữ các số nhỏ hơn: chia 2 và 4 cho 2, và 3 và 3 cho 3, để có (1/1) × (1/2) = 1/2.

Như thế nào là cách chia phân số?

Giữ lại phân số đầu tiên, thay đổi chia cho số đó thành nhân với số đó và lật ngược (tìm số đối của) số thứ hai. Sau đó, nhân bình thường. Ví dụ: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1⅞.

Như thế nào là cách chuyển phân số thành thập phân?

Chia tử số cho mẫu số. Ví dụ: 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75. Một số phân số tạo ra thập phân lặp lại: 1/3 = 0,333... (lặp lại), 1/7 = 0,142857142857... (lặp lại 6 chữ số).

Như thế nào là cách giản ước một phân số đến số nguyên tố thấp nhất?

Tìm số chia hết lớn nhất (GCD) của tử số và mẫu số, sau đó chia cả hai bằng nó. Ví dụ: 18/24 — GCD của 18 và 24 là 6 — 18 ÷ 6 = 3, 24 ÷ 6 = 4 → giản ước thành 3/4. Nếu GCD = 1, phân số đã được giản ước đến số nguyên tố thấp nhất.

Như thế nào là một số hỗn hợp và cách chuyển nó?

Số hỗn hợp kết hợp một số nguyên và một phân số (ví dụ: 2⅓). Để chuyển đổi sang phân số không hợp lệ: nhân số nguyên với mẫu số, thêm tử số: 2⅓ = (2 × 3 + 1) / 3 = 7/3. Để chuyển phân số không hợp lệ sang số hỗn hợp: chia tử số cho mẫu số; số nguyên là số nguyên, số dư là tử số mới. 7/3: 7 ÷ 3 = 2 số dư 1 → 2⅓.

Như thế nào là sự khác biệt giữa GCD và LCD?

Số chia hết lớn nhất (GCD) là số lớn nhất chia hết cho hai hoặc nhiều số — được sử dụng để giản ước phân số. Số mẫu số chung nhỏ nhất (LCD) là số nhỏ nhất mà cả hai mẫu số chia hết — được sử dụng để cộng hoặc trừ phân số. Chúng liên quan: LCD (a, b) = (a × b) / GCD (a, b).

Như thế nào là lý do tại sao bạn lật và nhân khi chia phân số?

Chia cho một số là giống như nhân với số đối của nó (số được lật ngược). Điều này là vì (a/b) × (b/a) = 1 — một phân số nhân với số đối của nó luôn bằng 1. Vì vậy, chia cho 2/3 là giống như nhân với 3/2. Quy tắc này đơn giản hóa việc chia thành một quy trình bạn đã biết (nhân).