भिन्न कैलकुलेटर
भिन्नों को जोड़ें, घटाएं, गुणा करें और भाग दें। परिणाम भिन्न और दशमलव में पाएं। भिन्नों को स्वचालित रूप से सरल बनाएं। मुफ़्त गणित कैलकुलेटर।
फ्रैक्शन को समझना: मूलभूत
फ्रैक्शन एक पूरे का एक हिस्सा प्रतिनिधित्व करता है। यह नumerator / denominator के रूप में लिखा जाता है, जहां numerator कितने हिस्से हैं और denominator कितने समान हिस्से पूरे को बनाते हैं।
फ्रैक्शन के प्रकार:
- सही फ्रैक्शन: numerator < denominator (उदाहरण के लिए, 3/4)। मूल्य 1 से कम है।
- अनुचित फ्रैक्शन: numerator ≥ denominator (उदाहरण के लिए, 7/4)। मूल्य 1 से अधिक या समान है।
- मिश्रित संख्या: पूर्ण संख्या + सही फ्रैक्शन (उदाहरण के लिए, 1¾)। 7/4 के बराबर है।
- समतुल्य फ्रैक्शन: एक ही मूल्य को प्रतिनिधित्व करने वाले अलग-अलग फ्रैक्शन (उदाहरण के लिए, 1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100)।
रूपांतरण के बीच:
- अनुचित से मिश्रित: numerator को denominator से विभाजित करें। 7 ÷ 4 = 1 शेष 3 → 1¾
- मिश्रित से अनुचित: (पूर्ण × denominator) + numerator। 1¾ = (1 × 4) + 3 = 7/4
- फ्रैक्शन से दशमलव: numerator को denominator से विभाजित करें। 3/8 = 0.375
- दशमलव से फ्रैक्शन: दशमलव को उसके स्थान के साथ लिखें। 0.375 = 375/1000 = 3/8 (सरलीकरण के बाद)
फ्रैक्शन जोड़ना और घटाना
फ्रैक्शन जोड़ने और घटाने के लिए एक सामान्य denominator की आवश्यकता होती है - दोनों फ्रैक्शन एक ही आकार के पूरे के हिस्से को प्रतिनिधित्व करते हैं जिसे आप उन्हें मिला सकते हैं।
कदम-दर-कदम: फ्रैक्शन जोड़ना जिनके अलग-अलग न्यूनतम हैं
- न्यूनतम सामान्य गुणक (LCD) को खोजें - दोनों न्यूनतम के द्वारा विभाजित होने वाला सबसे छोटा संख्या
- प्रत्येक फ्रैक्शन को एक समान फ्रैक्शन में बदलें जिसमें LCD हो
- नumerator जोड़ें (या घटाएं); denominator को रखें
- सरलीकरण के लिए numerator और denominator को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणक (GCD) द्वारा विभाजित करें
उदाहरण: 2/3 + 3/4
- 3 और 4 का LCD = 12
- 2/3 = 8/12 (दोनों को 4 से गुणा करें); 3/4 = 9/12 (दोनों को 3 से गुणा करें)
- 8/12 + 9/12 = 17/12
- सरलीकरण: 17 और 12 में कोई सामान्य कारक नहीं है → 17/12 (या 1 5/12 के रूप में एक मिश्रित संख्या के रूप में)
उदाहरण: 5/6 - 1/4
- 6 और 4 का LCD = 12
- 5/6 = 10/12; 1/4 = 3/12
- 10/12 - 3/12 = 7/12 (अब सबसे कम पदों में)
एलसीडी को कुशलता से ढूंढना: यदि न्यूनतमों में कोई सामान्य कारक नहीं है, तो एलसीडी = उनका उत्पाद (3 × 4 = 12)। यदि वे साझा कारकों के साथ हैं, तो फॉर्मूला का उपयोग करें: एलसीडी = (ए × बी) ÷ गीसीडी (ए, बी). 6 और 4 के लिए: गीसीडी = 2, एलसीडी = (6 × 4) ÷ 2 = 12।
फ्रैक्शन का गुणा करना और भाग करना
फ्रैक्शन का गुणा करना और भाग करना वास्तव में जोड़ने से अधिक सरल है - उन्हें सामान्य न्यूनतम की आवश्यकता नहीं होती है।
गुणा: numerator को एक साथ गुणा करें, denominator को एक साथ गुणा करें।
सूत्र: (ए/बी) × (सी/डी) = (ए × सी) / (बी × डी)
उदाहरण: 3/5 × 2/7 = (3 × 2) / (5 × 7) = 6/35
उदाहरण: 4/9 × 3/8
- निराश: (4 × 3) / (9 × 8) = 12/72
- बेहतर: सामान्य कारकों को पहले समाप्त करें (क्रॉस-निकालें): 4 और 8 में 4 का साझा कारक है; 3 और 9 में 3 का साझा कारक है। सरलीकरण: (1/3) × (1/2) = 1/6
- क्रॉस-निकालने से पहले बड़ी संख्याओं के साथ काम करने से बचा जाता है
भाग: भाग करने वाले द्वारा विपरीत को गुणा करें। "रखें, बदलें, फ्लिप।"
सूत्र: (ए/बी) ÷ (सी/डी) = (ए/बी) × (डी/सी) = (ए × डी) / (बी × सी)
उदाहरण: 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4 = 1¼
क्यों "फ्लिप और गुणा" काम करता है? एक फ्रैक्शन द्वारा विभाजन एक फ्रैक्शन के द्वारा गुणा करने के समान है, क्योंकि विपरीत × फ्रैक्शन = 1। 2/3 द्वारा विभाजन करना 3/2 द्वारा गुणा करने के समान है। यह पहचान इस फ्रैक्शन भागणे को गुणा करने के समान बनाती है।
भिन्नों को सरल बनाना: GCD का पता लगाना
भिन्न एक सरल रूप (निम्नतम पदों में भी कहा जाता है) में है जब संख्या और गुणक कोई सामान्य कारक नहीं है जो 1 के अलावा है। सरलीकरण करने का अर्थ है दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणक (GCD) द्वारा विभाजित करना।
उदाहरण: सरलीकृत करें 48/72
पद्धति 1 — दोनों को कारक करें: 48 = 2⁴ × 3; 72 = 2³ × 3²। GCD = 2³ × 3 = 24। 48/24 = 2; 72/24 = 3। सरलीकृत: 2/3।
पद्धति 2 — यूरोपीय एल्गोरिथम (बड़े संख्याओं के लिए सबसे कुशल):
- बड़ी संख्या को छोटी से विभाजित करें: 72 ÷ 48 = 1, शेष 24
- बड़ी से छोटी और छोटी से शेष के साथ बदलें: GCD(48, 24)
- विभाजित करें: 48 ÷ 24 = 2, शेष 0
- जब शेष = 0, तो GCD अंतिम विभाजक है: GCD = 24
यूरोपीय एल्गोरिथम एक प्राचीन एल्गोरिथम है जो गणित में से एक है (यूरोप के तत्व, ~300 ईसा पूर्व) और आधुनिक कंप्यूटिंग में अभी भी उपयोग किया जाता है।
सरलीकरण के लिए तेजी से प्राइम चेक: यदि दोनों संख्याएँ समान हैं, तो दोनों को 2 से विभाजित करें। यदि दोनों के अंत में 0 या 5 है, तो दोनों को 5 से विभाजित करें। यदि दोनों अंकों का योग एक गुणक है, तो 3 से विभाजित करें। दोहराएँ जब तक कोई सामान्य कारक नहीं रह जाता।
प्रैक्टिकल उदाहरण — निम्नतम पदों में भिन्न:
| मूल | सरलीकृत | GCD का उपयोग किया |
|---|---|---|
| 6/9 | 2/3 | 3 |
| 12/16 | 3/4 | 4 |
| 25/100 | 1/4 | 25 |
| 36/48 | 3/4 | 12 |
| 7/13 | 7/13 (जैसा ही सरलीकृत) | 1 (दोनों प्राइम संबंध) |
भिन्न जीवन में: वास्तविक अनुप्रयोग
भिन्न हर दिन की जिंदगी में दिखाई देते हैं — पकाने, निर्माण, वित्त और चिकित्सा सभी सही भिन्न समझ पर निर्भर करते हैं।
पकाने और व्यंजनों: एक व्यंजन को बढ़ाने या घटाने के लिए भिन्न गुणा करना आवश्यक है। एक व्यंजन 2/3 कप मैदा की आवश्यकता है और आप 1.5× व्यंजन बनाना चाहते हैं: 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1 कप। आधा करना: 2/3 × 1/2 = 2/6 = 1/3 कप।
निर्माण और माप: अमेरिका में लकड़ी और हार्डवेयर को भिन्न इंच में मापा जाता है। बोर्ड जोड़ना: 3 ⅝" + 4 ¾" = 3 5/8 + 4 6/8 = 7 11/8 = 8 3/8 इंच। शेष को घटाना: एक 2¼" पाइप में 2½" की छेद छोड़ देता है 2/4" = 1/4" शेष।
वित्त: भागीय शेयर अब निवेश खातों में मानक हैं। ब्याज दरें भिन्नों में व्यक्त की जाती हैं: एक ऋण दर 6 ⅜% = 6.375%। फेडरल रिजर्व दर निर्णय भिन्नों के एक प्रतिशत बिंदु (25 बेसिस पॉइंट = 1/4 प्रतिशत) में व्यक्त किए जाते हैं।
चिकित्सा खुराक: दवा अक्सर मिलीग्राम या मिलीलीटर में भिन्नों में खुराक की जाती है। एक खुराक 1/4 टैबलेट, या 0.5 mg/kg शरीर का वजन, सुरक्षित गणनाओं के लिए भिन्न गणित की आवश्यकता होती है।
संभावना: संभावना को अंतर्निहित रूप से भिन्न है। यदि 5 में से 12 विजेट्स खराब हैं, तो खराब एक का चयन करने की संभावना 5/12 ≈ 0.417 या 41.7% है। सभी संभावनाओं का योग = 1 (पूरा), जिससे भिन्न गणित सांख्यिकी का मूलभूत है।
सामान्य पूछे जाने वाले प्रश्न
कैसे आप अलग-अलग न्यूनतमों वाले भिन्नों को जोड़ते हैं?
दोनों भिन्नों का कम से कम सामान्य गुणांक (LCD) पाएं। प्रत्येक भिन्न को एक समान भिन्न बनाएं जिसमें LCD हो, गुणांकों को उपयुक्त कारक द्वारा गुणा करें। फिर संख्याओं को जोड़ें और LCD को गुणांक के रूप में रखें। अंत में, सरल बनाएं। उदाहरण: 1/3 + 1/4: LCD = 12; 4/12 + 3/12 = 7/12।
कैसे आप भिन्नों को गुणा करते हैं?
गुणांकों को एक साथ गुणा करें और गुणांकों को एक साथ गुणा करें। परिणाम को सरल बनाएं। उदाहरण: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2। आप क्रॉस-रद्द करने से पहले भी गुणा कर सकते हैं: 2 और 4 को 2 से विभाजित करें और 3 और 3 को 3 से विभाजित करें, ताकि (1/1) × (1/2) = 1/2 हो।
कैसे आप भिन्नों को विभाजित करते हैं?
पहले भिन्न को रखें, विभाजन को गुणा में बदलें, और दूसरे भिन्न का उलट (उलट का उलट) करें। फिर सामान्य रूप से गुणा करें। उदाहरण: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1⅞।
कैसे आप एक भिन्न को एक दशमलव में परिवर्तित करते हैं?
गुणांक को गुणांक से विभाजित करें। उदाहरण: 3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75। कुछ भिन्नों से दशमलव की पुनरावृत्ति होती है: 1/3 = 0.333... (पुनरावृत्ति), 1/7 = 0.142857142857... (पुनरावृत्ति 6-गणितीय ब्लॉक)।
कैसे आप एक भिन्न को सबसे कम पदों में सरल करते हैं?
गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य गुणांक (GCD) पाएं, फिर दोनों द्वारा विभाजित करें। उदाहरण: 18/24 — GCD 18 और 24 का 6 है — 18 ÷ 6 = 3, 24 ÷ 6 = 4 → 3/4 में सरलीकृत। यदि GCD = 1, तो भिन्न पहले से ही सबसे कम पदों में है।
मिश्रित संख्या क्या है और कैसे आप इसे परिवर्तित करते हैं?
मिश्रित संख्या एक पूर्ण संख्या और एक भिन्न (उदाहरण के लिए, 2⅓) का संयोजन है। एक अनुपयोगी भिन्न में परिवर्तित करने के लिए: पूर्ण संख्या को गुणांक द्वारा गुणा करें, गुणांक को जोड़ें: 2⅓ = (2×3+1)/3 = 7/3। एक अनुपयोगी भिन्न को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करने के लिए: गुणांक को गुणांक से विभाजित करें; गुणांक है पूर्ण संख्या, शेष है नई गणना। 7/3: 7 ÷ 3 = 2 शेष 1 → 2⅓।
GCD और LCD के बीच क्या अंतर है?
सबसे बड़ा सामान्य गुणांक (GCD) वह संख्या है जो दो या अधिक संख्याओं में समान रूप से विभाजित होती है - भिन्नों को सरल करने के लिए उपयोग किया जाता है। सबसे कम सामान्य गुणांक (LCD) वह संख्या है जो दोनों गुणांकों को समान रूप से विभाजित करती है - भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए उपयोग किया जाता है। वे संबंधित हैं: LCD(a,b) = (a × b) / GCD(a,b)।
क्यों आप विभाजन के लिए उलट और गुणा करते हैं?
एक संख्या द्वारा विभाजन करना एक संख्या के उलट (उलट का उलट) द्वारा गुणा करने के समान है। यह इसलिए है क्योंकि (a/b) × (b/a) = 1 - एक भिन्न का उलट उसके उलट के साथ गुणा करने से हमेशा 1 होता है। इसलिए 2/3 द्वारा विभाजन करना 3/2 द्वारा गुणा करने के समान है। यह नियम विभाजन को एक प्रक्रिया में सरल बनाता है जिसे आप पहले से जानते हैं (गुणा करना)।