Επιστημονικός Υπολογιστής Σημείωσης - Μετατροπή, Προσθήκη & Πολλαπλασιασμός

Τι Είναι η Επιστημονική Σημείωση;

Ο επιστημονικός συμβολισμός εκφράζει τους αριθμούς ως το γινόμενο ενός συντελεστή (μεταξύ 1 και 10) και μιας δύναμης 10.α x 10nόπου 1 <= a < 10 και n είναι ένας ακέραιος αριθμός. Αυτό το σύστημα καθιστά εξαιρετικά μεγάλους ή εξαιρετικά μικρούς αριθμούς ευανάγνωστους και διαχειρίσιμους στους υπολογισμούς.

Μετατροπή μεγάλων αριθμών:Μετακινήστε το δεκαδικό σημείο αριστερά μέχρι να έχετε έναν αριθμό μεταξύ 1 και 10. ο αριθμός των κινήσεων είναι ο θετικός εκθέτης σας.

• 93.000.000 μίλια (η γη - ηλιακή απόσταση) =9,3 χ 107μίλια (7 θέσεις αριστερά)
• 5.972.000.000.000.000.000.000.000 kg (Μάζα της Γης) =5,972 χ 1024 kg
• 299.792.458 m/s (ταχύτητα του φωτός) =2,998 χ 108m/s

Μετατροπή μικρών αριθμών:Μετακινήστε το δεκαδικό σημείο προς τα δεξιά.

• 0,000000001 μέτρο (1 νανομέτρο) =1 x 10−9 m
• 0,00000000000000160 κουλόμπ (φορτίο ηλεκτρονίων) =1,6 x 10−19 C

Το σύμπαν εκτείνεται από το μήκος του Πλανκ (1.616 x 10−35 m) έως τη διαμέτρου του παρατηρήσιμου σύμπαντος (8.8 x 1026 m) - πάνω από 60 τάξεις μεγέθους. Χωρίς επιστημονική σημειογραφία, η σύγκριση αυτών των κλίμακας θα ήταν εντελώς ανεφάρμοστη. Ακόμη και ένας απλός χημικός υπολογισμός που περιλαμβάνει τον αριθμό του Αβογκάντρο (6.022 x 1023) θα απαιτούσε να γραφτούν 23 μηδενικά χωρίς αυτό το σύστημα σημειογραφίας.

Οδηγός μετατροπής βήμα προς βήμα

Η μετατροπή μεταξύ της τυποποιημένης δεκαδικής σημειογραφίας και της επιστημονικής σημειογραφίας απαιτεί τον εντοπισμό και την καταμέτρηση της μετατόπισης των δεκαδικών θέσεων.

Δεκαδική -> Επιστημονική Σημείωση:

1. Γράψτε τον αριθμό με το δεκαδικό σημείο του ορατό (π.χ. 4500 = 4500).
2. Μετακινήστε το δεκαδικό σημείο αριστερά ή δεξιά μέχρι ακριβώς ένα μη μηδενικό ψηφίο είναι στα αριστερά του
3. Μετρήστε τον αριθμό των θέσεων που μετακινήθηκαν -- αυτός είναι ο εκθέτης n
4. Αν μετακινηθείτε αριστερά, το n είναι θετικό, αν μετακινηθείτε δεξιά, το n είναι αρνητικό.
5. Αφαίρεση τελικών μηδενικών, εκτός εάν είναι σημαντικά

Παραδείγματα:

Επιστημονική σημείωση -> Τυποποιημένο έντυπο:

1. Κοιτάξτε τον εκθέτη n
2. Αν το n είναι θετικό, μετακινήστε το δεκαδικό δεξιά σε n θέσεις (ο αριθμός γίνεται μεγαλύτερος)
3. Αν το n είναι αρνητικό, μετακινήστε το δεκαδικό αριστερά n θέσεις (ο αριθμός γίνεται μικρότερος)
4. Συμπληρώστε κενές θέσεις με μηδενικά ως φυλάκους θέσης

Αριθμητική Επιστημονικής Σημείωσης

Η αριθμητική με επιστημονική υπογραφή ακολουθεί συγκεκριμένους κανόνες που καθιστούν τους υπολογισμούς με πολύ μεγάλους ή πολύ μικρούς αριθμούς πολύ ευκολότερους από την εργασία με τις πλήρεις δεκαδικές τους μορφές.

Πολλαπλασιασμός:Πολλαπλασιάστε τους συντελεστές, προσθέστε τους εκθέτες. (3 x 104) x (2 x 103) = 6 x 107. Αν ο συντελεστής που προκύπτει είναι >= 10, διαιρέστε τον με το 10 και αυξήστε τον εκθέτη κατά 1: (5 x 104) x (4 x 103) = 20 x 107 = 2 x 108.

Τμήμα:Αν ο συντελεστής είναι μικρότερος από 1, πολλαπλασιάστε με 10 και μειώστε τον εκθέτη με 1.

Προσθήκη/αφαίρεση:Μετατρέψτε πρώτα στον ίδιο εκθέτη. (3.2 x 105) + (4.5 x 104) = 3.2 x 105 + 0.45 x 105 = 3.65 x 105.

Δυνάμεις:Ανέβασε τον συντελεστή στην δύναμη και πολλαπλασίασε τον εκθέτη. (2 x 103) 3 = 8 x 109.

Πρακτικό παράδειγμα: Υπολογίστε την ενέργεια ενός φωτονίου με μήκος κύματος 500 nm χρησιμοποιώντας E = hc/λ.

• h = 6,626 x 10−34 J·s· c = 2,998 x 108 m/s· λ = 5,00 x 10−7 m
• E = (6.626 x 10−34) x (2.998 x 108) ÷ (5.00 x 10−7)
• Αριθμητής: 6.626 x 2.998 = 19.87; εκθέτης: -34 + 8 = -26 -> 19.87 x 10−26 = 1.987 x 10−25 J·m
• Διαιρέστε: 1.987 ÷ 5.00 = 0.3974; εκθέτης: -25 - (-7) = -18 -> 0.3974 x 10−18 =3,97 x 10−19 J

Ηλεκτρονική Σημείωση και Υπολογιστικές Αντιπροσωπεύσεις

Στην πληροφορική και τη μηχανική, το γράμμα "E" (ή "e") αντικαθιστά το "x 10 ^" για ευκολία.Ηλεκτρονική σημείωση:

• 9.3E7 = 9.3 x 107 = 93.000.000
• 1.6E-19 = 1.6 x 10−19 (φορτίο ηλεκτρονίων)
• 6.022E23 = Ο αριθμός του Αβογκάντρο

Χρησιμοποιήσεις του Python1.23e6= 1.230.000. Καταστήματα Excel1.23E+06Η JavaScript αλλάζει σε E-σημείωση όταν οι αριθμοί υπερβαίνουν το 1021 ή πέφτουν κάτω από 5 x 10−7 στην προεπιλεγμένη αναπαράσταση χορδών.

Μηχανολογική σημείωσηΧρησιμοποιεί εκθέτες που είναι πολλαπλάσια του 3 (σε ευθυγράμμιση με τα πρόθετα SI): κιλό (103), mega (106), giga (109), tera (1012), milli (10−3), micro (10−6), nano (10−9).

Το IEEE 754 διπλής ακρίβειας πλωτού σημείου (που χρησιμοποιείται σχεδόν σε όλους τους σύγχρονους υπολογιστές και υπολογιστές) αποθηκεύει τους αριθμούς εσωτερικά ως δυαδική μορφή επιστημονικής σημειογραφίας: μια 52-bit mantissa και 11-bit εκθέτης, επιτρέποντας την αναπαράσταση των τιμών από περίπου 5 x 10-324 έως 1,8 x 10308.

Δυνάμεις του πίνακα αναφοράς 10

Η κατανόηση της κλίμακας των δυνάμεων του 10 χτίζει τη διαίσθηση για την επιστημονική σημείωση.

Σημαντικοί αριθμοί στην επιστημονική σημειογραφία

Ο επιστημονικός συμβολισμός εκφράζει φυσικά σημαντικούς αριθμούς, εξαλείφοντας την ασάφεια σχετικά με τα τελικά μηδενικά που πλήττουν τον πρότυπο δεκαδικό συμβολισμό.

• 3,00 x 102 = 300 με3 σημαντικοί αριθμοί
• 3,0 x 102 = 300 με2 σημαντικοί αριθμοί
• 3 x 102 = 300 με1 σημαντικός αριθμός

Στην δεκαδική σημείωση, το "300" είναι ασαφές - θα μπορούσε να έχει 1, 2 ή 3 σημαντικούς αριθμούς. Η επιστημονική σημείωση κάνει την ακρίβεια σαφή. Αυτός είναι ο λόγος που η επιστημονική βιβλιογραφία χρησιμοποιεί πάντα την επιστημονική σημείωση για μετρημένες ποσότητες.

Κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση, το αποτέλεσμα έχει τον ίδιο αριθμό σφραγίδων sig με την λιγότερο ακριβή είσοδο. Κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση, ευθυγραμμίστε τις δεκαδικές μονάδες των συντελεστών (μετά τη μετατροπή στον ίδιο εκθέτη) και στρογγυλοποιήστε στην ίδια δεκαδική θέση με την λιγότερο ακριβή. Για μια απόσταση 10.237 χλμ μετρημένη με GPS (5 σφραγίδες sig) τρέχει σε 54:23 (3.263 δευτερόλεπτα, 4 σφραγίδες sig), ο υπολογισμένος ρυθμός θα πρέπει να αναφερθεί σε 4 σφραγίδες sig: 5:19 λεπτά / χλμ.

Επιστημονική Σημείωση σε Πραγματικές Εφαρμογές

Η επιστημονική σημείωση δεν είναι μόνο για τους φυσικούς και τους χημικούς - εμφανίζεται σε πολλούς πρακτικούς τομείς:

Αποθήκευση στον υπολογιστή:Ένας σκληρός δίσκος 2 TB (τεραμπάιτ) χωράει 2 x 1012 bytes. Ένα δίκτυο 5G έχει θεωρητική ταχύτητα αιχμής 20 Gbps = 2 x 1010 bits ανά δευτερόλεπτο.

Χρηματοοικονομικά:Το εθνικό χρέος των ΗΠΑ υπερβαίνει τα 3,3 x 1013 δολάρια (33 τρισεκατομμύρια δολάρια).

Βιολογία:Το ανθρώπινο σώμα περιέχει περίπου 3,7 x 1013 κύτταρα. Κάθε ανθρώπινο κύτταρο περιέχει περίπου 3,2 x 109 ζεύγη βάσεων DNA.

Χημεία:Ο αριθμός του Αβογκάντρο (6.022 x 1023) συνδέει τις ατομικές και τις μακροσκοπικές κλίμακες - ένα μολύβι ατόμων άνθρακα-12 ζυγίζει ακριβώς 12 γραμμάρια και περιέχει 6.022 x 1023 άτομα.

Πρακτικές εφαρμογές της επιστημονικής συμβολής

Η επιστημονική σημειογράφηση εμφανίζεται σε πολλά πραγματικά πλαίσια πέρα από την τάξη της φυσικής.

Πληροφορική και αποθήκευση δεδομένων:Η σύγχρονη αποθήκευση μετριέται σε gigabytes (109 bytes), terabytes (1012), και petabytes (1015). Ένα τυπικό αρχείο βίντεο 4K είναι περίπου 50 GB = 5 x 1010 bytes.

Χρηματοοικονομικά:Το εθνικό χρέος των ΗΠΑ υπερβαίνει τα 3,3 x 1013 δολάρια (33 τρισεκατομμύρια δολάρια). Η ονομαστική αξία των παγκόσμιων παραγώγων είναι περίπου 1015 δολάρια (ένα τετρασεκατομμύριο δολάρια). Το ετήσιο παγκόσμιο ΑΕΠ είναι περίπου 105 δισεκατομμύρια δολάρια = 1014 δολάρια.

Ιατρική και βιολογία:Το ανθρώπινο σώμα περιέχει περίπου 3,7 x 1013 κύτταρα. Κάθε κύτταρο περιέχει περίπου 3,2 x 109 ζεύγη βάσεων DNA. Ένα μόνο γραμμάριο εδάφους περιέχει περίπου 109 βακτηριακά κύτταρα. Τα ιογενή σωματίδια κυμαίνονται από 2 x 10-8 έως 3 x 10-7 μέτρα σε διάμετρο.

Περιβαλλοντική επιστήμη:Η ατμοσφαιρική συγκέντρωση CO2 μετριέται σε μέρη ανά εκατομμύριο (ppm). Σε 420 ppm, που είναι 4,2 x 10-4 κατά όγκο. Η ετήσια παγκόσμια εκπομπή CO2 είναι περίπου 3,7 x 1010 μετρικούς τόνους. Η οξίνιση των ωκεανών παρακολουθείται από το pH, το οποίο είναι και αυτό ένα λογαριθμικό (βάση-10) κλίμακα - μια αλλαγή pH 0,1 αντιπροσωπεύει μια 10 ^ 0.1 ~ 1,26x αλλαγή στη συγκέντρωση ιόντων υδρογόνου, ή μια αύξηση του 26% στην οξύτητα.

Συνηθισμένα Λάθη κατά τη Γραφή Επιστημονικής Σημείωσης

Αρκετά συστηματικά σφάλματα εμφανίζονται επανειλημμένα όταν οι μαθητές και οι επαγγελματίες μαθαίνουν για πρώτη φορά την επιστημονική σημειογράφηση.

Λάθος 1 - Συντελεστής εκτός εύρους:Ο συντελεστής πρέπει να είναι μεταξύ 1 (συμπεριλαμβανομένων) και 10 (αποκλειστικά).

Λάθος 2 - Λάθος σημάδι στον εκθέτη:Η σύγχυση του 10−3 με το 103. Η μετακίνηση του δεκαδικού δεξιά (για μικρούς αριθμούς) δίνει ένα αρνητικό εκθέτη, η μετακίνηση αριστερά (για μεγάλους αριθμούς) δίνει ένα θετικό εκθέτη.

Λάθος 3 - Μέτρηση από λάθος θέση:Κατά τη μετατροπή του 0,00456, οι μαθητές μερικές φορές μετράνε από το πρώτο μηδέν και όχι από το δεκαδικό σημείο.

Λάθος 4 - Προσθήκη εκθετών όταν προσθέτουμε αριθμούς:Δεν μπορείτε απλά να προσθέσετε εκθέτες όταν προσθέτετε αριθμούς στην επιστημονική σημειογραφία. Πρώτα μετατρέψτε στον ίδιο εκθέτη: (3 x 104) + (2 x 103) ≠ 5 x 107.