Υπολογιστής πολυωνύμων
Αξιολογήστε μια πολυωνυμική έκφραση σε μια δεδομένη τιμή του x. Υποστηρίζει τη μορφή ax3 + bx2 + cx + d. Χρησιμοποιήστε αυτό το δωρεάν υπολογιστή μαθηματικών για στιγμιαία αποτελέσματα.
Κατανοώντας Πολυωνύμια
Ένα πολυώνυμο είναι μια αλγεβρική έκφραση που αποτελείται από μεταβλητές και συντελεστές, χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και μη αρνητικούς ακέραιους εκθέτες.
Βασική ορολογία:βαθμός= υψηλότερος εκθέτης με μη μηδενικό συντελεστή (βαθμός 3 = κυβικό).Κύρια συντελεστής= συντελεστής του όρου υψηλότερου βαθμού.σταθερός όρος= τιμή όταν x=0 (το "d" στη μορφή μας).ρίζες/μηδενικάΤο Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας δηλώνει ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού n έχει ακριβώς n ρίζες που μετράνε πολλαπλότητα (κάποιες μπορεί να είναι πολύπλοκες).
Η αξιολόγηση του P(x) για μια συγκεκριμένη τιμή του x ονομάζεταιαξιολόγηση λειτουργίαςΓια P(x) = x3 - 2x2 + x σε x=3: P(3) = 27 - 18 + 3 = 12. Αυτός ο υπολογιστής αξιολογεί το πολυώνυμό σας σε οποιαδήποτε τιμή x αμέσως χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Horner για υπολογιστική αποτελεσματικότητα.
Τύποι πολυωνύμων κατά βαθμό
Οι πολυωνύμοι ταξινομούνται με βάση το βαθμό τους - την υψηλότερη δύναμη της μεταβλητής.
| Βαθμός | Ονομασία | Γενική μορφή | ρίζες | Σχήμα γραφήματος |
|---|---|---|---|---|
| 0 | Σταθερή | P (x) = d | Καμία (εκτός εάν d=0) | Οριζόντια γραμμή |
| 1 | Γραμμική | P ((x) = cx + d | 1 πραγματική ρίζα | Ευθεία γραμμή |
| 2 | Τετραγωνική | P(x) = bx2 + cx + d | 0, 1 ή 2 πραγματικές ρίζες | Παραβόλα (σχήμα U) |
| 3 | Κουβική | P(x) = ax3 + bx2 + cx + d | 1, 2 ή 3 πραγματικές ρίζες | Καμπύλη σε σχήμα S |
| 4 | Κουάρτικ | P(x) = ax4 + ... | 0 έως 4 πραγματικές ρίζες | Σχήμα W ή M |
| 5 | Πεντάγωνο | P(x) = ax5 + ... | 1 έως 5 πραγματικές ρίζες | Επιμήκη S |
| n | Βαθμός-n | P(x) = anxn + ... | Το πολύ n πραγματικές ρίζες | Διαφέρει |
Οι τετραγωνικές (βαθμού 2) είναι οι πιο συνηθισμένες που λύνονται αναλυτικά. Ο τετραγωνικός τύπος x = (-b +/- √(b2-4ac)) / (2a) δίνει τις ρίζες ρητά.διακριτικόςb2-4ac καθορίζει τη φύση της ρίζας: θετική -> δύο διακριτές πραγματικές ρίζες, μηδενική -> μία επαναλαμβανόμενη πραγματική ρίζα, αρνητική -> δύο σύνθετες συζυγικές ρίζες.
Οι κυβικές ρίζες (ο βαθμός 3, αυτό που χρησιμοποιεί αυτός ο υπολογιστής) έχουν πάντα τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα, αφού οι πολύπλοκες ρίζες έρχονται σε συνδυασμένα ζεύγη και οι 3 ρίζες δεν μπορούν όλες να είναι μη πραγματικές. Ο τύπος του Cardano (1545) παρέχει μια αναλυτική λύση για τις κυβικές ρίζες, αν και σπάνια χρησιμοποιείται χειροκίνητα λόγω της πολυπλοκότητάς του. Για τα κουάρτικς, η μέθοδος του Ferrari παρέχει μια λύση. Για βαθμό 5 και άνω, δεν υπάρχει γενικός αλγεβρικός τύπος (θεώρημα Abel-Ruffini, 1824).
Αξιολόγηση πολυωνύμων: Παραδείγματα βήμα προς βήμα
Για να εκτιμηθεί P(x) = ax3 + bx2 + cx + d σε ένα δεδομένο x, υποκαταστήστε και απλοποιήστε:
| Πολυωνύμιο P(x) | τιμή x | Υπολογισμός | Αποτελέσματα |
|---|---|---|---|
| x3 - 2x2 + x | x = 3 | 27 - 18 + 3 + 0 | P(3) = 12 |
| x3 + 0x2 + 0x - 8 | x = 2 | 8 + 0 + 0 - 8 | P(2) = 0 (ρίζα!) |
| 2x3 - 3x2 + x - 5 | x = -1 | -2 - 3 - 1 - 5 | P(-1) = -11 |
| x3 - 6x2 + 11x - 6 | x = 1 | 1 - 6 + 11 - 6 | P(1) = 0 (ρίζα!) |
| x3 - 6x2 + 11x - 6 | x = 2 | 8 - 24 + 22 - 6 | P(2) = 0 (ρίζα!) |
| x3 - 6x2 + 11x - 6 | x = 3 | 27 - 54 + 33 - 6 | P(3) = 0 (ρίζα!) |
Οι τρεις τελευταίες σειρές απεικονίζουν το Θεώρημα των Παράγοντων: αν P(r) = 0, τότε (x-r) είναι ένας παράγοντας. Δεδομένου ότι x3 - 6x2 + 11x - 6 ισούται με το μηδέν σε x=1, 2 και 3, το γνωρίζουμε ως παράγοντες (x-1) ((x-2) ((x-3).
Μέθοδος Χόρνερ: Αποτελεσματική Πολυωνυμική Αξιολόγηση
Η αφελής μέθοδος αξιολόγησης ax3 + bx2 + cx + d απαιτεί υπολογισμό x2, x3, στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας με συντελεστές - συνολικά 5 πολλαπλασιασμούς και 3 προσθήκες.Μέθοδος Χόρνεραναδιαρθρώνει το πολυώνυμο ώστε να απαιτεί μόνο 3 πολλαπλασιασμούς και 3 προσθήκες, ανεξάρτητα από το βαθμό:
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = ((ax + b) x + c) x + d
Αξιολόγηση σε x=4 για P(x) = 2x3 - 3x2 + x - 5:
- Ξεκίνημα: 2
- Πολλαπλασιάζουμε με 4, προσθέτουμε -3: 2x4 + (-3) = 5
- Πολλαπλασιάζουμε με 4, προσθέτουμε 1: 5x4 + 1 = 21
- Πολλαπλασιάζουμε με 4, προσθέτουμε -5: 21x4 + (-5) = 79
Αποτέλεσμα: P(4) = 79. Ελέγξτε απευθείας: 2(64) - 3(16) + 4 - 5 = 128 - 48 + 4 - 5 = 79
Η μέθοδος του Χόρνερ δεν είναι απλά μια υπολογιστική συντόμευση - αποτελεί τη βάση της συνθετικής διαίρεσης (μια μέθοδος για τη διαίρεση πολυωνύμων με γραμμικούς παράγοντες) και είναι ο τυποποιημένος αλγόριθμος που χρησιμοποιείται σε μεταγλωττιστές και υπολογιστές για την αξιολόγηση πολυωνύμων.
Πολυωνυμικές λειτουργίες: πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός
Πριν από την αξιολόγηση πολυωνύμων, βοηθά στην κατανόηση της βασικής πολυωνυμικής αριθμητικής:
Προσθήκη/αφαίρεση:Συνδυάστε παρόμοιους όρους (του ίδιου βαθμού). (3x2 + 2x + 1) + (x2 - x + 4) = 4x2 + x + 5.
Πολλαπλασιασμός:Κάθε όρος στο πρώτο πολυώνυμο πολλαπλασιάζει κάθε όρο στο δεύτερο, στη συνέχεια παρόμοιοι όροι συνδυάζονται.
(2x + 3) ((x2 - x + 2) = 2x3 - 2x2 + 4x + 3x2 - 3x + 6 = 2x3 + x2 + x + 6
Τμήμα:Η πολυωνυμική μακρά διαίρεση διαιρεί ένα πολυώνυμο με ένα άλλο. Η συνθετική διαίρεση είναι μια συντόμευση για τη διαίρεση με έναν γραμμικό παράγοντα (x - r). Σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, όταν P (x) διαιρείται με (x - r), το υπόλοιπο ισούται με P (r) - την ίδια τιμή που υπολογίζει ο υπολογιστής μας.
| Λειτουργία | Μέθοδος | Βασικός κανόνας |
|---|---|---|
| Προσθήκη | Συνδυάστε παρόμοιους όρους | Οι βαθμοί πρέπει να ταιριάζουν |
| Αφαίρεση | Αρνητικό δεύτερο, προσθέστε | Διανείμουμε το αρνητικό σημάδι |
| Πολλαπλασιασμός | Κατανομή κάθε όρου | Προσθέστε εκθέτες παρόμοιων βάσεων |
| Τμήμα | Μεγάλη διαίρεση ή συνθετική | Βαθμός του συντελεστή = deg ((P) - deg ((Q) |
Πολυωνύμια στην Επιστήμη, την Μηχανική και την Διαστολή
Τα πολυώνυμα είναι από τα πιο ευέλικτα μαθηματικά εργαλεία με εφαρμογές σε κάθε επιστημονικό και μηχανικό κλάδο.
Φυσική και μηχανική:Οι κινηματικές εξισώσεις είναι πολυώνυμες στο χρόνο. Η θέση s(t) = s0 + v0t + 1⁄2at2 είναι ένα τετραγωνικό πολυώνυμο στο t.
Τέιλορ και Μακλόριν:Οποιαδήποτε ομαλή (άπειρα διαφοροποιήσιμη) συνάρτηση μπορεί να προσεγγιστεί ως άπειρο πολυώνυμο: sin ((x) ~ x - x3/6 + x5/120 - ... Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο υπολογιστές και υπολογιστές αξιολογούν υπερβατικές συναρτήσεις - χρησιμοποιούν πολυωνυμικές προσεγγίσεις ακριβείς στην ακρίβεια της μηχανής. Μια κυβική πολυωνυμική προσέγγιση του sin ((x) είναι έγκυρη εντός 0,1% για το x < 0,5 ακτίνες.
Αριθμητική παρεμβολή:Ωστόσο, η πολυωνυμική παρεμβολή υψηλού βαθμού μπορεί να υποφέρει από το φαινόμενο του Runge - άγριες ταλαντώσεις μεταξύ των σημείων δεδομένων - γι 'αυτό και χρησιμοποιούνται στην πράξη κομμάτια κυβικά splines (κομμάτια πολυωνύμων βαθμού 3 ενωμένα ομαλά).
Ηλεκτρονικά γραφικά:Οι καμπύλες Bézier (που χρησιμοποιούνται σε γραμματοσειρές, διανυσματικά γραφικά και μονοπάτια κινουμένων σχεδίων) είναι πολυωνυμικές παραμετρικές καμπύλες. Οι κυβικές καμπύλες Bézier (βαθμός 3) είναι το πρότυπο σε SVG, PostScript / PDF και CSS κινουμένων σχεδίων. Παρέχουν ομαλές, οπτικά ευχάριστες καμπύλες με τέσσερα σημεία ελέγχου που οι σχεδιαστές μπορούν να χειριστούν διαισθητικά.
Βρίσκοντας τις ρίζες των πολυωνύμων
Μια ρίζα (ή μηδέν) ενός πολυωνύμου P(x) είναι μια τιμή r όπου P(r) = 0.
- Γραμμική (βαθμός 1):cx + d = 0 -> x = -d/c. Πάντα ακριβώς μία ρίζα.
- Τετραγωνική (βαθμός 2):Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο. ο διακριτικός προσδιορίζει 0, 1 ή 2 πραγματικές ρίζες.
- Κουβικός (βαθμός 3):Ο τύπος του Καρντάνο δίνει ακριβείς ρίζες, αλλά είναι πολύπλοκος.
- Βαθμός 5+:Χρησιμοποιήστε αριθμητικές μεθόδους: Newton-Raphson, bisection, μέθοδο του Brent.
Μέθοδος Newton-Raphsonγια την εύρεση ριζών αριθμητικά: ξεκινώντας από μια αρχική εικασία x0, επαναλαμβάνουμε: xn+1 = xn - P(xn) / P'(xn). Κάθε επανάληψη περίπου διπλασιάζει τον αριθμό των σωστών δεκαδικών ψηφίων (τετραγωνική σύγκλιση). Για το κυβικό μας P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, η παράγωγος P'(x) = 3ax2 + 2bx + c.
Το Θεώρημα της Ορθολογικής ρίζας παρέχει υποψήφιες ορθολογικές ρίζες για πολυωνύμους με ακέραιους συντελεστές: πιθανές ορθολογικές ρίζες είναι +/-(παράγοντες του d) / (παράγοντες του α). Για x3 - 6x2 + 11x - 6, πιθανές ορθολογικές ρίζες είναι +/-{1, 2, 3, 6} - δοκιμάζοντας κάθε μία διαπιστώνει ότι 1, 2, και 3 είναι όλες ρίζες.
Συχνές ερωτήσεις
Ποιος είναι ο βαθμός ενός πολυωνύμου;
Ο βαθμός είναι η υψηλότερη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή. x3 + 2x - 1 έχει βαθμό 3 ( κυβικό). 5x2 + x + 7 έχει βαθμό 2 ( τετραγωνικό). Μια μη μηδενική σταθερά όπως το 4 έχει βαθμό 0.
Πόσες ρίζες έχει ένα κυβικό πολυώνυμο;
Ένα κυβικό πολυώνυμο (βαθμού 3) έχει ακριβώς 3 ρίζες που μετράνε πολλαπλότητα (Βασικό Θεώρημα της Αλγεβράς). Αυτές μπορεί να είναι: 3 ξεχωριστές πραγματικές ρίζες, 1 πραγματική ρίζα + 2 σύνθετες συζυγικές ρίζες ή 1 επαναλαμβανόμενη πραγματική ρίζα + 1 απλή πραγματική ρίζα.
Ποια είναι η μέθοδος του Χόρνερ;
Η μέθοδος του Χόρνερ αξιολογεί πολυωνύμους αποτελεσματικά με την ένθεση: ax3+bx2+cx+d = ((ax+b)x+c)x+d. Αυτό απαιτεί μόνο 3 πολλαπλασιασμούς και 3 προσθήκες για ένα κυβικό, έναντι 6 πολλαπλασιασμών αφελώς. Είναι ο τυποποιημένος αλγόριθμος για την αξιολόγηση πολυωνύμων στην πληροφορική και ισοδυναμεί με τη συνθετική διαίρεση.
Τι είναι το θεώρημα του υπολοίπου;
Το θεώρημα των υπολοίπων δηλώνει ότι όταν ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με (x-r), το υπόλοιπο ισούται με P(r. Αυτό σημαίνει ότι η εκτίμηση του P(r) - ακριβώς αυτό που κάνει ο υπολογιστής μας - ισοδυναμεί με την εύρεση του υπολοίπου της διαιρέσεως πολυώνυμου με (x-r). Αν P(r) = 0, τότε (x-r) είναι ένας παράγοντας (το θεώρημα των παραγόντων).
Πώς παράγοντας ένα κυβικό πολυώνυμο;
Βρείτε μια ρίζα r χρησιμοποιώντας το Θεώρημα της Ορθολογικής ρίζας, το Newton-Raphson, ή την επιθεώρηση. Στη συνέχεια διαιρέστε P(x) με (x-r) χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση για να πάρετε ένα τετραγωνικό ποσοστό. Λύστε το τετραγωνικό με τον τετραγωνικό τύπο για να βρείτε τις υπόλοιπες δύο ρίζες. Η παραγοντοποιημένη μορφή είναι a(x-r1) ((x-r2) ((x-r3) όπου r1, r2, r3 είναι οι τρεις ρίζες.
Τι κάνει ένα πολυώνυμο "καταθλιπτικό";
Ένα καταπιεσμένο πολυώνυμο είναι ένα πολυώνυμο όπου ο όρος του δεύτερου υψηλότερου βαθμού έχει συντελεστή μηδέν. Για ένα κυβικό ax3 + bx2 + cx + d, η υποκατάσταση x = t - b / 3a) εξαλείφει τον όρο x2, δημιουργώντας ένα "καταπιεσμένο κυβικό" t3 + pt + q. Ο τύπος του Cardano ισχύει για καταπιεσμένα κυβικά. Αυτή η υποκατάσταση είναι το πρώτο βήμα στην αναλυτική επίλυση κυβικών εξισώσεων.
Μπορείς να εκτιμήσεις πολυώνυμα με σύνθετους αριθμούς;
Ναι. Η πολυωνυμική αξιολόγηση P(x) λειτουργεί για πολύπλοκες τιμές x χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο. Αυτό είναι σημαντικό επειδή οι ρίζες των πολυωνύμων είναι συχνά πολύπλοκες. Για ένα τετραγωνικό x2 + 1 = 0, οι ρίζες είναι x = i και x = -i (όπου i = √(-1)), δίνοντας P(i) = i2 + 1 = -1 + 1 = 0. Η πολύπλοκη αξιολόγηση είναι θεμελιώδης για την επεξεργασία σημάτων (z-μετασχηματισμοί) και τη θεωρία ελέγχου.
Τι είναι ένα μονικό πολυώνυμο;
Ένα μονικό πολυώνυμο έχει έναν βασικό συντελεστή 1 (ο συντελεστής του όρου υψηλότερου βαθμού είναι 1). Για παράδειγμα, x3 - 5x + 6 είναι μονικό (a = 1).
Γιατί τα πολυώνυμα βαθμού 5+ δεν μπορούν να λυθούν με έναν τύπο;
Το θεώρημα Abel-Ruffini (1824, αποδεδειγμένο από τον Abel και εν μέρει από τον Ruffini) αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει κανένας γενικός τύπος που χρησιμοποιεί αριθμητικές πράξεις και ρίζες (τετραγωνικές ρίζες, κυβικές ρίζες, κλπ.) για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού 5 ή υψηλότερου.
Τι είναι η πολυωνυμική παλινδρόμηση;
Η πολυωνυμική παλινδρόμηση ταιριάζει σε ένα πολυωνύμιο καθορισμένου βαθμού σε ένα σύνολο σημείων δεδομένων με την ελαχιστοποίηση του άθρου των τετραγωνικών υπολειμμάτων (μικρότερων τετραγώνων). Ο βαθμός-2 ταιριάζει σε παραβολές (χρήσιμη για τάσεις σε σχήμα U), ο βαθμός-3 ταιριάζει σε κυβικές καμπύλες (για σχήμα S ή ασύμμετρες τάσεις). Προσοχή: ένας πολύ υψηλός βαθμός προκαλεί υπερβολική προσαρμογή - το πολυωνύμιο περνά από όλα τα σημεία αλλά ταλαντεύεται άγρια μεταξύ τους (φαινόμενο του Runge).
Πρακτικές εφαρμογές των κυβικών πολυωνύμων
Τα κυβικά πολυώνυμα (ο βαθμός 3, η μορφή που αξιολογεί αυτός ο υπολογιστής) εμφανίζονται σε όλη την επιστήμη και τη μηχανική με τρόπους που δεν είναι πάντα προφανείς.
Όγκος και γεωμετρία:Ο όγκος μιας σφαίρας είναι V = (4/3) πr3 - ένα κυβικό πολυώνυμο σε r. Ο όγκος ενός κύβου με μήκος πλευράς s είναι απλά s3. Πολλοί μηχανικοί όγκοι (δεξαμενές, δοχεία, καλούπια) περιγράφονται από κυβικές πολυωνυμικές σχέσεις μεταξύ διαστάσεων και χωρητικότητας. Εάν μια κυλινδρική δεξαμενή έχει ένα μεταβλητό σχήμα πλήρωσης στο κάτω μέρος, ο όγκος ως συνάρτηση του ύψους μπορεί να ακολουθήσει ένα κυβικό πολυώνυμο που προέρχεται από την ολοκλήρωση της διατομής.
Φυσική και κινηματική:Όταν η αντίσταση του αέρα είναι ανάλογη με την ταχύτητα στο τετράγωνο, η θέση ενός βλήματος γίνεται πολυώνυμο τρίτου βαθμού στο χρόνο σε ορισμένα μοντέλα. Η απόκλιση μιας μη ομοιόμορφης δέσμης υπό κατανεμημένο φορτίο περιγράφεται από ένα πολυώνυμο τέταρτης τάξης ODE, αλλά η λύση του για συγκεκριμένες περιπτώσεις μειώνεται σε κυβικές εκφράσεις.
Οικονομική και ανάλυση κόστους:Η λειτουργία συνολικού κόστους στη μικροοικονομία είναι συχνά κυβική: C(q) = aq3 + bq2 + cq + d, όπου q είναι η παραγόμενη ποσότητα. Αυτό το κυβικό σχήμα αντικατοπτρίζει οικονομίες κλίμακας (μείωση του οριακού κόστους στην αρχή) ακολουθούμενη από μειωμένες αποδόσεις (αύξηση του οριακού κόστους σε υψηλή παραγωγή).
Ηλεκτρονικά γραφικά και κινούμενα σχέδια:Κάθε ομαλή καμπύλη σε ένα αρχείο γραμματοσειράς (TrueType, OpenType), μια εικονογράφηση SVG, ένα μονοπάτι κινουμένων σχεδίων CSS ή ένα μοντέλο 3D αποτελείται από κύβικα πολυωνυμικά τμήματα που συνδέονται από άκρη σε άκρη. Τα τέσσερα σημεία ελέγχου μιας κυβικής καμπύλης Bézier ορίζουν ένα παραμετρικό κυβικό πολυωνύμιο P(t) = (1-t) 3P0 + 3(1-t) 2tP1 + 31-(t) 2P2 + t3P3 για t ∈ [0,1].
Επεξεργασία σήματος και σχεδιασμός φίλτρου:Τα ψηφιακά φίλτρα στην επεξεργασία ήχου, την επεξεργασία εικόνας και τις επικοινωνίες χρησιμοποιούν συχνά πολυωνυμικές προσεγγίσεις. Ένα φίλτρο κυβικής παρεμβολής εξομαλύνει μεταξύ διακριτών δειγμάτων: δεδομένων τεσσάρων τιμών δείγματος, ένα κυβικό πολυωνύμιο ταιριάζει στα τέσσερα σημεία και αξιολογείται σε ενδιάμεσες θέσεις.
Το κυβικό πολυώνυμο με τη μορφή ax3 + bx2 + cx + d είναι το μαθηματικό γλυκό σημείο μεταξύ απλότητας και εκφραστικότητας. Τα γραμμικά και τετραγωνικά πολυώνυμα είναι συχνά πολύ απλά για να συλλάβουν την πραγματική πολυπλοκότητα. Τα τεταρτητικά και τα υψηλότερα πολυώνυμα είναι συχνά περιττά πολύπλοκα και επιρρεπείς σε υπερβολική προσαρμογή. Το κυβικό πολυώνυμο, με το ένα σημείο κάμψης και την καμπύλη σχήματος S, συλλαμβάνει ένα αξιοσημείωτο φάσμα φυσικών φαινομένων - το οποίο εξηγεί την πανταχού παρουσία του σε κάθε ποσοτικό πεδίο.