เครื่องคำนวณพหุนาม
คำนวณค่าของนิพจน์พหุนามที่ค่า x ที่กำหนด รองรับรูปแบบ ax³ + bx² + cx + d ใช้เครื่องคำนวณคณิตศาสตร์ฟรีนี้สำหรับผลลัพธ์ทันที ไม่ต้องสมัครสมาชิก
ความเข้าใจพหุนาม
พหุนามเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวแปรและค่าสัมประสิทธิ์ โดยใช้เพียงการบวก การลบ การคูณ และเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น รูปแบบทั่วไปของพหุนามระดับ n: P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. เครื่องคิดเลขของเราคือสามารถจัดการพหุนามที่มีระดับ 3 ได้: P(x) = ax³ + bx² + cx + d.
คำศัพท์สำคัญ: ระดับ = ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดของเลขชี้กำลังที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ (ระดับ 3 = คิวบิก) สัมประสิทธิ์นำ = สัมประสิทธิ์ของเทอมที่มีเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุด เทอมคงที่ = ค่าเมื่อ x=0 (เทอม 'd' ในรูปแบบของเรา) ราก/ศูนย์ = ค่าของ x ที่ P(x) = 0. อนุพันธ์ของทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ระบุว่าพหุนามระดับ n มีรากทั้งหมด n ราก โดยนับตามความซ้ำซ้อน (อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน)
การประเมิน P(x) สำหรับค่า x ที่เฉพาะเจาะจงเรียกว่า การประเมินฟังก์ชัน สำหรับ P(x) = x³ − 2x² + x ที่ x=3: P(3) = 27 − 18 + 3 = 12. เครื่องคิดเลขของเราคำนวณพหุนามของคุณที่ x ค่าใดๆ ได้อย่างรวดเร็วโดยใช้วิธีของโฮร์เนอร์สำหรับความเร็วในการคำนวณ
ประเภทของพหุนามตามระดับ
พหุนามแบ่งออกเป็นประเภทตามระดับ — ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปร พวกมันมีคุณสมบัติที่แตกต่างกัน:
| ระดับ | ชื่อ | รูปแบบทั่วไป | ราก | รูปกราฟ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | คงที่ | P(x) = d | ไม่มี (ยกเว้น d=0) | เส้นตรงแนวนอน |
| 1 | เชิงเส้น | P(x) = cx + d | ราก 1 รากจริง | เส้นตรง |
| 2 | กำลังสอง | P(x) = bx² + cx + d | 0, 1 หรือ 2 รากจริง | รูปปาราโบลา (รูป U) |
| 3 | คิวบิก | P(x) = ax³ + bx² + cx + d | 1, 2 หรือ 3 รากจริง | รูป S ที่มีเส้นโค้ง |
| 4 | ควอแดรติก | P(x) = ax⁴ + ... | 0 ถึง 4 รากจริง | รูป W หรือ M |
| 5 | ควินติก | P(x) = ax⁵ + ... | 1 ถึง 5 รากจริง | รูป S ที่ยาวขึ้น |
| n | ระดับ n | P(x) = aₙxⁿ + ... | ไม่เกิน n รากจริง | หลากหลาย |
กำลังสอง (ระดับ 2) เป็นแบบที่แก้ไขได้โดยใช้การวิเคราะห์มากที่สุด พหุนามกำลังสองสามารถแก้ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) เพื่อให้ได้รากโดยตรง สัมประสิทธิ์ ความไม่เท่าเทียมกัน b²−4ac กำหนดลักษณะของราก: บวก → รากที่แตกต่างกันสองราก; 0 → รากที่ซ้ำซ้อนหนึ่งราก; ลบ → รากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนคู่
คิวบิก (ระดับ 3, ที่เครื่องคิดเลขของเรากำลังใช้) มีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก เนื่องจากรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมาเป็นคู่ และ 3 รากไม่สามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทั้งหมด สูตรของการดาน (1545) ให้คำตอบที่แก้ไขได้สำหรับรากที่สาม แม้ว่าจะไม่ถูกใช้โดยมือบุคคลได้โดยไม่ซับซ้อน เนื่องจากความซับซ้อนของมัน สำหรับควอแดรติก สูตรของเฟร์รารี (Ferrari) ให้คำตอบ สำหรับระดับ 5 และขึ้นไป ไม่มีสูตรที่แก้ไขได้โดยทั่วไป (ทฤษฎีบทของอเบล-รุฟฟินี 1824)
การประเมินพหุนาม: ตัวอย่างขั้นตอน-ต่อ-ขั้นตอน
เพื่อประเมิน P(x) = ax³ + bx² + cx + d ที่ x ที่กำหนด แทนที่และทำให้เรียบ:
| พหุนาม P(x) | x ค่า | การคำนวณ | ผลลัพธ์ |
|---|---|---|---|
| x³ − 2x² + x | x = 3 | 27 − 18 + 3 + 0 | P(3) = 12 |
| x³ + 0x² + 0x − 8 | x = 2 | 8 + 0 + 0 − 8 | P(2) = 0 (ราก!) |
| 2x³ − 3x² + x − 5 | x = −1 | −2 − 3 − 1 − 5 | P(−1) = −11 |
| x³ − 6x² + 11x − 6 | x = 1 | 1 − 6 + 11 − 6 | P(1) = 0 (ราก!) |
| x³ − 6x² + 11x − 6 | x = 2 | 8 − 24 + 22 − 6 | P(2) = 0 (ราก!) |
| x³ − 6x² + 11x − 6 | x = 3 | 27 − 54 + 33 − 6 | P(3) = 0 (ราก!) |
สามบรรทัดสุดท้ายแสดงถึงทฤษฎีบทปัจจัย: หาก P(r) = 0 แล้ว (x−r) จะเป็นปัจจัย เนื่องจาก x³ − 6x² + 11x − 6 เท่ากับศูนย์ที่ x=1, 2 และ 3 เราจึงรู้ว่ามันแยกตัวประกอบเป็น (x−1)(x−2)(x−3) การขยายยืนยัน: (x−1)(x−2)(x−3) = x³ − 6x² + 11x − 6. ✓
{
"@context": "https://schema.org",
"@type": "Article",
"headline": "Understanding Polynomials",
"image": "https://example.com/image.jpg",
"description": "Learn about polynomials, their types, and how to evaluate them.",
"author": {
"@type": "Person",
"name": "John Doe"
},
"publisher": {
"@type": "Organization",
"name": "Mathematics Institute"
},
"datePublished": "2022-01-01"
}
วิธีของโฮร์เนอร์: การประเมินพหุนามที่มีประสิทธิภาพ
วิธีการประเมินพหุนามที่ง่ายๆ คือ ax³ + bx² + cx + d ต้องคำนวณ x², x³ แล้วคูณด้วยสัมประสิทธิ์ — รวมเป็น 5 การคูณและ 3 การบวก วิธีของโฮร์เนอร์ จะทำให้พหุนามมีลักษณะใหม่เพื่อต้องการเพียง 3 การคูณและ 3 การบวก ไม่ว่าระดับจะเป็นเท่าใด:
P(x) = ax³ + bx² + cx + d = ((ax + b)x + c)x + d
การประเมินใน x=4 สำหรับ P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5:
- เริ่มต้น: 2
- คูณด้วย 4, บวก −3: 2×4 + (−3) = 5
- คูณด้วย 4, บวก 1: 5×4 + 1 = 21
- คูณด้วย 4, บวก −5: 21×4 + (−5) = 79
ผลลัพธ์: P(4) = 79 ตรวจสอบโดยตรง: 2(64) − 3(16) + 4 − 5 = 128 − 48 + 4 − 5 = 79 ✓
วิธีของโฮร์เนอร์ไม่ใช่แค่ช่องทางในการคำนวณที่ง่ายขึ้นเท่านั้น แต่ยังเป็นพื้นฐานของการหารพหุนาม (วิธีการหารพหุนามด้วยปัจจัยเชิงเส้น) และเป็นแอลกอริทึมมาตรฐานที่ใช้ในคอมไพลเลอร์และเครื่องคิดเลขสำหรับการประเมินพหุนาม สำหรับพหุนามระดับสูง การลดลงจาก O(n²) ถึง O(n) การดำเนินการมีความสำคัญ
การดำเนินการพหุนาม: การบวก การลบ และการคูณ
ก่อนที่จะประเมินพหุนาม จะช่วยให้เข้าใจพหุนามพื้นฐาน:
การบวก/ลบ: รวมพจน์ที่เหมือนกัน (ระดับเดียวกัน) (3x² + 2x + 1) + (x² − x + 4) = 4x² + x + 5
การคูณ: พจน์ในพหุนามแรกคูณกับพจน์ในพหุนามที่สอง แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน พจน์ FOIL คือกรณีพิเศษสำหรับสองพจน์เชิงเส้น:
(2x + 3)(x² − x + 2) = 2x³ − 2x² + 4x + 3x² − 3x + 6 = 2x³ + x² + x + 6
การหาร: การหารพหุนามยาวหารพหุนามหนึ่งด้วยอีกพหุนามหนึ่ง การหารพหุนามแบบสังเคราะห์เป็นช่องทางที่เร็วสำหรับการหารด้วยปัจจัยเชิงเส้น (x − r) ตามทฤษฎีบทเศษเมื่อ P(x) หารด้วย (x − r) เศษจะเท่ากับ P(r) — ค่าเดียวกับที่เครื่องคิดเลขของเราคำนวณ
| การดำเนินการ | วิธีการ | กฎหลัก |
|---|---|---|
| การบวก | รวมพจน์ที่เหมือนกัน | ระดับจะต้องตรงกัน |
| การลบ | ลบพจน์ที่สอง | กระจายเครื่องหมายลบ |
| การคูณ | กระจายแต่ละพจน์ | เพิ่มเลขชี้กำลังของฐานที่เหมือนกัน |
| การหาร | การหารยาวหรือสังเคราะห์ | ระดับของผลหาร = ระดับของ P − ระดับของ Q |
พหุนามในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และการคาดคะแนนที่ไม่ซ้ำกัน
พหุนามเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีความหลากหลายมากที่มีการใช้ในทุกสาขาวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์
ฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์: สมการเชิงการเคลื่อนที่เป็นพหุนามในเวลา Position s(t) = s₀ + v₀t + ½at² เป็นพหุนามกำลังสองใน t พหุนามกำลังสามและกำลังสูงกว่าใช้ในการจำลองระบบทางกายภาพที่ซับซ้อน: การเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวตั้งด้วยแรงต้านอากาศ ความสัมพันธ์ระหว่างแรงกับความตึงเครียดในวัสดุ และการตอบสนองของวงจร
ชุดเทย์เลอร์และแมคลอริน: ฟังก์ชันใดๆ ที่เรียบง่าย (มีความแตกต่างที่ไม่ซ้ำกัน) สามารถประมาณได้เป็นพหุนามที่ไม่ซ้ำกัน: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − ... นี่เป็นวิธีที่เครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ประมาณฟังก์ชันตรรกยะ — พหุนามประมาณที่แม่นยำถึงความแม่นยำของเครื่องคิดเลข A พหุนามประมาณกำลังสามของ sin(x) มีความแม่นยำถึง 0.1% สำหรับ |x| < 0.5 รadian
การคาดคะแนนที่ไม่ซ้ำกัน: เมื่อมีข้อมูล n+1 จุด จะมีพหุนามของระดับ ≤ n ที่ผ่านจุดเหล่านั้นทั้งหมด (การคาดคะแนนที่ไม่ซ้ำกันของ Lagrange) นี่ใช้ในวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การ圧縮ข้อมูล และการประมวลผลสัญญาณ อย่างไรก็ตาม การคาดคะแนนที่ไม่ซ้ำกันของระดับสูงอาจมีปัญหาของ Runge — การสั่นไหวที่ไม่ซ้ำกันระหว่างจุดข้อมูล — ซึ่งเป็นเหตุผลที่สไปน์กำลังสามที่ไม่ซ้ำกัน (สไปน์กำลังสามที่ไม่ซ้ำกันเชื่อมต่ออย่างสม่ำเสมอ) ใช้ในทางปฏิบัติ
กราฟิกคอมพิวเตอร์: Bézier curve (ใช้ในตัวอักษร ฟอนต์ กราฟิกเวกเตอร์ และเส้นทางการเคลื่อนไหว) เป็นพหุนามค่าผกผัน พหุนามกำลังสาม (degree 3) เป็นมาตรฐานใน SVG PostScript/PDF และ CSS animation พวกมันให้กราฟที่เรียบง่ายและดึงดูดใจที่มีปัจจัยควบคุมสี่ปัจจัยที่ผู้ออกแบบสามารถปรับเปลี่ยนได้อย่างอิสระ
การค้นหาตัวสังเกตของพหุนาม
ตัวสังเกต (หรือศูนย์) ของพหุนาม P(x) คือค่า r ที่ P(r) = 0 การค้นหาตัวสังเกตเป็นหนึ่งในปัญหาที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์ โดยมีการใช้แนวทางทางวิเคราะห์และทางคณิตศาสตร์:
- กำลังหนึ่ง (degree 1): cx + d = 0 → x = −d/c. มีตัวสังเกตเสมอหนึ่งตัว
- กำลังสอง (degree 2): ใช้สูตรกำลังสอง Discriminant กำหนด 0, 1 หรือ 2 ตัวสังเกตที่เป็นจริง
- กำลังสาม (degree 3): สูตรของ Cardano ให้ตัวสังเกตที่แม่นยำ แต่เป็นซับซ้อน การแทนที่พหุนามกำลังสามที่ถดถอยทำให้การคำนวณง่ายขึ้น มีตัวสังเกตอย่างน้อย 1 ตัวที่เป็นจริง
- กำลัง 5+: ไม่มีสูตรทั่วไป (ทฤษฎีบทของ Abel-Ruffini) ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์: วิธีของ Newton-Raphson วิธีการแบ่งครึ่ง วิธีการของ Brent
วิธีของ Newton-Raphson สำหรับการค้นหาตัวสังเกตทางคณิตศาสตร์: เริ่มต้นจากคาดเดา x₀ ไล่เรื่อยๆ: xₙ₊₁ = xₙ − P(xₙ)/P'(xₙ) การคาดเดาแต่ละครั้งประมาณทำให้จำนวนหลักตัวเลขที่ถูกต้องเพิ่มขึ้นสองเท่า (การขยายตัวที่กำลังสอง) สำหรับพหุนามของเรา P(x) = ax³ + bx² + cx + d อนุพันธ์ของ P(x) = P'(x) = 3ax² + 2bx + c
ทฤษฎีบทส่วนสัมประสิทธิ์ที่มีเหตุผลให้สมมติฐานตัวสังเกตที่มีเหตุผลสำหรับพหุนามที่มีเหตุผล: ตัวสังเกตที่มีเหตุผลที่เป็นไปได้คือ ±(ปัจจัยของ d) / (ปัจจัยของ a) สำหรับ x³ − 6x² + 11x − 6 ตัวสังเกตที่มีเหตุผลที่เป็นไปได้คือ ±{1, 2, 3, 6} — การทดสอบแต่ละตัวพบว่า 1, 2 และ 3 เป็นตัวสังเกตทั้งหมด
คำถามที่พบบ่อย
คำตอบคืออะไรสำหรับระดับของพหุนาม?
ระดับคือกำลังที่สูงสุดของตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ x³ + 2x − 1 มีระดับ 3 (คิวบิก) 5x² + x + 7 มีระดับ 2 (ควอแดรติก) ค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น 4 มีระดับ 0 พหุนามที่ศูนย์ (ทุกค่าสัมประสิทธิ์ศูนย์) ไม่มีระดับ (หรือ ระดับ −∞ ตามข้อกำหนด)
พหุนามคิวบิกมีรากกี่ราก?
พหุนามคิวบิก (ระดับ 3) มีรากทั้งหมด 3 ราก โดยนับถึงความซ้ำ (ทฤษฎีบทพื้นฐานของทวินาม) รากเหล่านี้อาจเป็น: 3 รากจริงที่แตกต่างกัน 1 รากจริง + 2 รากเชิงซ้อนคู่ขนาน หรือ 1 รากจริงที่ซ้ำ + 1 รากจริงที่ง่าย พหุนามคิวบิกมีรากจริงอย่างน้อย 1 ราก เพราะรากเชิงซ้อนจะมาเป็นคู่
คำตอบคืออะไรสำหรับวิธีการของโฮร์เนอร์?
วิธีการของโฮร์เนอร์ประเมินพหุนามได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยการปิดซ้อน: ax³+bx²+cx+d = ((ax+b)x+c)x+d นี่ต้องใช้เพียง 3 การคูณและ 3 การบวกสำหรับคิวบิกเท่านั้น ในขณะที่การคูณแบบง่ายๆ จะต้องใช้ 6 การคูณ วิธีนี้เป็นมาตรฐานสำหรับการประเมินพหุนามในคอมพิวเตอร์และเทียบเท่ากับการหารแบบวิธีเทียบเท่า
คำตอบคืออะไรสำหรับหลักการของเศษส่วนที่เหลือ?
หลักการของเศษส่วนที่เหลือระบุว่าเมื่อพหุนาม P(x) หารด้วย (x−r) เศษส่วนที่เหลือจะเท่ากับ P(r) นี่หมายความว่าประเมิน P(r) — เพียงอย่างที่เครื่องคิดเลขของเราทำ — เทียบเท่ากับการหาส่วนที่เหลือของการหารพหุนามด้วย (x−r) หาก P(r) = 0 แล้ว (x−r) จะเป็นตัวประกอบ (ทฤษฎีบทตัวประกอบ)
คำตอบคืออะไรสำหรับการแยกตัวประกอบพหุนามคิวบิก?
หาราก r โดยใช้ทฤษฎีบทรากที่เป็นจำนวนเต็มหรือใช้การประมาณค่าของนิวตัน-ราฟสันหรือการตรวจสอบโดยการดู จากนั้นหาร P(x) ด้วย (x−r) โดยใช้การหารแบบวิธีเทียบเท่าเพื่อให้ได้ผลหารแบบกำลังสองแก้สมการกำลังสองเพื่อหาสามรากที่เหลือ รูปแบบแยกตัวประกอบคือ a(x−r₁)(x−r₂)(x−r₃) โดยที่ r₁, r₂, r₃ เป็นรากทั้งสาม
คำตอบคืออะไรสำหรับพหุนามที่ถูก "ลดลง"?
พหุนามที่ถูก "ลดลง" คือพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมที่สองสูงสุดเป็นศูนย์ สำหรับพหุนาม ax³ + bx² + cx + d แทนที่ x = t − b/(3a) จะกำจัดเทอม x² ทำให้เกิด "พหุนามที่ถูก 'ลดลง' t³ + pt + q สูตรของการดัดแปลงของการ์ดาโนใช้กับพหุนามที่ถูก 'ลดลง' การแทนที่นี้เป็นขั้นตอนแรกในการแก้สมการคิวบิกอย่างมีวิธี
สามารถประเมินพหุนามได้โดยใช้ตัวเลขเชิงซ้อนหรือไม่?
ใช่ พหุนามประเมิน P(x) ทำงานได้สำหรับตัวเลขเชิงซ้อน x โดยใช้สูตรเดียวกัน นี่มีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากรากของพหุนามมักเป็นเชิงซ้อน สำหรับสมการกำลังสอง x² + 1 = 0 รากคือ x = i และ x = −i (โดยที่ i = √(−1)) ทำให้ P(i) = i² + 1 = −1 + 1 = 0 การประเมินเชิงซ้อนเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการประมวลผลสัญญาณ (การแปลง z) และทฤษฎีควบคุม
คำตอบคืออะไรสำหรับพหุนามที่มี 1 เป็นค่าสัมประสิทธิ์นำ?
พหุนามที่มี 1 เป็นค่าสัมประสิทธิ์นำ (ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมที่มีระดับสูงสุดคือ 1) ตัวอย่างเช่น x³ − 5x + 6 เป็นมอนิก (a=1) พหุนามใดๆ สามารถทำให้มอนิกได้โดยการหารค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วยค่าสัมประสิทธิ์นำ พหุนามมอนิกมีประโยชน์ในคณิตศาสตร์เพราะรูปแบบแยกตัวประกอบของมันสะอาด: (x−r₁)(x−r₂)(x−r₃)
คำตอบคืออะไรสำหรับเหตุผลที่พหุนามระดับ 5+ ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยสูตร?
ทฤษฎีบทอเบล-รุฟฟินี (1824 ซึ่งพิสูจน์โดยอเบลและบางส่วนโดยรุฟฟินี) แสดงให้เห็นว่าไม่มีสูตรทั่วไปที่ใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และรากที่มี (รากที่สอง รากที่สาม ฯลฯ) สำหรับสมการพหุนามระดับ 5 หรือสูงกว่า การทฤษฎีบทแกโลว์อธิบายว่าทำไม: กลุ่มความสมมาตรของพหุนามทั่วไปไม่สามารถแก้ไขได้ บางพหุนามระดับ 5 สามารถแก้ไขได้ (เช่น x⁵ − 1 = 0) แต่ไม่มีสูตรที่ใช้ได้กับทุกพหุนามระดับ 5
คำตอบคืออะไรสำหรับ regression พหุนาม?
การประมาณพหุนามที่เหมาะสมให้พหุนามของระดับที่กำหนดให้เข้ากับชุดข้อมูลจุดโดยการลดความแตกต่างของส่วนที่เหลือที่กำลังสอง (น้อยที่สุด) ระดับ 2 ให้พาราโบลา (มีประโยชน์สำหรับแนวโน้ม U) ระดับ 3 ให้พหุนามคิวบิก (สำหรับแนวโน้ม S หรือไม่สมมาตร) ข้อควรระวัง: ระดับที่สูงเกินไปทำให้เกิดการผิดพลาด (ปรากฏการณ์ของรันเก) พหุนามจะผ่านจุดแต่ละจุด แต่จะวิ่งไปมาอย่างไม่สม่ำเสมอระหว่างพวกมัน
การประยุกต์ใช้พหุนามคิวบิก
พหุนามคิวบิก (ระดับ 3, รูปแบบที่คำนวณโดยเครื่องคิดเลขนี้) ปรากฏอยู่ทั่ววิทยาศาสตร์และวิศวกรรมในหลายวิธีที่ไม่ชัดเจนเสมอไป การรับรู้ว่าพหุนามคิวบิกเหมาะสมหรือไม่ และรู้วิธีประเมินมันอย่างรวดเร็ว เป็นความสามารถที่มีประโยชน์ในการหลายสาขาวิชาเทคนิค
ปริมาตรและรูปทรง: ปริมาตรของทรงกลมคือ V = (4/3)πr³ — พหุนามคิวบิกใน r ปริมาตรของทรงกลมด้วยความยาวด้าน s คือ s³ ปริมาตรของเครื่องมือวิศวกรรมหลายชนิด (ถัง, อุปกรณ์, มอลด์) ได้รับการอธิบายโดยพหุนามคิวบิกระหว่างมิติและความจุ หากถังทรงกระบอกมีรูปทรงที่มีความสูงตั้งแต่ขั้นต่ำถึงสูงสุด ปริมาตรเป็นฟังก์ชันของความสูงอาจเป็นพหุนามคิวบิกที่ได้มาจากการบวกพื้นที่ส่วนตัดขวาง
ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์: เมื่อแรงต้านอากาศสัดส่วนกับความเร็วสี่เหลี่ยม ปริมาตรของวัตถุจะกลายเป็นพหุนามคิวบิกในเวลาในบางแบบจำลอง การเบี่ยงเบนของไม้ไม่สม่ำเสมอภายใต้แรงกระจายจะอธิบายโดยพหุนามคิวบิก ODE แต่การแก้สมการเฉพาะกรณีจะลดลงเป็นพหุนามคิวบิก ความสัมพันธ์ระหว่างแรงกับความตึงเครียดในบางวัสดุไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมสภาพแบบไม่เสื่อมส