Çokel hesap makinesi

Çoğulları Anlamak

Bir polinom, yalnızca ekleme, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan tamsayı üyeleri kullanarak değişkenler ve katsayılardan oluşan bir cebirsel ifadedir. N dereceli bir polinomun genel biçimi: P ((x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0.

Anahtar terminoloji:derece= sıfırdan farklı bir katsayıyla en yüksek üstel (3 derece = küp).önde gelen katsayısı= en yüksek dereceli terimin katsayısı.sabit terim= x=0 olduğu zaman değer (bizim formumuzdaki 'd').kökler/sıfırlarCebrenin Temel Teoremi, her derece-n polinomun tam olarak n kök sayma çoğaltılığına sahip olduğunu belirtir (bazıları karmaşık olabilir).

Belirli bir x değeri için P ((x) değerlendirmesifonksiyon değerlendirmesiP(x) = x3 - 2x2 + x için x=3: P(3) = 27 - 18 + 3 = 12. Bu hesap makinesi, hesaplama verimliliği için Horner yöntemini kullanarak polinomunuzu herhangi bir x değerinde anında değerlendirir.

Dereceye göre Polinom Türleri

Polinomlar derecelerine göre sınıflandırılır. Her tip farklı özelliklere sahiptir:

Kvadratik formüller (derece 2) en yaygın olarak analitik olarak çözülür. Kvadratik formül x = (-b +/- √(b2-4ac)) / (2a) kökleri açıkça verir.ayrımcıb2-4ac kök doğasını belirler: pozitif -> iki farklı gerçek kök; sıfır -> bir tekrarlanan gerçek kök; negatif -> iki karmaşık konjugat kök.

Kubikler (derece 3, bu hesap makinesinin kullandığı) her zaman en az bir gerçek köke sahiptir, çünkü karmaşık kökler konjugat çiftler halinde gelir ve 3 köklerin hepsi gerçek olamayabilir. Cardano formülü (1545) kubik kökler için analitik bir çözüm sunar, ancak karmaşıklığı nedeniyle nadiren elle kullanılır. Kvartikler için Ferrari yöntemi bir çözüm sunar. 5 derece ve üstü için genel bir cebirsel formül yoktur (Abel-Ruffini teoremi, 1824).

Çoğulları Değerlendirmek: Adım Adım Örnekler

Belirli bir x'de P(x) = ax3 + bx2 + cx + d değerini bulmak için, aşağıdakileri değiştirin ve basitleştirin:

Son üç satır Faktör Teoremi'ni gösterir: eğer P(r) = 0 ise, o zaman (x-r) bir faktördür. x3 - 6x2 + 11x - 6 x = 1, 2 ve 3'te sıfıra eşit olduğundan, onu (x-1) ((x-2) ((x-3) olarak biliyoruz. Genişletme şunları onaylar: (x-1) ((x-2) ((x-3) = x3 - 6x2 + 11x - 6.

Horner Yöntemi: Verimli Polinom Değerlendirmesi

Ax3 + bx2 + cx + d değerlendirmesinin saf yöntemi x2, x3 hesaplamayı ve sonra katsayılarla çarpmayı gerektirir. Toplamda 5 çarpma ve 3 toplama.Horner yöntemidereceye bakılmaksızın, çokelciyi sadece 3 çarpım ve 3 toplama gerektirecek şekilde yeniden yapılandırır:

P ((x) = ax3 + bx2 + cx + d = ((ax + b) x + c) x + d

P ((x) = 2x3 - 3x2 + x - 5 için x=4 değerlendirmesi:

• Başlangıç: 2
• 4 ile çarpın, ekleyin -3: 2x4 + (-3) = 5
• 4'e çarpar, 1 ekler: 5x4 + 1 = 21
• 4 ile çarpın, ekleyin -5: 21x4 + (-5) = 79

Sonuç: P ((4) = 79. Doğrudan kontrol edin: 2 ((64) - 3 ((16) + 4 - 5 = 128 - 48 + 4 - 5 = 79

Horner'ın yöntemi sadece bir hesaplama kestirmesi değildir - sentetik bölünmenin temelini oluşturur (bir çoklüyü doğrusal faktörlere bölme yöntemi) ve çoklüyü değerlendirmek için derleyicilerde ve hesap makinelerinde kullanılan standart algoritmadır. Yüksek dereceli çoklüler için, O (((n2) 'den O (((n) işlemlerine indirgenme önemlidir.

Polinom İşlemleri: Toplama, Çıkarma ve Çoğaltma

Polinomları değerlendirmeden önce, temel polinom aritmetiğini anlamaya yardımcı olur:

Toplama/Azaltma:Benzer terimleri (aynı derece) birleştirin. (3x2 + 2x + 1) + (x2 - x + 4) = 4x2 + x + 5.

Çarpım:Birinci polinomdaki her terim, ikincisindeki her terimi çarpar, daha sonra benzer terimler birleştirilir. Klasik FOIL yöntemi iki ikili için özel bir durumdur:

(2x + 3) ((x2 - x + 2) = 2x3 - 2x2 + 4x + 3x2 - 3x + 6 = 2x3 + x2 + x + 6

Bölüm:Polinomial uzun bölme bir polinomu diğerine böler. Sentetik bölme, doğrusal bir faktör (x - r) ile bölme için bir kısayoldur. Kalan Teorem'e göre, P ((x)) (x - r) bölündüğünde, kalan P ((r) 'ye eşittir - hesap makinemizin hesapladığı aynı değer.

Bilim, Mühendislik ve İnterpolasyonda Polinomlar

Polinomlar, her bilimsel ve mühendislik disiplininde uygulamaları olan en çok yönlü matematiksel araçlar arasındadır.

Fizik ve mühendislik:Kinematik denklemler zaman açısından polinomiktir. Konum s(t) = s0 + v0t + 1⁄2at2 t'de bir kvadratik polinomiktir. Kübik ve daha yüksek dereceli polinomlar daha karmaşık fiziksel sistemleri modellemektedir: hava direnci ile mermi hareketi, malzemelerde gerginlik-zorlanma ilişkileri ve devre yanıt eğreleri.

Taylor ve Maclaurin serisi:Herhangi bir pürüzsüz (sonsuz derecede ayrıştırılabilir) fonksiyon, sonsuz bir polinom olarak yaklaştırılabilir: sin ((x) ~ x - x3/6 + x5/120 - ... Bu, hesap makinelerinin ve bilgisayarların transandantal fonksiyonları nasıl değerlendirdiğidir - makine hassasiyetine uygun polinomal yaklaşımlar kullanırlar. Sin ((x) küp polinomal yaklaşımı, x < 0,5 radyan için %0,1'e kadar geçerlidir.

Sayısal interpolasyon:n+1 veri noktası verilirse, bunların hepsinden geçen <= n dereceli eşsiz bir polinom vardır (Lagrange interpolasyonu). Bu sayısal analiz, veri sıkıştırması ve sinyal işlemesinde kullanılır. Bununla birlikte, yüksek dereceli polinomel interpolasyon, Runge'un fenomeninden - veri noktaları arasındaki vahşi salınımlardan - zarar görebilir. Bu nedenle parçalı küp spline'ler (parçalar halinde 3 derecelik polinomlar pürüzsüz bir şekilde birleştirilir) pratikte kullanılır.

Bilgisayar grafikleri:Bézier eğrileri (fonlarda, vektör grafiklerinde ve animasyon yollarında kullanılır) polinomik parametrik eğrilerdir. Kübik Bézier eğrileri (3 derece) SVG, PostScript / PDF ve CSS animasyonlarında standarttır. Tasarımcıların sezgisel olarak manipüle edebileceği dört kontrol noktası ile pürüzsüz, görsel olarak hoş eğriler sağlarlar.

Polinomların Köklerini Bulmak

Bir polinomun kökü (veya sıfır) P ((x) P ((r) = 0 olan bir değerdir. Kökleri bulmak, hem analitik hem de sayısal yaklaşımlarla matematikte merkezi problemlerden biridir:

• Doğrusal (1 derece):cx + d = 0 -> x = -d / c. Her zaman tam olarak bir kök.
• Kvadratik (2 derece):Kvadratik formülü kullanın. Diskriminant 0, 1 veya 2 gerçek kökü belirler.
• Kubik (3 derece):Cardano'nun formülü kesin kökler verir, ancak karmaşıktır.
• Derece 5+:Genel bir formül yok (Abel-Ruffini teoremi). Sayısal yöntemler kullanın: Newton-Raphson, bölme, Brent yöntemi.

Newton-Raphson yöntemiKökleri sayısal olarak bulmak için: başlangıç tahmin x0'dan başlayarak, tekrarlayın: xn+1 = xn - P(xn) / P'(xn. Her tekrarlama yaklaşık olarak doğru ondalık noktalarının sayısını iki katına çıkarır (kvadratik yakınlaşma). Kübik P(x) = ax3 + bx2 + cx + d için, türevi P'(x) = 3ax2 + 2bx + c.

Rasyonel Kök Teoremi, tamsayı katsayıları olan polinomlar için aday rasyonel kökler sağlar: olası rasyonel kökler +/- ((d faktörleri) / (a faktörleri). x3 - 6x2 + 11x - 6 için, olası rasyonel kökler +/- {1, 2, 3, 6} - her birini test ederek 1, 2 ve 3'ün tüm kökler olduğunu bulur.

Kubik Polinomların Pratik Uygulamaları

Kübik polinomlar (3 derece, bu hesap makinesinin değerlendirdiği form) bilim ve mühendislikte her zaman açık olmayan şekillerde ortaya çıkar. Kübik bir modelin ne zaman uygun olduğunu tanımak - ve nasıl hızlı bir şekilde değerlendirileceğini bilmek - birçok teknik alanda pratik bir beceridir.

Hacim ve geometri:Bir kürenin hacmi V = (4/3) πr3 - r'de bir küp polinomidir. Yan uzunluğu s olan bir küpün hacmi basitçe s3'tür. Birçok mühendislik hacmi (tanklar, kaplar, kalıplar) boyutlar ve kapasite arasındaki küp polinom ilişkileri ile tanımlanır. Bir silindirik tankın altında değişken bir dolgu şekli varsa, yükseklik fonksiyonu olarak hacim, çapraz kesim alanının entegrasyonundan elde edilen küp polinomunu takip edebilir.

Fizik ve kinematik:Hava direnci hızın karesine orantılı olduğunda, bir merminin konumu bazı modellerde zaman içinde üçüncü derece bir polinom haline gelir. Dağıtılmış yük altında eşit olmayan bir kirişin sapması dördüncü dereceden bir polinom ODE ile tanımlanır, ancak belirli durumlar için çözümü küp ifadelerle azaltılır. Bazı doğrusal olmayan elastik malzemelerde gerginlik ve gerginlik arasındaki ilişki küp polinomlarla modellenir.

Ekonomik ve maliyet analizi:Mikroekonomideki toplam maliyet fonksiyonları genellikle küptür: C (((q) = aq3 + bq2 + cq + d, burada q üretilen miktardır. Bu küp şekli, ölçek ekonomilerini yansıtır (ilk başta marjinal maliyetin azalması) ve ardından geri dönüşlerin azalması (yüksek çıkışta marjinal maliyetin artması). Marjinal maliyet fonksiyonu C'q ((() = 3aq2 + 2bq + c kvadratiktir, bu nedenle ekonomi dersleri kvadratik formül ve kâr maksimizasyonu ile ilişkisi üzerinde önemli zaman harcar.

Bilgisayar grafikleri ve animasyon:Kübik eklemler ve Bézier eğrileri parçalı kübik polinomlardır. Bir yazı tipi dosyasındaki (TrueType, OpenType), bir SVG illüstrasyonundaki, bir CSS animasyon yolundaki veya bir 3D modelindeki her pürüzsüz eğri, uçtan uca birleştirilmiş kübik polinom segmentlerinden oluşur. Kübik bir Bézier eğrisinin dört kontrol noktası, t ∈ [0,1] için parametrik bir kübik polinom P (((t) = (1-t) 3P0 + 3 (((1-t) 2tP1 + 3 (((t) 2P2 + t3P3 tanımlar. Bunu t'nin birçok değeri için değerlendirmek, ekranda sunulan pürüzsüz eğriyi izler.

Sinyal işleme ve filtre tasarımı:Ses işleme, görüntü işleme ve iletişimdeki dijital filtreler genellikle polinomik yaklaşımlar kullanır. Kübik interpolasyon filtresi ayrık örnekler arasında pürüzsüzleştirir: dört örnek değeri verildiğinde, bir kübik polinom dört noktaya uygundur ve ara konumlarda değerlendirilir. Bu, dijital ses çalarlarının ayrık örnek verilerinden pürüzsüz oynatma ürettiği ve resimlerin yeniden boyutlandırıldığında nasıl interpolasyon yapıldığıdır.

Kubik polinom biçimi ax3 + bx2 + cx + d, basitlik ve ifadelilik arasındaki matematiksel tatlı noktadır. Doğrusal ve kvadratik polinomlar genellikle gerçek dünyadaki karmaşıklığı yakalamak için çok basittir. Dördüncü ve daha yüksek polinomlar genellikle gereksiz yere karmaşıktır ve aşırı uyumlu olma eğilimindedir.