ماشینحساب چندجملهای
محاسبه مقدار عبارت چندجملهای برای مقدار x دادهشده. از فرم ax³ + bx² + cx + d پشتیبانی میکند. ابزار رایگان ریاضی برای نتایج فوری.
چندجملهای چیست؟
چندجملهای یک عبارت ریاضی است که از ضرایب و توانهای متغیر تشکیل شده است. فرم کلی یک چندجملهای مکعبی (درجه ۳) به صورت زیر است: P(x) = ax³ + bx² + cx + d. در اینجا a، b، c و d ضرایب ثابت هستند و x متغیر است.
درجه چندجملهای برابر بالاترین توان متغیر است که ضریب غیر صفر دارد. چندجملهای درجه یک (خطی)، درجه دو (درجه دوم)، درجه سه (مکعبی) و بالاتر داریم.
- ثابت: P(x) = ۵ (درجه ۰)
- خطی: P(x) = ۲x + ۳ (درجه ۱)
- درجه دوم: P(x) = x² − ۴x + ۴ (درجه ۲)
- مکعبی: P(x) = ۲x³ − x² + ۳x − ۱ (درجه ۳)
ارزیابی چندجملهای برای مقدار x دادهشده
برای محاسبه P(x) برای یک مقدار مشخص x، کافی است مقدار x را در فرمول جایگذاری کنید. مثال: برای P(x) = 2x³ − x² + 3x − 1 و x = 2:
P(2) = 2(8) − 4 + 6 − 1 = 16 − 4 + 6 − 1 = 17
روش هورنر یک روش کارآمد برای ارزیابی چندجملهای است: ax³ + bx² + cx + d = ((ax + b)x + c)x + d. این روش تنها به ۳ ضرب و ۳ جمع نیاز دارد در حالی که روش مستقیم ۶ ضرب لازم دارد.
ریشههای چندجملهای
ریشه (یا صفر) چندجملهای مقداری از x است که در آن P(x) = 0. بر اساس قضیه اساسی جبر، یک چندجملهای درجه n دقیقاً n ریشه دارد (با احتساب تکرار و ریشههای مختلط).
| درجه | نام | تعداد ریشه | مثال |
|---|---|---|---|
| ۰ | ثابت | ۰ ریشه | P(x) = 5 |
| ۱ | خطی | ۱ ریشه حقیقی | P(x) = 2x − 6 → x = 3 |
| ۲ | درجه دوم | ۲ ریشه (حقیقی یا مختلط) | x² − 5x + 6 = 0 → x = 2, 3 |
| ۳ | مکعبی | ۳ ریشه (حداقل ۱ حقیقی) | x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 → x = 1, 2, 3 |
سؤالات متداول
درجه چندجملهای چیست؟
درجه چندجملهای بالاترین توان متغیر با ضریب غیر صفر است. x³ + 2x − 1 درجه ۳ دارد. 5x² + x + 7 درجه ۲ دارد. عدد ۴ درجه ۰ دارد.
چندجملهای مکعبی چند ریشه دارد؟
یک چندجملهای مکعبی (درجه ۳) دقیقاً ۳ ریشه با احتساب تکرار دارد. این ریشهها میتوانند ۳ ریشه حقیقی یا ۱ حقیقی + ۲ مختلط مزدوج باشند. یک چندجملهای مکعبی همیشه حداقل یک ریشه حقیقی دارد.
روش هورنر چیست؟
روش هورنر چندجملهایها را به صورت تودرتو ارزیابی میکند: ax³+bx²+cx+d = ((ax+b)x+c)x+d. این تنها به ۳ ضرب نیاز دارد و الگوریتم استاندارد ارزیابی چندجملهای در محاسبات است.