多项式计算器

在给定值x时评估一个多项式表达式. 支持ax3 + bx2 + cx + d形式. 使用这个免费的数学计算器即时获得结果. 无需注册.

了解多项式

多项式是一个由变量和系数组成的代数表达式,仅使用加法,减法,乘法和非负数的整数指数. n 度多项式的一般形式:P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0.我们的计算器处理立方多项式:P(x) = ax3 + bx2 + cx + d.

关键术语:一级= 具有非零系数的最高指数 (3度=立方).领先的系数=最高度项的系数.一定项=当x=0时的值 (我们的形式中的"d").根数/零数= x 的值,其中 P(x) = 0.代数的基本定理指出,每一个 n 度的多项式都有正是 n 根的计数倍数 (有些可能是复杂的).

评估P(x) 对于一个特定的x值称为功能评估对于 P (x) = x3 - 2x2 + x 在 x=3: P (x) = 27 - 18 + 3 = 12. 这个计算器使用霍纳计算效率的方法即时评估您的多项式在任何 x 值.

多项式的不同类型

多项式是根据它们的等级分类的 - - 变量的最高次数. 每种类型都有不同的属性:

一级	名称	一般形式	其他	图形形状
0	常数	P (x) =d	没有 (除非d=0)	水平线
1	线性	P (x) = cx + d	一个实根	一直线
2	四角形	P (x) = bx2 + cx + d	0,1或2个实根	抛物线 (U形)
3	立方体	P(x) = ax3 + bx2 + cx + d	1,2,或3个实根	一个 S 形曲线
4	四分之一	P(x) = ax4 + ...	0到4个实数根	W 或 M 形状
5	五分之一	P(x) = ax5 + ...	一到五个实根	长长的 S
n	一级-n	P(x) = anxn + ...	最多为n个实根	不同

二次方程式 (二度) 是最常用于分析的方程式.二次方程式x = (-b +/- √(b2-4ac)) / (2a) 清楚地给出根.进行区分b2-4ac 确定根性质:正 -> 两个不同的实根;零 -> 一个重复的实根;负 -> 两个复杂的结合根.

立方体 (3度,这个计算器使用的) 总是至少有一个实根,因为复杂的根是并联的,而3根不能都是非实数.卡达诺公式 (1545) 为立方根提供了一个分析解决方案,尽管由于其复杂性很少用手工.对于四度,法拉利的方法提供了一个解决方案.对于5度及以上,没有一般的代数公式 (阿贝尔-鲁菲尼定理,1824年).

评估多项式:逐步示例

为了在给定的 x 处估计 P ((x) = ax3 + bx2 + cx + d,取代并简化:

多项式 P (x)	x 的值	计算方式	结果
x3 - 2x2 + x	x=3 这样	27 - 18 增加3 增加0	P(3) = 12 个
x3 + 0x2 + 0x - 8	在 x = 2	8 + 0 + 0 - 8 年	P(2) = 0 (根)
2x3 - 3x2 + x - 5	x=-1 这样	- - 2 - - 3 - - 1 - - 5	P(-1) = -11
x3减去6x2+11x减去6	x=1 这样	一到六加十一到六	P(1) = 0 (根)
x3减去6x2+11x减去6	在 x = 2	8 - 24 + 22 - 6 年	P(2) = 0 (根)
x3减去6x2+11x减去6	x=3 这样	27 - 54 + 33 - 6 年	这样就没有问题了.

最后三行说明了因子定理:如果P(r) = 0,那么 (x-r) 是一个因子.由于x3 - 6x2 + 11x - 6等于x=1,2和3的零,我们知道它是 (x-1) ((x-2) ((x-3) 的因子.扩展证实: (x-1) ((x-2) ((x-3) = x3 - 6x2 + 11x - 6 .

霍纳的方法:高效的多项式评估

这种简单的方法需要计算x2,x3,然后乘以系数--总共5次乘法和3次加法.霍纳的方法将多项式重组为只需要3次乘法和3次加法, 不管其程度如何:

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = ((ax + b) x + c) x + d

在x=4时对P (x) =2x3 - 3x2 + x - 5进行评估:

开始: 2
乘以4,加上-3: 2x4 + (-3) = 5
乘以4增加1: 5x4+1=21
乘以4,加上-5: 21x4 + (-5) = 79

结果:P(4) = 79. 直接验证: 2(64) - 3(16) + 4 - 5 = 128 - 48 + 4 - 5 = 79

霍纳的方法不仅仅是一个计算快捷方式 - 它构成了合成除法 (用线性因子除多项式的方法) 的基础,并且是编译器和计算器用于多项式评估的标准算法.对于高度多项式,从O(n2) 减少到O(n) 操作是显著的.

多项式运算:加法,减法和乘法

在评估多项式之前,它有助于理解基本的多项式算法:

增加/减去:结合类似的项 (相同的程度). (3x2 + 2x + 1) + (x2 - x + 4) = 4x2 + x + 5.

乘法:第一个多项式中的每个项乘以第二个项中的每个项,然后将类似的项组合起来.经典的FOIL方法是两个二项式的特殊情况:

(2x + 3) ((x2 - x + 2) = 2x3 - 2x2 + 4x + 3x2 - 3x + 6 = 2x3 + x2 + x + 6

分部:多项式长除法将一个多项式除以另一个多项式.合成除法是用线性因子 (x - r) 进行除法的快捷方式.根据余数定理,当P (x) 被 (x - r) 除以时,余数等于P (r) - - 我们的计算器计算的相同值.

运行情况	方法	关键规则
添加	结合类似的术语	它们的度数必须一致
减去	减去第二个,加	分布减数符号
乘法	分布每个项	增加类似基数的指数
分区	长分或合成	分数的度数 = 分数P - 分数Q

科学,工程和插值中的多项式

多项式是最通用的数学工具之一,在每一个科学和工程学科都有应用.

物理与工程:动力方程在时间上是多项式.位置s(t) =s0 + v0t + 1⁄2at2是t中的二次多项式.立方和更高度的多项式模拟了更复杂的物理系统:弹子运动与空气阻力,材料中的应力-应变关系和电路响应曲线.

泰勒和麦克劳林系列:任何光滑的 (无限可微分的) 函数都可以作为无限多项式近似: sin ((x) ~ x - x3/6 + x5/120 - ... 这就是计算器和计算机如何评估超越函数的方法 - 他们使用精确到机器精确的多项式近似. sin ((x) 的立方多项式近似对于 x < 0.5 半径是有效的.

数字插入:给定n+1个数据点,存在一个唯一的等级<=n的多项式通过所有这些 (拉格朗奇插入). 这在数值分析,数据压缩和信号处理中使用. 然而,高度多项式插入可能会遭受Runge的现象 - 数据点之间的野生振荡 - 这就是为什么在实践中使用零碎立方线 (零碎的3度多项式连接顺利) 的原因.

计算机图形:贝济尔曲线 (用于字体,矢量图形和动画路径) 是多项式参数曲线.立方贝济尔曲线 (度3) 是SVG,PostScript/PDF和CSS动画中的标准.它们提供光滑,视觉上令人愉快的曲线,具有四个控制点,设计人员可以直观地操纵.

寻找多项式的根

多项式P(x) 的根 (或零) 是一个值r,其中P(r) = 0. 寻找根是数学中核心问题之一,具有分析和数值方法:

线性 (一级):总是只有一个根.
平方 (二度):使用二次方程式. 分辨数确定0,1,或2个实数根.
立方 (3度):卡达诺公式给出了确切的根,但很复杂.压缩立方替换简化了计算.总是至少有一个实根.
5级以上:没有一般公式 (阿贝尔 - 鲁菲尼定理). 使用数值方法:牛顿 - 拉夫森,二分法,布伦特法.

牛顿-拉普森方法为了从数值上找到根:从初始猜测x0开始, 代:xn+1 = xn - P(xn) / P'(xn).每次代大约会使正确的小数位数增加一倍 (二进制收 ).对于我们的立方体P(x) = ax3 + bx2 + cx + d,导数P'(x) = 3ax2 + 2bx + c.

理性根定理为具有整数系数的多项式提供了候选理性根:可能的理性根是+/- ((d的因数) / (a的因数).对于x3 - 6x2 + 11x - 6,可能的理性根是+/-{1, 2, 3, 6} - 测试每一个发现1,2,和3都是根.

人们常问的问题

一个多项式的度是多少?

度是具有非零系数的变量的最高次数.x3 + 2x - 1 有 3 度 (立方).5x2 + x + 7 有 2 度 (二次数).像 4 这样的非零常数有 0 度.零多项式 (所有系数为零) 没有度 (或根据惯例为 -∞度).

一个立方多项式有多少根?

一个立方多项式 (3度) 确切地有3根数乘数 (代数基本定理).这些可能是:3个不同的实根;1个实根+2个复杂的并联根;或1个重复的实根+1个简单的实根.一个立方始终至少有1个实根,因为复杂的根以并联对来.

霍纳的方法是什么?

霍纳的方法通过嵌套有效地评估多项式: ax3+bx2+cx+d = ((ax+b) x+c) x+d. 这只需要3次乘法和3次加法,而不是6次乘法. 这是计算中多项式评估的标准算法,相当于合成除法.

剩余定理是什么?

余数定理指出,当多项式P(x) 被除以 (x-r) 时,余数等于P(r.这意味着评估P(r) - - 正是我们的计算器所做的 - - 相当于找到多项式除以 (x-r) 的余数.如果P(r) = 0,那么 (x-r) 是一个因子 (因子定理).

如何分解一个立方多项式?

使用理性根定理,牛顿-拉普森定理或检查,找到一个根r.然后用合成除法将P(x) 乘以 (x-r) 得到二次素.用二次公式解决二次素,找到剩余的两个根.因子形式是a(x-r1) ((x-r2) ((x-r3),其中r1,r2,r3是三个根.

什么使得一个多项式"压抑"?

压缩多项式是指第二高度项的系数为零的多项式.对于一个立方体 ax3 + bx2 + cx + d,替换 x = t - b/(3a) 取消了 x2 项,创建了一个"压缩立方体" t3 + pt + q.卡达诺公式适用于压缩立方体.这种替换是分析解决立方方方程的第一步.

你能用复数计算多项式吗?

是的.多项式评价P(x) 使用相同公式对复杂的x值起作用.这很重要,因为多项式的根通常是复杂的.对于二次式x2 + 1 = 0,根是x = i和x = -i (其中i = √(-1),给出P(i) = i2 + 1 = -1 + 1 = 0.复杂的评价对于信号处理 (z变换) 和控制理论是基本的.

一个多项式是什么?

一个单项多项式的前导系数是1 (最高度项的系数是1).例如,x3 - 5x + 6是单项式 (a=1).任何多项式可以通过将所有系数除以前导系数来使其成为单项式.单项多项式在代数中很有用,因为它们的因数形式更清洁: (x-r1) (((x-r2) (((x-r3).

为什么五度多项式不能用公式解决?

阿贝尔-鲁菲尼定理 (1824年,由阿贝尔和部分由鲁菲尼证明) 证明,对于5度或更高的多项式方程,没有使用算术运算和基数 (平方根,立方根等) 的一般公式.加洛伊理论解释了为什么:一般五项式的对称组是不可解决的.一些特定的五项式可以解决 (如x5 - 1 = 0),但没有公式适用于所有五项式.

多项式回归是什么?

多项式回归通过将平方余数 (最小平方) 的总和最小化,将指定度的多项式与一组数据点相匹配. 2 度适用于抛物线 (对于 U 形趋势有用), 3 度适用于立方曲线 (对于 S 形或不对称趋势). 注意:过高的度导致过拟合 - 多项式通过所有点,但在它们之间疯狂振荡 (朗奇现象).

立方多项式的实际应用

立方多项式 (3度,这个计算器评估的形式) 在科学和工程中以不总是显而易见的方式出现. 识别何时一个立方模型是合适的 - 并且知道如何快速评估它 - 是许多技术领域的实用技能.

体积和几何形状:一个球体的体积是 V = (4/3) πr3 -- 一个立方多项式在 r. 一个边长为 s 的立方体的体积简单地是 s3. 许多工程体积 (坦克,容器,模具) 通过尺寸和容量之间的立方多项式关系来描述. 如果一个圆柱状的坦克在底部具有可变的填充形状,则体积作为高度的函数可能遵循从横截面积集成得出的立方多项式.

物理和动力学:当空气阻力与速度平方成比例时,在某些模型中,弹子的位置在时间上成为三度多项式.在分布式负载下,非均束的偏移是由四度多项式ODE描述的,但其特定情况下的解决方案减少到立方表达式.在某些非线性弹性材料中的应力和应变之间的关系是用立方多项式建模的.

经济和成本分析:微观经济学中的总成本函数通常是立方函数:C(q) = aq3 + bq2 + cq + d,其中q是生产的数量.这种立方形状反映了规模经济 (起初边际成本下降),然后是收益下降 (在高产量时边际成本增加).边际成本函数C'q(q) = 3aq2 + 2bq + c是二次函数,这就是为什么经济学课程花费大量时间研究二次公式及其与利最大化的关系.

计算机图形和动画:立方斜线和贝济尔曲线是分片立方多项式.字体文件 (TrueType,OpenType),SVG插图,CSS动画路径或3D模型中的每一个光滑曲线都由端到端连接的立方多项式段组成.立方贝济尔曲线的四个控制点定义了一个参数立方多项式P ((t) = (1-t) 3P0 + 3 ((1-t) 2tP1 + 3 ((1-t) 2P2 + t3P3 对于t ∈ [0,1].对t的许多值进行评估,将在屏幕上呈现的光滑曲线跟踪.

信号处理和波器设计:音频处理,图像处理和通信中的数字过器通常使用多项式近似.一个立方位插入过器在离散样本之间进行平滑:给定四个样本值,一个立方位多项式适合四点并在中间位置进行评估.这就是数字音频播放器如何从离散样本数据中产生平滑的播放,以及图像在调整大小时如何插入.

立方多项式的形式ax3 + bx2 + cx + d是简单性和表达性之间的数学甜点. 线性和二次的多项式往往太简单,无法捕捉现实世界的复杂性. 四次和更高的多项式往往不必要地复杂,容易过度匹配. 立方多项式,具有一个拐点和 S 形曲线,捕捉了大量自然现象 - 这解释了它在每个定量领域的无处不在.