Υπολογιστής μετατροπής - P (n,r) και συνδυασμός C (n,r)
Προσπάθησε αυτή την δωρεάν ηλεκτρονική αριθμομηχανή μαθηματικών για άμεσα, ακριβή αποτελέσματα.
Μετατροπές ή Συνδυασμοί: Όταν Η Τάξη Έχει Σημασία
A Αλλαγήείναι μια διάταξη στοιχείων όπουΘέματα τάξηςΈνα .συνδυασμόςΑυτή η μοναδική διάκριση καθορίζει ποια φόρμουλα θα χρησιμοποιηθεί και ποια προβλήματα θα λύσει κάθε φόρμουλα.
Κλασικό παράδειγμα: έχετε 5 άτομα και πρέπει να επιλέξετε 3. Εάν η σειρά έχει σημασία (π.χ. 1η, 2η, 3η θέση σε έναν αγώνα), χρησιμοποιήστε P ((5,3) = 60. Εάν η σειρά δεν έχει σημασία (π.χ. επιλογή 3 μελών της επιτροπής), χρησιμοποιήστε C ((5,3) = 10. Η ίδια επιλογή της Αλίκης, του Μπομπ, της Κάρολ μετράει ως 1 συνδυασμός αλλά 6 διαφορετικές παραλλαγές (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).
| n (στοιχεία) | r (επιλεγμένο) | P (n,r) διαταγή | C ((n,r) χωρίς σειρά |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 12 | 6 |
| 5 | 2 | 20 | 10 |
| 5 | 3 | 60 | 10 |
| 10 | 3 | 720 χλμ. | Αριθ. |
| 10 | 5 | 30,240 χιλιάδες | 252 η |
| 52 | 5 | 311.875.200 | 2.598.960 |
Η αναλογία P ((n,r) / C ((n,r) = r! - ο αριθμός των τρόπων για να οργανώσετε r αντικείμενα. Για r = 3, κάθε συνδυασμός αντιστοιχεί σε 3! = 6 παραλλαγές. Για r = 5, κάθε συνδυασμός αντιστοιχεί σε 5! = 120 παραλλαγές, εξηγώντας γιατί ο αριθμός των χεριών πόκερ με 5 κάρτες είναι 311.875.200 ÷ 120 = 2.598.960.
Οι τύποι: P (n,r) και C (n,r)
Και οι δύο τύποι βασίζονται στοπαραγοντική συνάρτηση: n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1. Κατά σύμβαση, 0! = 1.
Φόρμουλα μετατροπής:P (n,r) = n! / (n-r)!
Ο παρονομαστής (n-r)! ακυρώνει τα στοιχεία που δεν έχουν επιλεγεί. Για P{5,3): 5! / (5-3)! = 120 / 2 = 60.
Σύνθετος τύπος:C ((n,r) = n! / (r! x (n-r)!)
Το πρόσθετο r! στον παρονομαστή αφαιρεί τη σειρά των επιλεγμένων στοιχείων.
Εναλλακτικός συνδυασμός σημειώσεων: C ((n,r) γράφεται επίσης ως nCr, C ((n,r), ή ο δυωνυμικός συντελεστής σημειώσεων (n επιλέγει r) χρησιμοποιώντας παρενθέσεις.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | Αριθ. |
| 6 | 720 χλμ. |
| 7 | 5.040 χιλιάδες |
| 8 | 40.320 |
| 10 | 3.628.800 |
| 12 | 479.001.600 |
Πραγματικά Παραδείγματα Μετατροπών
Οι μετατροπές εφαρμόζονται κάθε φορά που η διάταξη ή η σειρά επιλογής έχει σημασία:
- Κώδικες PIN και κωδικοί πρόσβασης:Ένα 4-ψήφιο PIN από 10 ψηφία (0 - 9) χωρίς επανάληψη έχει P(10,4) = 5.040 πιθανούς κώδικες. Με την επανάληψη επιτρέπεται (τυποποιημένα PIN), είναι 104 = 10.000 (ένα διαφορετικό είδος καταμέτρησης - διαταγμένες επιλογές με αντικατάσταση).
- Τερματισμός αγώνα:Σε έναν αγώνα με 8 δρομείς, ο αριθμός των τρόπων για την ανάθεση της 1ης, 2ης και 3ης θέσης είναι P(8,3) = 8x7x6 = 336.
- Διατάξεις καθισμάτων:Η τοποθέτηση 6 ατόμων σε ένα στρογγυλό τραπέζι έχει (6-1)! = 5! = 120 κυκλικές παραλλαγές (ένα κάθισμα είναι σταθερό για να αφαιρεθούν ισοδύναμα περιστροφής).
- Πλάκες κυκλοφορίας:Πλάκες τύπου ΗΠΑ με 3 γράμματα που ακολουθούνται από 4 ψηφία: 263 x 104 = 175.760.000 πιθανές πλάκες (με επανάληψη).
- Διασκευές βιβλίων:Διατάσσοντας 7 διαφορετικά βιβλία σε ένα ράφι: 7! = 5.040 τρόποι. Επιλέγοντας 3 από 7 βιβλία με τη σειρά: P(7,3) = 210 τρόποι.
Πραγματικά Παραδείγματα Συνδυασμών
Οι συνδυασμοί εφαρμόζονται όταν η επιλογή είναι αυτό που μετράει, όχι η σειρά:
- Λοταρία:Το Powerball απαιτεί την επιλογή 5 αριθμών από 1 - 69: C ((69,5) = 11,238,513 τρόποι. Στη συνέχεια η επιλογή 1 Powerball από 1 - 26 προσθέτει x 26 = 292,201,338 συνολικούς συνδυασμούς - τις πιθανότητές σας να κερδίσετε το τζάκποτ.
- Χέρια με κάρτες:Χέρι πόκερ με 5 κάρτες από 52 κάρτες: C(52,5) = 2,598,960 ξεχωριστά χέρια.
- Επιλογή επιτροπής:Επιλογή μιας επιτροπής 5 ατόμων από 20 υποψηφίους: C(20,5) = 15.504 τρόποι.
- Πρωτεΐνες για πίτσα:Επιλέγοντας τυχόν 3 επιθέσεις από 12 επιλογές: C ((12,3) = 220 διαφορετικοί συνδυασμοί πίτσας.
- Επενδυτικό χαρτοφυλάκιοΕπιλογή 4 μετοχών από έναν κατάλογο 15 μετοχών: C(15,4) = 1.365 πιθανά χαρτοφυλάκια.
Τρίγωνο του Πασκάλ και Διωνυμικοί Συντελεστές
Οι αξίες συνδυασμού C ((n,r) - που ονομάζονται επίσης δυωνυμικοί συντελεστές - σχηματίζουν το Τρίγωνο του Πασκάλ, όπου κάθε καταχώρηση είναι το άθροισμα των δύο καταχωρήσεων πάνω από αυτό:
| n | C ((n,0) | C ((n,1) | C ((n,2) | C ((n,3) | C ((n,4) | C ((n,5) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Το τρίγωνο του Πασκάλ έχει αξιοσημείωτες ιδιότητες: κάθε σειρά αθροίζεται σε 2n (ο συνολικός αριθμός υποσυγκροτημάτων ενός n-στοιχείου συνόλου). Το τρίγωνο κωδικοποιεί τους συντελεστές της διωνυμικής επέκτασης: (α+β) 3 = 1α3 + 3α2β + 3α2β + 1β3, χρησιμοποιώντας την τρίτη σειρά του τριγώνου. Ο συνδυασμός C ((n,r) μετρά τον αριθμό των δρόμων μέσα από ένα πλέγμα, τον αριθμό των υποσυγκροτημάτων μεγέθους r από ένα n-στοιχείο συνόλου, και τους συντελεστές στο διωνυμικό θεώρημα.
Η ιδιότητα συμμετρίας C ((n,r) = C ((n, n-r) είναι ορατή στο Τρίγωνο του Πασκάλ - κάθε σειρά διαβάζει το ίδιο προς τα εμπρός και προς τα πίσω. Αυτό έχει νόημα: η επιλογή των r στοιχείων που θα συμπεριληφθούν ισοδυναμεί με την επιλογή των (n-r) στοιχείων που θα αποκλειστούν.
Μετατροπές με επανάληψη και πολλαπλές σειρές
Οι τυποποιημένοι τύποι P (n,r) και C (n,r) υποθέτουν ότι τα στοιχεία είναιξεχωριστόκαιδεν αντικαθίσταταιΌταν οι κανόνες αλλάζουν, εφαρμόζονται διαφορετικοί τύποι:
| Πρόβλημα μετρήματος | Σύνταξη | Παράδειγμα |
|---|---|---|
| Αλλαγή, όχι επανάληψη | P (n,r) = n!/ (n-r)! | Αγώνας τριών αλόγων από τις 8: P(8,3)=336 |
| Αλλαγή με επανάληψη | nʳ | 3-ψήφιος κωδικός από 10 ψηφία: 103=1.000 |
| Συνδυασμός, χωρίς επανάληψη | C ((n,r) = n!/(r!(n-r)!) | 5 κάρτες από το 52: C(52,5) = 2.598.960 |
| Συνδυασμός με επανάληψη | C ((n+r-1, r) | 3 κουταλιές από 5 γεύσεις: |
| Αλλαγή πολλαπλών συνόλων | Σοβαρά μιλάς; | Διατάξεις MISSISSIPPI: 11!/(4!4!2!1!)=34,650 |
Το παράδειγμα της λέξης "MISSISSIPPI" απεικονίζει πολλαπλές παραλλαγές: με 11 γράμματα συνολικά (4 S, 4 I, 2 P, 1 M), ο αριθμός των διακριτών ρυθμίσεων είναι 11! διαιρούμενος από τους παραγοντικούς κάθε επαναλαμβανόμενου αριθμού γραμμάτων. Χωρίς να υπολογίζετε τις επαναλήψεις, θα υπερμετρούσατε κάθε διάταξη 4!x4!x2! = 1.152 φορές.
Μετατροπές και Συνδυασμοί στην Πιθανότητα
Οι μετατροπές και οι συνδυασμοί αποτελούν το θεμέλιο της κλασικής πιθανότητας: P{\displaystyle P{\mathrm {P} }) = (ευνοϊκά αποτελέσματα) ÷ (σύνολο εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων).
Πιθανότητα βασιλικής χρώσης στο πόκερ:Υπάρχουν 4 βασιλικές χρώσεις (μία ανά στολή) από το C ((52,5) = 2.598.960 συνολικά χέρια. Πιθανότητα = 4/2.598.960 ~ 0.000154% - περίπου 1 στα 649.740.
Πρόβλημα γενεθλίων:Σε μια ομάδα n ατόμων, η πιθανότητα τουλάχιστον δύο ατόμων να μοιράζονται τα ίδια γενέθλια χρησιμοποιεί παραλλαγές 365 ημερών: P ((δεν μοιράζονται γενέθλια) = 365 x 364 x 363 x ... x (365-n+1) / 365n. Για n=23 άτομα, αυτή η πιθανότητα πέφτει κάτω από το 50%, που σημαίνει ότι υπάρχει καλύτερη πιθανότητα από την ισοδυναμία να μοιράζονται γενέθλια σε ένα δωμάτιο 23 ατόμων - ένα αποτέλεσμα που οι περισσότεροι άνθρωποι βρίσκουν εκπληκτικό.
Πιθανότητα αναγραμματισμού:Σε μια τυχαία διάταξη των γραμμάτων στο "APPLE", η πιθανότητα να βρεθεί συγκεκριμένα το "APPLE" είναι 1/60 (αφού 5!/2! = 60 ξεχωριστές ρυθμίσεις, διαιρώντας με 2! για τα δύο P). Η πιθανότητα να βρεθεί οποιαδήποτε διάταξη που αρχίζει με το Α είναι 4!/2! / 5!/2! = 12/60 = 1/5, όπως αναμένεται από τη συμμετρία.
Συχνές ερωτήσεις
Πότε χρησιμοποιώ τη διαμόρφωση έναντι του συνδυασμού;
Χρησιμοποιήστε την παραλλαγή όταν η σειρά έχει σημασία: κωδικούς πρόσβασης, τερματισμούς αγώνων, διευθέτηση των καθισμάτων, προγραμματισμό. Χρησιμοποιήστε συνδυασμό όταν η σειρά δεν έχει σημασία: αριθμοί λοταρίας, επιλογή επιτροπής, χέρια καρτών, επικάλυψη πίτσας. Ρωτήστε τον εαυτό σας: "Η αναδιάταξη της επιλογής θα έδινε διαφορετικό αποτέλεσμα;" Αν ναι, χρησιμοποιήστε την παραλλαγή. Αν όχι, χρησιμοποιήστε συνδυασμό.
Τι είναι το 0;
Με τη μαθηματική σύμβαση, 0! = 1. Αυτό κάνει τους τύπους όπως C ((n,0) = 1 συνεπή - υπάρχει ακριβώς ένας τρόπος για να επιλέξετε τίποτα από ένα σύνολο (η κενή επιλογή).
Τι είναι P{\displaystyle P{\text{10,3}};
P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720. Αυτός είναι ο αριθμός των διαταγμένων τρόπων για να επιλέξετε 3 αντικείμενα από 10 διακριτά αντικείμενα - όπως η απονομή χρυσών, ασημένιων και χάλκινων μετάλλων σε έναν διαγωνισμό 10 ατόμων.
Τι είναι το C ((10,3);
C(10,3) = 10! / (3! x 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 720 / 6 = 120. Αυτός είναι ο αριθμός των τρόπων για να επιλέξετε τυχόν 3 στοιχεία από 10 ξεχωριστά στοιχεία - όπως η επιλογή μιας υποεπιτροπής 3 ατόμων από μια επιτροπή 10 ατόμων.
Τι σημαίνει όταν το P (n,r) είναι πολύ μεγαλύτερο από το C (n,r);
Για το r=5, οι παραλλαγές είναι 120 φορές περισσότερες από τους συνδυασμούς. Αυτό αντικατοπτρίζει ότι η σειρά πολλαπλασιάζει δραματικά τον αριθμό των διακριτών ρυθμίσεων όταν το r είναι μεγάλο.
Πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 5 άτομα στη σειρά;
5 άτομα στη σειρά (όλοι καθισμένοι, η σειρά έχει σημασία) = P(5,5) = 5! = 120 τρόποι. Η πρώτη θέση μπορεί να γεμίσει με 5 τρόπους, η δεύτερη με 4 τρόπους, τότε 3, 2, 1 - δίνοντας 5x4x3x2x1 = 120. Για μια κυκλική διάταξη, θα ήταν (5-1)! = 24 τρόποι.
Ποιες είναι οι πιθανότητες να κερδίσεις το λαχείο;
Οι πιθανότητες της λοταρίας εξαρτώνται από το παιχνίδι. Για μια επιλογή 6 από 49 αριθμούς: C ((49,6) = 13.983.816 - περίπου 1 στα 14 εκατομμύρια. Για το Powerball (5 από 69 + 1 από 26): C ((69,5) x 26 = 292.201.338 - περίπου 1 στα 292 εκατομμύρια. Αυτοί οι συνδυασμοί εξηγούν γιατί οι νίκες τζακπότ είναι εξαιρετικά σπάνιες.
Μπορείς να υπολογίσεις παραλλαγές για μεγάλους αριθμούς;
Οι παραγοντικοί αριθμοί αυξάνονται εξαιρετικά γρήγορα: 20! ~ 2.4 x 10^18, 100! έχει 158 ψηφία. Για μεγάλα n και r, ο άμεσος παραγοντικός υπολογισμός ξεχειλίζει τους τυποποιημένους τύπους ακέραιων αριθμών.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ παραλλαγής και ρύθμισης;
Σημαίνουν το ίδιο πράγμα στην συνδυαστική - και οι δύο αναφέρονται σε διαταγμένες επιλογές από ένα σύνολο.
Πώς σχετίζεται το Τρίγωνο του Πασκάλ με τους συνδυασμούς;
Το Τρίγωνο του Πασκάλ κατασκευάζεται τοποθετώντας τις τιμές C(n,r) σε μια τριγωνική συστοιχία όπου η σειρά n περιέχει C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n. Κάθε τιμή ισούται με το άθροισμα των δύο τιμών πάνω από αυτό: C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r). Αυτή η ταυτότητα (Ο κανόνας του Πασκάλ) δίνει στο τρίγωνο τη δομή του και συνδέει τους συνδυασμούς με τους συντελεστές του δυωνίου θεωρήματος.
Προβλήματα μετατροπής και συνδυασμού βήμα προς βήμα
Η κυριαρχία των παραλλαγών και των συνδυασμών απαιτεί τη συστηματική επεξεργασία των προβλημάτων. Η βασική απόφαση είναι πάντα: έχει σημασία η σειρά; Μόλις αυτό καθοριστεί, εφαρμόστε τον κατάλληλο τύπο και απλοποιήστε.
Πρόβλημα 1: Τα μετάλλια του αγώνα.Σε έναν αγώνα με 12 δρομείς, με πόσους τρόπους μπορούν να απονεμηθούν χρυσά, ασημένια και χάλκινα μετάλλια;
Η σειρά έχει σημασία (χρυσός ≠ ασήμι ≠ χάλκινο), γι' αυτό χρησιμοποιήστε P(12,3).
P(12,3) = 12! / (12-3)! = 12 x 11 x 10 = 1.320 τρόποι.
Πρόβλημα 2: Επιλογή επιτροπής.Από μια τάξη 20 μαθητών, ένας δάσκαλος επιλέγει 4 για μια εργασία.
Η σειρά δεν έχει σημασία (οποιοσδήποτε από τους 4 μαθητές σχηματίζει την ίδια ομάδα), γι' αυτό χρησιμοποιήστε C(20,4).
C(20,4) = 20! / (4! x 16!) = (20 x 19 x 18 x 17) / (4 x 3 x 2 x 1) = 116.280 / 24 = 4.845 ομάδες.
Πρόβλημα 3: Ασφάλεια κωδικού πρόσβασης.Ένας κωδικός απαιτεί 2 κεφαλαία γράμματα ακολουθούμενα από 4 ψηφία (δεν επιτρέπεται η επανάληψη).
Για τα γράμματα: η σειρά είναι σημαντική, P ((26,2) = 26 x 25 = 650.
Για ψηφία: η σειρά έχει σημασία, P ((10,4) = 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040.
Συνολικά (με την αρχή του πολλαπλασιασμού): 650 x 5.040 = 3.276.000 κωδικοί πρόσβασης.
Πρόβλημα 4: Ανταλλαγή καρτών.Από μια τυπική τράπουλα με 52 κάρτες, πόσες διαφορετικές παρτίδες με 5 κάρτες περιέχουν ακριβώς 3 άσους;
Διάλεξε 3 άσσους από τα 4:
Επιλέξτε 2 μη-άσσους από τα 48: C(48,2) = 48 x 47 / 2 = 1.128.
Συνολικά: 4 x 1.128 = 4.512 χέρια με ακριβώς 3 άσσους.
Πρόβλημα 5: Κυκλική τοποθέτηση καθισμάτων.Πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 6 άτομα σε ένα στρογγυλό τραπέζι;
Σε κυκλικές διευθετήσεις, η θέση ενός ατόμου είναι σταθερή (για να εξαλειφθούν οι ισοδύναμοι περιστροφής), αφήνοντας 5 άτομα να οργανώσουν: (6-1)! = 5! = 120 τρόποι.
Αν το τραπέζι έχει επίσης ξεχωριστά καθίσματα (π.χ., ένα έχει ένα βραχίονα), γίνεται 6! = 720 (γραμμική παραλλαγή).
Η αρχή του πολλαπλασιασμού:Όλα τα προβλήματα μετρήματος πολλαπλών βημάτων χρησιμοποιούν τη θεμελιώδη αρχή του πολλαπλασιασμού: αν το βήμα Α μπορεί να γίνει με m τρόπους και το βήμα Β μπορεί να γίνει με n τρόπους (ανεξάρτητα), τότε και τα δύο A και B μαζί μπορούν να γίνουν με m x n τρόπους. Αυτή η αρχή αποτελεί τη βάση όλων των τύπων παραλλαγών και συνδυασμών - P ((n,r) είναι απλά το προϊόν n x (n-1) x ... x (n-r+1), και C ((n,r) διαιρείται με r! για να αφαιρεθεί η υπερμετρία της τάξης.
Κατά την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος καταμέτρησης: (1) Προσδιορίστε αν η σειρά έχει σημασία. (2) Ελέγξτε αν επιτρέπεται η επανάληψη. (3) Προσδιορίστε αν τα στοιχεία είναι διακριτά. (4) Χωρίστε πολύπλοκα προβλήματα σε διαδοχικά βήματα χρησιμοποιώντας την αρχή του πολλαπλασιασμού. (5) Εφαρμόστε P (n,r) ή C (n,r) ανάλογα με την περίπτωση, ή χρησιμοποιήστε εξειδικευμένους τύπους για κυκλικές διευθετήσεις, πολλαπλές ομάδες ή επαναλαμβανόμενα στοιχεία.
Στρατηγικές εξακρίβωσης:Για μικρές τιμές, μπορείτε να απαριθμήσετε τις δυνατότητες απευθείας για να επαληθεύσετε έναν τύπο που δίνει το σωστό αριθμό. Η δημιουργία αυτής της διαίσθησης για τον έλεγχο της εργασίας σας αποτρέπει τα λάθη σε καταστάσεις υψηλού κινδύνου όπως μετρήσεις μηχανικού σχεδιασμού, υπολογισμούς παραμέτρων ασφαλείας ή στατιστική ανάλυση.
Τέλος, όταν οι αριθμοί γίνονται πολύ μεγάλοι, χρησιμοποιήστε λογάριθμους για την εκτίμηση. log10(P(52,5)) = log10(52!) - log10(47!) = log10(52x51x50x49x48) ~ 8.494, έτσι P(52,5) ~ 10^8.494 ~ 311.875.200 - επιβεβαιώθηκε. Για τους υπολογισμούς πιθανότητας, η εργασία σε λογάριθμους πιθανοτήτων αποτρέπει την αριθμητική υποκείμενη ροή όταν οι πιθανότητες είναι αστρονομικά μικρές (όπως σε αναμειγμένες διευθετήσεις καταστρώματος: 52! ~ 8.07 x 10^67 πιθανές παραγγελίες). Η ικανότητα να συλλογιστούμε για αυτούς τους τεράστιους αριθμούς χρησιμοποιώντας λογάριθμους και συνδυαστική διαίσθηση είναι ένα σημάδι μαθηματικής ωριμότητας και στατιστικής σκέψης.
Οι μετατροπές και οι συνδυασμοί διδάσκονται σε μαθήματα προ-υπολογισμού και πιθανολογίας επειδή είναι η πύλη για την κατανόηση της πιθανολογίας, της στατιστικής και των διακριτών μαθηματικών. Πέρα από την τάξη, είναι απαραίτητοι στην επιστήμη των υπολογιστών (ανάλυση αλγορίθμων, σχεδιασμός δομής δεδομένων), γενετική (μέτρηση συνδυασμών γονότυπων), χημεία (μοριακά ισόμερα) και σχεδιασμός παιχνιδιών (ανάλυση ισορροπίας και δικαιοσύνης). Κάθε υπολογισμός πιθανότητας λοταρίας, κάθε ανάλυση κωδικού πρόσβασης, κάθε αθλητικό σύστημα κατάταξης και κάθε πειραματικός σχεδιασμός για κλινικές δοκιμές βασίζεται σε αυτή τη θεμελιώδη θεωρία καταμέτρησης. Η επένδυση του χρόνου για να κατανοήσουμε πραγματικά τις παραλλαγές και τους συνδυασμούς -- όχι μόνο να απομνημονεύσουμε τους τύπους, αλλά να αναπτύξουμε διαίσθηση για το πότε να εφαρμόσουμε τον καθένα -- αποδίδει μερίσματα σε κάθε ποσοτική επιστήμη. Χρησιμοποιήστε αυτή την αριθμομηχανή για να ελέγξετε τη δουλειά σας, να δημιουργήσετε διαίσθηση με διαφορετικές τιμές του n και του r, και να επαληθεύσετε το σκεπτικό σας για τα προβλήματα που συναντάτε.