Kalkulator Permutasi - P ((n,r) dan Gabungan C ((n,r)
Hitung permutasi P ((n,r) dan kombinasi C ((n,r) dengan penyelesaian langkah demi langkah. Cuba kalkulator matematik dalam talian percuma ini untuk hasil yang tepat dan tepat.
Permutasi vs Gabungan: Apabila Urutan Penting
A permutasiadalah susunan item di manaurusan ketenteramanA. A.gabunganPerbezaan tunggal ini menentukan formula yang akan digunakan -- dan masalah yang akan diselesaikan oleh setiap formula.
Contoh klasik: anda mempunyai 5 orang dan perlu memilih 3. Jika urutan penting (contohnya, tempat pertama, kedua, ketiga dalam perlumbaan), gunakan P ((5,3) = 60. Jika urutan tidak penting (contohnya, memilih 3 ahli jawatankuasa), gunakan C ((5,3) = 10. Pilihan yang sama dari Alice, Bob, Carol dikira sebagai 1 kombinasi tetapi 6 permutasi yang berbeza (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).
| n (bahagian) | r (dipilih) | P ((n,r) diperintahkan | C ((n,r) tidak teratur |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 12 | 6 |
| 5 | 2 | 20 | 10 |
| 5 | 3 | 60 | 10 |
| 10 | 3 | 720 | 120 |
| 10 | 5 | 30,240 | 252 daripada |
| 52 | 5 | 311,875,200 | 2,598,960 |
Nisbah P ((n,r) / C ((n,r) = r! - bilangan cara untuk mengatur r item. Untuk r = 3, setiap kombinasi sepadan dengan 3! = 6 permutasi. Untuk r = 5, setiap kombinasi sepadan dengan 5! = 120 permutasi, menjelaskan mengapa jumlah tangan poker 5 kad adalah 311,875,200 ÷ 120 = 2,598,960.
Rumus: P ((n,r) dan C ((n,r)
Kedua-dua formula adalah berdasarkanfungsi faktoril: n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1. Oleh konvensyen, 0! = 1.
Formula permutasi:P ((n,r) = n! / (n-r)!
Nombor (n-r)! membatalkan item yang tidak dipilih. Untuk P ((5,3): 5! / (5-3)! = 120 / 2 = 60.
Formula gabungan:C ((n,r) = n! / (r! x (n-r)!)
R! tambahan dalam penyebut menghilangkan susunan item yang dipilih. Untuk C ((5,3): 5! / (3! x 2!) = 120 / (6 x 2) = 10.
Notasi kombinasi alternatif: C ((n,r) juga ditulis sebagai nCr, C ((n,r), atau notasi pekali binomial (n pilih r) menggunakan tanda kurung.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5,040 |
| 8 | 40,320 |
| 10 | 3,628,800 |
| 12 | 479,001,600 |
Contoh Permutasi Dunia Nyata
Permutasi digunakan apabila susunan atau urutan pemilihan penting:
- Kod PIN dan kata laluan:PIN 4 digit dari 10 digit (0 - 9) tanpa pengulangan mempunyai P ((10,4) = 5,040 kod yang mungkin. Dengan pengulangan yang dibenarkan (PIN standard), ia adalah 104 = 10,000 (jenis pengiraan yang berbeza - pemilihan yang diperintahkan dengan penggantian).
- Penamat perlumbaan:Dalam perlumbaan dengan 8 pelari, jumlah cara untuk menetapkan tempat pertama, kedua, dan ketiga adalah P ((8,3) = 8x7x6 = 336.
- Susunan tempat duduk:Menyusun 6 orang di meja bulat mempunyai (6-1)! = 5! = 120 permutasi bulatan (satu kerusi tetap untuk menghilangkan setara putaran).
- Plat nombor:Plat gaya AS dengan 3 huruf diikuti dengan 4 digit: 263 x 104 = 175,760,000 plat yang mungkin (dengan pengulangan).
- Penyusunan buku:Mengatur 7 buku yang berbeza di rak: 7! = 5,040 cara. Memilih 3 dari 7 buku mengikut urutan: P ((7,3) = 210 cara.
Contoh Kombinasi Dunia Nyata
Gabungan berlaku apabila pemilihan adalah apa yang penting, bukan urutan:
- Loteri:Powerball memerlukan memilih 5 nombor dari 1 - 69: C ((69,5) = 11,238,513 cara. Kemudian memilih 1 Powerball dari 1 - 26 menambah x 26 = 292,201,338 kombinasi keseluruhan - peluang anda untuk memenangi jackpot.
- Tangan kad:Tangan poker 5 kad dari 52 kad: C ((52,5) = 2,598,960 tangan yang berbeza. Hitung tangan khusus: 4 ace = C ((4,4) x C ((48,1) = 48 tangan.
- Pilihan jawatankuasa:Memilih jawatankuasa 5 orang daripada 20 calon: C ((20,5) = 15,504 cara.
- Topping pizza:Memilih mana-mana 3 toppings dari 12 pilihan: C ((12,3) = 220 kombinasi pizza yang berbeza.
- Portfolio pelaburan:Memilih 4 stok dari senarai 15: C ((15,4) = 1,365 portfolio yang mungkin.
Segitiga Pascal dan Pekali Binomial
Nilai gabungan C ((n,r) - juga dipanggil pekali binomial - membentuk Segitiga Pascal, di mana setiap entri adalah jumlah dua entri di atasnya:
| n | C ((n,0) | C ((n,1) | C ((n,2) | C ((n,3) | C ((n,4) | C ((n,5) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Segitiga Pascal mempunyai sifat-sifat yang luar biasa: setiap baris berjumlah 2n (jumlah keseluruhan subset set n-elemen). Segitiga mengkodkan pekali pengembangan binomial: (a+b) 3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3, menggunakan baris ketiga segitiga. Kombinasi C ((n,r) mengira bilangan laluan melalui grid, bilangan subset saiz r dari set n-elemen, dan pekali dalam teorema binomial.
Sifat simetri C ((n,r) = C ((n, n-r) kelihatan dalam Segitiga Pascal - setiap baris membaca sama ke hadapan dan ke belakang. Ini masuk akal: memilih item r untuk dimasukkan sama dengan memilih item (n-r) untuk dikecualikan.
Permutasi dengan Pengulangan dan Multisets
Formula standard P ((n,r) dan C ((n,r) menganggap item adalahberbezadantidak digantikanApabila peraturan berubah, formula yang berbeza digunakan:
| Masalah mengira | Formula | Contoh |
|---|---|---|
| Permutasi, tiada pengulangan | P (n,r) = n!/ (n-r)! | Perlumbaan 3 kuda dari 8: P ((8,3) = 336 |
| Permutasi dengan pengulangan | nʳ | Kod 3 digit dari 10 digit: 103=1,000 |
| Gabungan, tiada pengulangan | C ((n,r) = n!/(r!(n-r)!) | 5 kad daripada 52: C ((52,5) = 2,598,960 |
| Gabungan dengan pengulangan | C ((n+r-1, r) | 3 sudu dari 5 rasa: C ((7,3) = 35 |
| Permutasi multiset | n!/(n1!n2!...nk!) | Pengaturan MISSISSIPPI: 11!/(4!4!2!1!) = 34,650 |
Contoh perkataan "MISSISSIPPI" menggambarkan permutasi multiset: dengan jumlah 11 huruf (4 S, 4 I, 2 P, 1 M), jumlah susunan yang berbeza adalah 11! dibahagikan dengan faktor setiap bilangan huruf berulang. Tanpa mengira pengulangan, anda akan menghitung setiap susunan 4!x4!x2! = 1,152 kali.
Permutasi dan Gabungan dalam Kemungkinan
Permutasi dan kombinasi adalah asas kebarangkalian klasik: P ((kejadian) = (hasil yang menguntungkan) ÷ (jumlah hasil yang sama berkemungkinan).
Kemungkinan royal flush dalam poker:Terdapat 4 royal flush (satu untuk setiap suit) daripada C ((52,5) = 2,598,960 tangan keseluruhan. Kemungkinan = 4/2,598,960 ~ 0.000154% - kira-kira 1 dalam 649,740.
Masalah hari lahir:Dalam sekumpulan n orang, kebarangkalian sekurang-kurangnya dua berkongsi hari lahir menggunakan permutasi 365 hari: P ((tidak berkongsi hari lahir) = 365 x 364 x 363 x ... x (365-n + 1) / 365n. Untuk n = 23 orang, kebarangkalian ini jatuh di bawah 50%, yang bermaksud ada peluang yang lebih baik daripada genap untuk berkongsi hari lahir di dalam bilik 23 orang - hasil yang kebanyakan orang mendapati mengejutkan.
Kemungkinan anagram:Dalam susunan rawak huruf dalam "APPLE", kebarangkalian untuk mendapatkan "APPLE" secara khusus adalah 1/60 (kerana 5!/2! = 60 susunan yang berbeza, dibahagikan dengan 2! untuk dua P). Kebarangkalian untuk mendapatkan susunan yang bermula dengan A adalah 4!/2! / 5!/2! = 12/60 = 1/5, seperti yang diharapkan oleh simetri.
Soalan yang Sering Diajukan
Bilakah saya menggunakan permutasi berbanding kombinasi?
Gunakan permutasi apabila urutan penting: kata laluan, penamat perlumbaan, susunan tempat duduk, penjadualan. Gunakan kombinasi apabila urutan tidak penting: nombor loteri, pemilihan jawatankuasa, tangan kad, topping pizza. Tanyakan kepada diri anda: "Adakah mengatur semula pemilihan memberikan hasil yang berbeza?" Jika ya, gunakan permutasi. Jika tidak, gunakan kombinasi.
Apakah 0! (faktor sifar)?
Oleh konvensyen matematik, 0! = 1. Ini menjadikan formula seperti C ((n,0) = 1 konsisten - ada satu cara untuk memilih apa-apa dari set (pilihan kosong). Ia juga menjadikan formula P ((n,n) = n!/0! = n!/1 = n! berfungsi dengan betul untuk menyusun semua n item.
Apakah P{10,3}?
P ((10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720. Ini adalah bilangan cara yang diperintahkan untuk memilih 3 item dari 10 item yang berbeza - seperti menganugerahkan pingat emas, perak, dan gangsa dalam pertandingan 10 orang.
Apakah C ((10,3))?
C ((10,3) = 10! / (3! x 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 720 / 6 = 120. Ini adalah bilangan cara untuk memilih mana-mana 3 item dari 10 item yang berbeza - seperti memilih jawatankuasa 3 orang dari jawatankuasa 10 orang.
Apa maksudnya apabila P (n,r) lebih besar daripada C (n,r)?
P ((n,r) / C ((n,r) = r !, bilangan cara untuk mengatur r item. Semakin besar r, semakin besar nisbah ini menjadi. Untuk r = 5, permutasi adalah 120 kali lebih banyak daripada kombinasi. Ini mencerminkan bahawa perintah secara dramatik melipatgandakan bilangan susunan yang berbeza apabila r besar.
Berapa banyak cara 5 orang boleh duduk berturut-turut?
5 orang berturut-turut (semua duduk, urutan penting) = P ((5,5) = 5! = 120 cara. Kerusi pertama boleh diisi 5 cara, yang kedua 4 cara, kemudian 3, 2, 1 - memberikan 5x4x3x2x1 = 120. Untuk susunan bulat, ia akan menjadi (5-1)! = 24 cara.
Berapakah peluang untuk menang loteri?
Peluang loteri bergantung pada permainan. Untuk memilih 6 dari 49 nombor: C ((49,6) = 13,983,816 - kira-kira 1 dalam 14 juta. Untuk Powerball (5 dari 69 + 1 dari 26): C ((69,5) x 26 = 292,201,338 - kira-kira 1 dalam 292 juta. Kombinasi ini menjelaskan mengapa kemenangan jackpot sangat jarang berlaku.
Bolehkah anda mengira permutasi untuk nombor besar?
Faktor tumbuh sangat cepat: 20! ~ 2.4 x 10 ^ 18, 100! mempunyai 158 digit. Untuk n dan r yang besar, pengiraan faktor langsung melepasi jenis bilangan bulat standard. Kalkulator ini menggunakan titik terapung 64-bit JavaScript, yang memberikan hasil yang tepat untuk P ((n, r) sehingga kira-kira n = 20 dan hasil perkiraan di luar itu. Untuk kombinasi nombor besar yang tepat, gunakan perpustakaan bilangan bulat besar.
Apakah perbezaan antara permutasi dan susunan?
Mereka bermaksud perkara yang sama dalam kombinatorik - kedua-duanya merujuk kepada pemilihan tertib dari satu set. "Pengaturan" kadang-kadang digunakan secara tidak rasmi; "permutasi" adalah istilah matematik formal.
Bagaimana segi tiga Pascal berkaitan dengan kombinasi?
Segitiga Pascal dibina dengan meletakkan nilai C ((n,r) dalam susunan segitiga di mana baris n mengandungi C ((n,0), C ((n,1), ..., C ((n,n). Setiap nilai sama dengan jumlah dua nilai di atasnya: C ((n,r) = C ((n-1,r-1) + C ((n-1,r). Identiti ini (Aturan Pascal) memberikan struktur segitiga dan menghubungkan kombinasi kepada pekali teorema binomial.
Langkah-demi-Langkah Permutasi dan Kombinasi Masalah
Menguasai permutasi dan kombinasi memerlukan bekerja melalui masalah secara sistematik. Keputusan utama adalah: apakah urutan penting? Setelah itu diselesaikan, gunakan formula yang sesuai dan mudahkan. Berikut adalah contoh kerja yang meliputi jenis masalah tipikal.
Masalah 1: Pingat perlumbaan.Dalam perlumbaan dengan 12 pelari, berapa banyak cara yang boleh dianugerahkan pingat emas, perak, dan gangsa?
Urutan penting (emas ≠ perak ≠ gangsa), jadi gunakan P(12,3).
P ((12,3) = 12! / (12-3)! = 12 x 11 x 10 = 1,320 cara.
Masalah 2: pemilihan jawatankuasa.Dari kelas 20 pelajar, seorang guru memilih 4 untuk projek. Berapa banyak kumpulan yang berbeza yang mungkin?
Urutan tidak penting (apa-apa 4 pelajar membentuk kumpulan yang sama), jadi gunakan C ((20,4).
C ((20,4) = 20! / (4! x 16!) = (20 x 19 x 18 x 17) / (4 x 3 x 2 x 1) = 116,280 / 24 = 4,845 kumpulan.
Masalah 3: Keselamatan kata laluan.Kata laluan memerlukan 2 huruf besar diikuti dengan 4 digit (tidak dibenarkan pengulangan). Berapa banyak kata laluan yang mungkin?
Untuk surat: perkara pesanan, P ((26,2) = 26 x 25 = 650.
Untuk digit: perkara pesanan, P ((10,4) = 10 x 9 x 8 x 7 = 5,040.
Jumlah (dengan prinsip penggandaan): 650 x 5,040 = 3,276,000 kata laluan.
Masalah 4: Mengedar kad.Dari dek 52 kad standard, berapa banyak tangan 5 kad yang berbeza yang mengandungi 3 aces?
Pilih 3 aces dari 4: C ((4,3) = 4.
Pilih 2 bukan as dari 48: C ((48,2) = 48 x 47 / 2 = 1,128.
Jumlah: 4 x 1,128 = 4,512 tangan dengan tepat 3 aces.
Masalah 5: Tempat duduk bulat.Berapa banyak cara 6 orang boleh duduk di meja bulat?
Dalam susunan bulat, kedudukan satu orang tetap (untuk menghapuskan setara putaran), meninggalkan 5 orang untuk mengatur: (6-1)! = 5! = 120 cara.
Jika meja juga mempunyai tempat duduk yang boleh dibezakan (contohnya, satu mempunyai sandaran tangan), ia menjadi 6! = 720 (permutasi linear).
Prinsip penggandaan:Semua masalah pengiraan pelbagai langkah menggunakan prinsip penggandaan asas: jika langkah A boleh dilakukan dalam m cara dan langkah B boleh dilakukan dalam n cara (secara bebas), maka kedua-dua A dan B bersama-sama boleh dilakukan dalam m x n cara. Prinsip ini mendasari semua formula permutasi dan kombinasi - P ((n,r) hanya produk n x (n-1) x ... x (n-r + 1), dan C ((n,r) dibahagikan dengan r! untuk menghilangkan pengiraan berlebihan perintah.
Apabila menyelesaikan sebarang masalah pengiraan: (1) Tentukan apakah urutan penting. (2) Periksa apakah pengulangan dibenarkan. (3) Tentukan apakah item dapat dibezakan. (4) Pecahkan masalah kompleks menjadi langkah berurutan menggunakan prinsip perkalian. (5) Terapkan P ((n, r) atau C ((n, r) yang sesuai, atau gunakan formula khusus untuk susunan bulat, multiset, atau elemen berulang.
Strategi pengesahan:Sentiasa semak hasil kombinasi. C ((n,r) harus sama dengan C ((n, n-r) oleh sifat simetri - memilih r item untuk dimasukkan sama dengan memilih n-r item untuk dikecualikan. P ((n,r) harus dibahagikan dengan r! (kerana membahagikan P ((n,r) dengan r! memberikan C ((n,r)). Untuk nilai kecil, anda boleh menghitung kemungkinan secara langsung untuk mengesahkan formula memberikan kiraan yang betul. Membina intuisi ini untuk memeriksa kerja anda menghalang kesilapan dalam situasi berisiko tinggi seperti kiraan reka bentuk kejuruteraan, pengiraan parameter keselamatan, atau analisis statistik.
Akhirnya, apabila bilangan menjadi sangat besar, gunakan logaritma untuk menganggarkan. log10(P(52,5)) = log10(52!) - log10(47!) = log10(52x51x50x49x48) ~ 8.494, jadi P(52,5) ~ 10^8.494 ~ 311,875,200 - disahkan. Untuk pengiraan kebarangkalian, bekerja dalam log-kemungkinan menghalang aliran bawah berangka apabila kebarangkalian adalah kecil secara astronomi (seperti dalam susunan dek yang bercampur: 52! ~ 8.07 x 10^67 susunan yang mungkin). Keupayaan untuk beralasan mengenai bilangan besar ini menggunakan logaritma dan intuisi kombinatorial adalah tanda kematangan matematik dan pemikiran statistik.
Permutasi dan kombinasi diajar dalam kursus pra-kalkulus dan kebarangkalian kerana mereka adalah pintu masuk untuk memahami kebarangkalian, statistik, dan matematik diskrit. Di luar bilik darjah, mereka sangat diperlukan dalam sains komputer (analisis algoritma, reka bentuk struktur data), genetik (mengira kombinasi genotip), kimia (isomer molekul), dan reka bentuk permainan (analisis keseimbangan dan keadilan). Setiap pengiraan peluang loteri, setiap analisis keselamatan kata laluan, setiap sistem penarafan sukan, dan setiap reka bentuk eksperimen untuk ujian klinikal bergantung pada teori pengiraan asas ini. Melaburkan masa untuk benar-benar memahami permutasi dan kombinasi -- bukan hanya menghafalkan formula tetapi membangunkan intuisi untuk apabila menerapkan masing-masing -- membayar dividen di hampir setiap disiplin kuantitatif. Gunakan kalkulator ini untuk memeriksa kerja anda, membina intuisi dengan nilai-nilai yang berbeza n dan r, dan mengesahkan penalaran anda pada masalah yang anda hadapi.